一種基于d-最優(yōu)內表設計的田口試驗設計方法
【技術領域】
[0001] 本發(fā)明涉及一種基于D-最優(yōu)內表設計（即最以大化試驗點行列式（Determinant) 為準則的設計方法）的田口試驗設計方法，不僅可以有效解決傳統(tǒng)田口設計難以處理的設 計區(qū)域不規(guī)則的情況，而且可有效緩解田口設計采用直積表形式導致試驗設計次數(shù)劇增的 問題，適用于產(chǎn)品設計、生產(chǎn)制造、質量控制以及工藝優(yōu)化等相關技術領域。
【背景技術】
[0002] -個合理的試驗設計方案可以在有限的時間、成本等資源條件下，充分揭示各個 影響因子對目標響應的影響，在有限的試驗次數(shù)下獲得最優(yōu)的目標響應結果，為提高產(chǎn)品 質量尋求最優(yōu)的工藝參數(shù)組合等。
[0003] 為了提高產(chǎn)品性能的穩(wěn)定性，田口玄一博士提出了田口設計方法，采用內表、外表 直積的形式，在內表中安排可控因子的各個水平，在外表中安排噪聲因子進行試驗，而所謂 直積法，是指對內表中可控因子的每個搭配，使用外表的誤差因子模擬各種干擾，計算該搭 配的抗干擾能力，即信噪比（SN比），從而通過對內表設計各種方案的比較，利用SN比尋找 最佳的可控因子搭配。
[0004] 廣義上說，所有的試驗設計本身都是資源受限的設計，試驗設計的目的就是在盡 量節(jié)約資源的情況下，獲取盡量多的系統(tǒng)或者過程的信息，優(yōu)化設計和工藝。在傳統(tǒng)的田口 設計中，內表、外表均使用正交設計進行，通過方差分析進行數(shù)據(jù)分析，其設計區(qū)域要求是 規(guī)則的超立方體，一般不考慮因子之間存在約束而導致設計區(qū)域不規(guī)則的情況。在實際工 程中，由于影響因子之間經(jīng)常是不獨立的、存在一定的相互作用，從而產(chǎn)生設計區(qū)域不規(guī)則 的情況，這時，使用正交設計進行內表設計，需切割或填補試驗區(qū)域進行反復的折衷、對比， 不僅設計過程復雜，而且由于降維過多，導致設計效率較低。同時，田口設計的直積表形式， 使得在噪聲因子較多的情況下，試驗次數(shù)劇增，經(jīng)常超出試驗資源允許的范圍，導致企業(yè)難 以承受；另外，由于傳統(tǒng)的田口內外表設計使用正交設計進行，而正交設計是基于設計表的 設計，導致田口設計試驗次數(shù)不能根據(jù)實際需求靈活調整，容易造成資源不能充分利用或 資源不足的情況。因此，研究在影響因子存在約束的情況下，合理地選擇試驗點，從而科學 地收集和分析數(shù)據(jù)，獲得更優(yōu)的參數(shù)組合，優(yōu)化設計和工藝，具有重要的理論意義和迫切的 現(xiàn)實需求。
[0005] 為此，本發(fā)明給出了一種基于D-最優(yōu)內表設計的田口試驗設計方法。

【發(fā)明內容】

[0006] (1)本發(fā)明的目的：本發(fā)明針對傳統(tǒng)的田口設計在有限的試驗次數(shù)內，難以靈活 高效解決試驗區(qū)域不規(guī)則時的試驗設計問題，提供一種基于D-最優(yōu)內表設計的田口試驗 設計方法，以篩選出更具有代表性的試驗點，從而進行精確、高效、靈活的試驗方案設計。
[0007] D-最優(yōu)設計是一種基于數(shù)學模型的設計方法，可以根據(jù)模型參數(shù)個數(shù)，在給定的 設計區(qū)域內，給出滿足一定條件范圍內任意試驗次數(shù)的最優(yōu)設計；本發(fā)明在田口設計的框 架下，利用D-最優(yōu)設計進行內表設計，可以在因子間存在約束的情況下，給出更加靈活、高 效的試驗設計方案，建立更加貼近產(chǎn)品加工或生產(chǎn)過程實際的數(shù)學模型，進行更準確的數(shù) 據(jù)分析和預測，從而確定最佳的因子水平組合。
[0008] (2)技術方案：
[0009] 本發(fā)明給出了一種基于D-最優(yōu)內表設計的田口試驗設計方法。
[0010] 田口設計運用內表和外表相結合的方法進行穩(wěn)健設計，并使用信噪比（SN)作為 質量評價指標，以尋求最穩(wěn)定的參數(shù)組合。
[0011] 傳統(tǒng)的田口設計，內表采用正交設計安排可控因子的試驗，外表采用正交設計安 排噪聲因子的試驗，使用信噪比（SN)度量指標波動的大小。由于正交設計的局限性，當設 計區(qū)域不規(guī)則時，傳統(tǒng)的田口設計方法無法給出高效的設計方案。另外，正交試驗次數(shù)是由 設計方法確定的，而非試驗精度，在田口設計直積表的作用下，正交設計"整齊可比"的性質 使得試驗次數(shù)劇增，并且調整非常不靈活。然而，在信噪比計算過程中，并不要求試驗方案 中各誤差因素"整齊可比"，因此，可以放松"整齊可比"的要求，探索更為有效的試驗設計方 法。
