本發(fā)明涉及一種基于壓縮感知的順序正交匹配追蹤算法，屬于壓縮感知信號(hào)處理技術(shù)領(lǐng)域。

背景技術(shù)：

壓縮感知摒棄了采樣、壓縮、傳輸和解壓縮的框架，有效地融合了稀疏信號(hào)的采樣和壓縮這兩個(gè)過(guò)程，大大降低實(shí)際采樣系統(tǒng)的采樣率和復(fù)雜度。大自然的大多數(shù)信號(hào)本身是稀疏的或者在一定的基底下是稀疏的，這一特點(diǎn)正是壓縮感知切入點(diǎn)。壓縮感知能夠以低于傳統(tǒng)奈奎斯特采樣定理的采樣方案恢復(fù)出這種原始信號(hào)?；谶@一優(yōu)勢(shì)，壓縮感知在信道估計(jì)、無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)、核磁共振成像等方面有廣泛的應(yīng)用。

然而從壓縮測(cè)量中恢復(fù)出原始信號(hào)是一個(gè)NP問(wèn)題。于此同時(shí)，許多次最優(yōu)的解決方案被提出。他們可以被廣義得分為三大類，貪婪算法，凸松弛算法和貝葉斯框架。其中貪婪算法擁有運(yùn)算速度快和結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的特點(diǎn)，因而有著廣泛的應(yīng)用。主要算法有匹配追蹤(MP)算法和正交匹配追蹤(OMP)算法，分段正交匹配追蹤(StOMP)算法，子空間追蹤(SP)算法，壓縮采樣匹配追蹤(CoSaMP)算法，稀疏度自適應(yīng)匹配追蹤(SAMP)算法等。其中OMP算法因?yàn)椴僮骱?jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)、運(yùn)算速度快和可擴(kuò)展性強(qiáng)等特點(diǎn)受到人們的廣泛關(guān)注。

本發(fā)明提出一種順序正交匹配追蹤算法，針對(duì)如何低成本提升正交匹配追蹤算法性能的問(wèn)題，創(chuàng)新性得利用上次迭代失敗后所返回估計(jì)支撐集中原子的選擇順序，以此信息作為下次算法迭代的先驗(yàn)信息，在不需要其他任何信息的前提下，通過(guò)簡(jiǎn)單得多次迭代同種算法的方式，有效地提升了正交匹配追蹤算法的重構(gòu)性能。

技術(shù)實(shí)現(xiàn)要素：

本發(fā)明的目的解決了壓縮感知理論中正交匹配追蹤算法重構(gòu)性能進(jìn)一步提升的瓶頸問(wèn)題，提出了一種基于壓縮感知理論的順序正交匹配追蹤算法。

本發(fā)明的目的是通過(guò)下述技術(shù)方案實(shí)現(xiàn)的：

(1)輸入：感知矩陣Φ，測(cè)量值y，殘差能量終止參數(shù)ε，外層迭代控制參數(shù)η，內(nèi)層迭代次數(shù)限制參數(shù)K_max；

(2)初始化：集合外層初始迭代次數(shù)k₁＝0；

(3)外層迭代k₁＝k₁+1；

(4)內(nèi)層初始迭代次數(shù)k₂＝0，初始支撐集T⁰＝T_r，殘差

(5)內(nèi)層迭代k₂＝k₂+1；

(6)將殘差與感知矩陣Φ的每一列做內(nèi)積，選出其中內(nèi)積最大的原子存入集合T_f中，即將集合T_f與上次迭代估計(jì)支撐集進(jìn)行合并得到本次迭代估計(jì)支撐集即

(7)先將內(nèi)層迭代信號(hào)估計(jì)值清零再用最小二乘法計(jì)算出對(duì)應(yīng)的逼近值并計(jì)算本次迭代殘差

(8)如果殘差則轉(zhuǎn)到(11)，否則轉(zhuǎn)到(9)；

(9)如果內(nèi)層迭代次數(shù)k₂≥K_max，則轉(zhuǎn)到(10)，否則轉(zhuǎn)到(5)；

(10)如果外層迭代次數(shù)k₁≥η，則轉(zhuǎn)到(11)，否則找到估計(jì)支撐集中第一個(gè)選擇順序與其估計(jì)值不對(duì)應(yīng)的原子φ_f，令為原子φ_f所對(duì)應(yīng)的估計(jì)值，令集合中所有對(duì)應(yīng)估計(jì)幅值大于的原子組成的新集合為T_r，即，轉(zhuǎn)到(3)；

(11)輸出算法估計(jì)值

本發(fā)明在提高算法性能的過(guò)程中，不需要其他任何先驗(yàn)信息，也不需要其他算法作為輔助，僅需要上個(gè)正交匹配追蹤算法所得估計(jì)支撐集中原子選擇順序的信息。

本發(fā)明在充分利用原子順序信息后，僅需再次運(yùn)行原始算法就可以有效提高算法性能，操作簡(jiǎn)便，同時(shí)提供了一個(gè)可控參數(shù)用來(lái)調(diào)整原始算法再次運(yùn)行的次數(shù)，便于算法在重構(gòu)性能和運(yùn)算時(shí)間之間折中選擇。

【本發(fā)明的優(yōu)點(diǎn)和積極效果】

與現(xiàn)有技術(shù)相比，本發(fā)明具有如下優(yōu)點(diǎn)和積極效果：

第一，本發(fā)明運(yùn)行成本低，不需要其他任何先驗(yàn)信息，也不需要其他算法作為輔助，僅需要上個(gè)正交匹配追蹤算法所得估計(jì)支撐集中原子選擇順序的信息。

第二，本發(fā)明操作簡(jiǎn)單，在充分利用原子順序信息后，僅需再次運(yùn)行原始算法就可以有效提高算法性能。不考慮原始算法迭代所需操作，本發(fā)明的額外操作僅僅是比較估計(jì)值中每個(gè)元素之間的幅值大小。

第三，本發(fā)明提供了一個(gè)可控參數(shù)用來(lái)調(diào)整原始算法再次運(yùn)行的次數(shù)，便于算法在重構(gòu)性能和運(yùn)算時(shí)間之間折中選擇。這一優(yōu)勢(shì)使得本發(fā)明在對(duì)運(yùn)行時(shí)間要求較低但對(duì)重構(gòu)性能要求較高和對(duì)時(shí)間要求較高但對(duì)重構(gòu)性能要求較低的場(chǎng)景中均可有效應(yīng)用。

【附圖說(shuō)明】

圖1是本發(fā)明提出的一種基于壓縮感知的順序正交匹配追蹤算法流程圖；

圖2是本發(fā)明與OMP算法對(duì)高斯稀疏信號(hào)在準(zhǔn)確重構(gòu)概率上的比較圖；

圖3是本發(fā)明與OMP算法對(duì)高斯稀疏信號(hào)在平均重構(gòu)誤差上的比較圖；

圖4是本發(fā)明與OMP算法對(duì)高斯稀疏信號(hào)在平均運(yùn)行時(shí)間上的比較圖。

【具體實(shí)施方式】

為使本發(fā)明的實(shí)施方案與意義優(yōu)勢(shì)表述得更為清楚，下面結(jié)合附圖及重構(gòu)效果比較圖，以及理論分析，對(duì)本發(fā)明進(jìn)行更為詳細(xì)的說(shuō)明。應(yīng)該理解，這些分析說(shuō)明只是示例性的，并非要限制本發(fā)明的范圍。

圖1是本發(fā)明提出的一種基于壓縮感知的正交匹配追蹤算法流程圖，算法具體流程如下：

(1)輸入：感知矩陣Φ，測(cè)量值y，殘差能量終止參數(shù)ε，外層迭代控制參數(shù)η，內(nèi)層迭代次數(shù)限制參數(shù)K_max；