[0012] 本發(fā)明采用D-最優(yōu)設計進行內表設計，采用基于經(jīng)驗分布函數(shù)等分位點的 均勻設計進行外表設計。由一般性等價定理，對于有P個參數(shù)的線性模型，存在由 個試驗點組成的D-最優(yōu)設計ξ '即D-最優(yōu)設計可用在一定范圍 內，給出任意設計區(qū)域、任意試驗次數(shù)的內表試驗設計方案，且隨著試驗因子個數(shù)的增加， D-最優(yōu)設計所需要的最小試驗次數(shù)將遠遠小于其他設計。在滿足試驗精度的前提下，使用 D-最優(yōu)設計進行內表設計，并結合均勻設計進行外表設計，不僅可以有效解決傳統(tǒng)田口設 計難以處理的因子間存在約束的情況，而且可以在較少的試驗次數(shù)下，給出高效的試驗設 計方案。
[0013] 基于上述理論和思路，本發(fā)明一種基于D-最優(yōu)內表設計的田口試驗設計方法，具 體實施步驟如下：
[0014] 步驟一：根據(jù)試驗目的、條件以及工程經(jīng)驗，給出試驗基本試驗信息，包括試驗響 應（即所關注的質量特性）、影響因子（包括可控因子和噪聲因子）及其取值范圍，各因子 之間的約束關系、以及試驗資源允許的試驗總次數(shù)n tota1。
[0015] 步驟二：根據(jù)噪聲因子的個數(shù)以及擬采用的水平個數(shù)m，選擇合適的均勻設計表， 并以此確定外表試驗次數(shù)n° utCT。選擇方法簡介如下：
[0016] 假設有噪聲因子1個，擬采用水平數(shù)m，則從均勻設計表庫中選擇均勻表
同時外表試驗次數(shù)確定為n°utCT= ω。
[0017] 步驟三：確定響應與因子之間的關系模型以及內表試驗次數(shù)ninnCT。
[0018] 該步驟中響應與因子之間的關系模型具體確定方法如下：
[0019] 基于步驟一中的試驗基本信息，采用數(shù)學模型的形式表達出響應與因子之間的 關系模型，記為y = Χβ + ε。其中
為已知的ninnCTXp維參數(shù) 模型矩陣；f(Xi)為關于Χι的已知函數(shù)，反應全部可控因子及其之間的約束關系；β = (β。，P1, β2，...，βρ) tS P個待估參數(shù)，反應各個因子與響應之間的影響關系。
[0020] 內表試驗次數(shù)ninnCT的確定方法如下：
[0021] 由一般性等價定理，對于有p個參數(shù)的線性模型，存在由nYp彡p(p+l)/2) 個試驗點組成的D-最優(yōu)設計ξ '所以，根據(jù)總試驗次數(shù)ntotal與外表試驗次數(shù)n °utCT，不難 給出D-最優(yōu)內表試驗次數(shù)范圍[Pjin(Pbl)Z^ntotaVdU
[0022] 因此，根據(jù)實際試驗條件，選擇任意ninnCTe [hmin^p+D/^n^VrT^]即可。
[0023] 步驟四：在設計區(qū)域內，采用D-最優(yōu)設計方法給出給定試驗次數(shù)ninnCT的內表設計 方案，完成內表設計，其具體設計方法如下：
[0024] 首先，將各因子取值范圍規(guī)范至[_1，1]區(qū)間范圍內，根據(jù)實際因子間的約束關 系，確定設計區(qū)域；然后，在該設計區(qū)域內，選擇滿足給定次數(shù)的設計ξ，使得信息矩陣
)行列式最大，至此完成D-最優(yōu)內表設計。進一步，使用G-最優(yōu)效 率衡量該設計的優(yōu)良性。G-最優(yōu)效率的定義為：
[0026] 這里，G-最優(yōu)效率值Geff越接近于1，表示設計ξ越好。
[0027] 步驟五：采用基于經(jīng)驗分布函數(shù)等分位點方法，針對內表中每個外表試驗點，確定 噪聲因子水平，完成外表設計。
[0028] 該步驟中噪聲因子水平的確定方法如下：
[0029] 記Χ[1]為變量X的基于經(jīng)驗分布函數(shù)第i等分位點，其定義如下：
[0031] 其中，F(xiàn)(X)為隨機變量X的分布函數(shù)，m為噪聲因子水平數(shù)；argF( ·)表示函數(shù) F(·)的反函數(shù)。換言之，上式表示，當
，所對應的隨機變量X的值記為X[1]， X[1]即 為因子X的第i個水平值。
[0032]