(2)初始化：集合外層初始迭代次數(shù)k₁＝0；

(3)外層迭代k₁＝k₁+1；

(4)內(nèi)層初始迭代次數(shù)k₂＝0，初始支撐集T⁰＝T_r，殘差

(5)內(nèi)層迭代k₂＝k₂+1；

(6)將殘差與感知矩陣Φ的每一列做內(nèi)積，選出其中內(nèi)積最大的原子存入集合T_f中，即將集合T_f與上次迭代估計(jì)支撐集進(jìn)行合并得到本次迭代估計(jì)支撐集即

(7)先將內(nèi)層迭代信號(hào)估計(jì)值清零再用最小二乘法計(jì)算出對(duì)應(yīng)的逼近值并計(jì)算本次迭代殘差

(8)如果殘差則轉(zhuǎn)到(11)，否則轉(zhuǎn)到(9)；

(9)如果內(nèi)層迭代次數(shù)k₂≥K_max，則轉(zhuǎn)到(10)，否則轉(zhuǎn)到(5)；

(10)如果外層迭代次數(shù)k₁≥η，則轉(zhuǎn)到(11)，否則找到估計(jì)支撐集中第一個(gè)選擇順序與其估計(jì)值不對(duì)應(yīng)的原子φ_f，令為原子φ_f所對(duì)應(yīng)的估計(jì)值，令集合中所有對(duì)應(yīng)估計(jì)幅值大于的原子組成的新集合為T_r，即，轉(zhuǎn)到(3)；

(11)輸出算法估計(jì)值

上述步驟中，步驟(4)至步驟(9)可視為原始的OMP算法。下面給出本發(fā)明的理論分析：

對(duì)于感知矩陣可以用性質(zhì)可以用相關(guān)性參數(shù)來(lái)衡量，而表示矩陣Φ任意兩列之間的相關(guān)性。在此我們考慮μ(Φ)＜μ的感知矩陣。不失一般性，我們假定稀疏信號(hào)x的K個(gè)非零項(xiàng)下標(biāo)為{1，2，…，K}，且|x₁|≥|x₂|≥…≥|x_K|。則在OMP算法的第一次迭代中，可以得到矩陣的第一個(gè)原子與殘差的內(nèi)積為

其中e為測(cè)量噪聲。而對(duì)于i∈{2，3，…，K}的原子，殘差與它們的內(nèi)積有一個(gè)上界，

(1)式跟(2)式經(jīng)過(guò)復(fù)雜運(yùn)算可得，當(dāng)滿足(3)式時(shí)，OMP算法在初次迭代中必定選中原始信號(hào)中幅值最大的元素對(duì)應(yīng)的原子。

假定在k-1次迭代中，OMP成功選中原信號(hào)中第k-1大元素對(duì)應(yīng)的原子。則對(duì)應(yīng)殘差為：

其中，c₁＝c′₁-x₁，…，c_k-1＝c′_k-1-x_k-1。系數(shù)c₁，c₂…c_k-1可由下面的方法給出上界。對(duì)i∈{1，2，…，k-1}，可以有：

即，|c₁|≤|x_k|(K-k+1)μ+||e||₂+μ(|c₁|+…+|c_t-1|+|c_t+1|+…+|c_k-1|) (4)

令c_max＝max_{J＝1，...，k-1}|c_J|，不等式(4)可以變形為

c_max≤|x_k|(K-k+1)μ+||e||₂+μ(k-2)c_max

即，

回到OMP第k次迭代，殘差跟原信號(hào)第k大元素相對(duì)應(yīng)的原子的內(nèi)積為

其他非零項(xiàng)元素i∈{k+1，k+2，…，K}對(duì)應(yīng)原子的內(nèi)積為

若(6)式右邊大于(7)式右邊，即(8)式滿足時(shí)，可以保證OMP算法在第k次迭代中能夠找到原信號(hào)的第k大項(xiàng)。

因?yàn)樵诘谝淮蔚衏_max＝0，所以(8)式蘊(yùn)含(3)式。

以上用數(shù)學(xué)歸納法證明了，在滿足(8)式時(shí)，OMP算法原子的選擇順序與原始信號(hào)每個(gè)元素的幅度是一一對(duì)應(yīng)的。雖然在迭代過(guò)程中，算法無(wú)法提前知道原始信號(hào)幅值信息，但是可以用算法估計(jì)值進(jìn)行逼近。當(dāng)然在實(shí)際運(yùn)行中，即便每個(gè)原子選擇順序不符合上述規(guī)律，OMP依然能夠成功重構(gòu)原始信號(hào)。但是，上述證明給了一個(gè)在算法迭代失敗后，有效改善算法性能的途徑。同時(shí)為了避免刻意追求每個(gè)原子的選擇順序均正確，本發(fā)明在一次外層迭代中，僅修正一個(gè)原子的選擇順序，且該原子為第一個(gè)選入順序與其估計(jì)值不對(duì)應(yīng)的原子。下面的數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)進(jìn)一步證明了本發(fā)明相對(duì)于OMP算法的優(yōu)勢(shì)。

圖2、圖3和圖4分別是本發(fā)明與OMP算法對(duì)高斯稀疏信號(hào)在準(zhǔn)確重構(gòu)概率、平均重構(gòu)誤差和平均運(yùn)行時(shí)間上的比較圖。感知矩陣Φ為高斯隨機(jī)矩陣，大小為128×256。原始信號(hào)x為高斯稀疏信號(hào)，維度為一維，長(zhǎng)度與感知矩陣列數(shù)相同均為256。此外，原始信號(hào)的稀疏度K在本實(shí)驗(yàn)中是變化的，從18以步長(zhǎng)3逐漸增大到45。內(nèi)層迭代次數(shù)限制參數(shù)K_max＝50。殘差能量終止參數(shù)ε＝10^-6。本發(fā)明1的外層迭代控制參數(shù)η為2，而本發(fā)明2的外層迭代控制參數(shù)η為9。為避免結(jié)果隨機(jī)性，對(duì)每個(gè)稀疏度K，均采用不同的感知矩陣和原始信號(hào)重復(fù)500次實(shí)驗(yàn)，得到統(tǒng)計(jì)平均值。準(zhǔn)確重構(gòu)概率用準(zhǔn)確恢復(fù)的原始信號(hào)與所有原始信號(hào)總數(shù)的比率來(lái)表示。其中，準(zhǔn)確恢復(fù)條件用真實(shí)信號(hào)與估計(jì)值之間的關(guān)系式表示平均重構(gòu)誤差用平均歸一化最小均方誤差(Average Normalized Mean-Squared-Error，ANMSE)來(lái)計(jì)算，表達(dá)式為其中表示第i個(gè)原始信號(hào)x_i的估計(jì)信號(hào)。

從圖2可以看出，對(duì)于所有的稀疏度K，本發(fā)明1和本發(fā)明2算法的準(zhǔn)確重構(gòu)概率均高于OMP算法。而本發(fā)明2算法的準(zhǔn)確重構(gòu)概率是最高的?？梢姳景l(fā)明的策略使得OMP算法的重構(gòu)性能得到了提升。從圖3可以看出，本發(fā)明1和本發(fā)明2的平均重構(gòu)誤差均優(yōu)于OMP算法。而本發(fā)明2的平均重構(gòu)誤差更低于本發(fā)明1.從圖4可以看出，而本發(fā)明2雖然重構(gòu)精度優(yōu)于本發(fā)明1但是其運(yùn)行時(shí)間卻高于本發(fā)明1?？梢娡ㄟ^(guò)選擇不同的外層迭代控制參數(shù)η可以有效調(diào)整本發(fā)明在重構(gòu)精度和運(yùn)行時(shí)間上的折中，使得本發(fā)明的應(yīng)用領(lǐng)域更加廣泛。通過(guò)上述實(shí)驗(yàn)可以證明本發(fā)明相比正交匹配追蹤算法在壓縮感知信號(hào)重構(gòu)領(lǐng)域更具優(yōu)勢(shì)。