本發(fā)明涉及電磁仿真技術領域，特別是一種基于疊層矩陣分解的低頻電磁特性仿真方法。

背景技術：

隨著微電子技術和制造工藝的發(fā)展，在計算機芯片封裝設計、高速集成電路設計、天線設計、目標電磁散射特性分析、電磁兼容分析等領域中，出現(xiàn)了越來越多的具有復雜精細結構的目標。這些目標的尺寸遠小于波長或幾何建模剖分尺寸遠小于波長，均屬于低頻問題的范疇。對于低頻問題的分析，準靜態(tài)方法隨著工作頻率的升高的誤差將越來越大。因此，電磁數(shù)值仿真方法在低頻問題的分析中發(fā)揮著越來越重要的作用。表面積分方程方法是一類具有代表性的電磁數(shù)值仿真方法，它只需離散目標表面，因此未知量少、求解效率高。然而，傳統(tǒng)的表面積分方程方法在分析低頻問題時會出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定的情況，讓低頻電磁仿真無法獲得精確解，這一現(xiàn)象被稱為“低頻崩潰”。許多方法致力于解決低頻崩潰問題，例如：基函數(shù)helmholtz分解方法和calderón預條件方法等。

其中，增量型電場積分方程方法(augmentedelectricfieldintegralequation,a-efie)是一種極其有效的消除低頻崩潰的方法(z.g.qianandw.c.chew.anaugmentedefieforhighspeedinterconnectanalysis.microwaveandopticaltechnologyletter,vol.50,no.10,pp.2658-2662,2008)。a-efie通過在電場積分方程中引入電流連續(xù)性方程，對電場積分方程中不平衡的譜分支進行了歸一化，從而有效解決了低頻崩潰問題。盡管a-efie分離了電流矢量和電荷標量，a-efie系統(tǒng)矩陣仍然是高度稠密的。迭代解法是求解a-efie系統(tǒng)矩陣方程的常用方法，原因在于，迭代解法的主要操作是矩陣-矢量乘，其計算復雜度低且能夠通過引入快速算法(如：快速多極子算法)進行加速。然而，迭代解法在面臨病態(tài)的系統(tǒng)矩陣時，迭代收斂所需步數(shù)增多；預條件技術能夠在一定程度上提高迭代解法的收斂速度，其中，約束(constraint)預條件是低頻電磁仿真中最為常用的一種預條件技術(z.g.qianandw.c.chew.fastfull-wavesurfaceintegralequationsolverformultiscalestructuremodeling.ieeetransactionsonantennasandpropagation,vol.50,pp.3594-3601,2009)。此外，迭代解法在求解多激勵問題時，對不同的右邊向量均需重新計算，上述情況都會導致迭代解法效率低下。與迭代解法不同，直接解法不僅不存在收斂速度的問題，而且對于多右邊向量問題無需重復計算。然而，由于直接解法巨大的計算消耗，采用直接解法來求解大規(guī)模低頻問題通常被認為是不可行的。因此，發(fā)展一種針對低頻電磁問題的高效求解方法具有重要的應用價值。

技術實現(xiàn)要素：

本發(fā)明所要解決的技術問題是克服現(xiàn)有技術的不足而提供一種基于疊層矩陣分解的低頻電磁特性仿真方法，該方法不僅消除了低頻崩潰現(xiàn)象，而且具有求解速度快、內存消耗低和精度可調的特點。

本發(fā)明為解決上述技術問題采用以下技術方案：

根據本發(fā)明提出的一種基于疊層矩陣分解的低頻電磁特性仿真方法，包括以下步驟：

第1步，針對目標表面建立電場積分方程，并引入電流連續(xù)性方程，采用三角形單元離散目標表面，用rwg基函數(shù)展開表面電流，用沖擊基函數(shù)展開表面電荷，生成增量型電場積分方程的系統(tǒng)矩陣方程；

第2步，利用矩陣收縮方法或者縮減電荷自由度方法對該系統(tǒng)矩陣方程進行修正，消除電荷中性原理在極低頻率時造成的矩陣奇異性；

第3步，建立增量型電場積分方程系統(tǒng)矩陣的疊層矩陣；

第4步，采用疊層矩陣格式的運算法則對該疊層矩陣進行上下三角分解；

第5步，將疊層矩陣的上下三角分解與前后向回代結合，采用預條件的迭代解法或者直接解法進行求解，獲得目標表面的電流及電荷分布，通過計算提取所需的電磁特性參數(shù)。

作為本發(fā)明所述的一種基于疊層矩陣分解的低頻電磁特性仿真方法進一步優(yōu)化方案，第3步中，建立增量型電場積分方程系統(tǒng)矩陣的疊層矩陣的步驟如下：

第(1)步，分別針對定義在棱邊上的rwg基函數(shù)簇和定義在面片上的沖擊基函數(shù)簇，采用幾何遞歸二分的方法，構造電流簇樹和電荷簇樹；

第(2)步，電流簇樹和電荷簇樹相互作用，構造電流-電流塊樹、電流-電荷塊樹、電荷-電流塊樹和電荷-電荷塊樹，并引入容許條件來劃分容許塊和非容許塊，其中，非容許塊以滿陣形式表示，容許塊以低秩分解矩陣形式表示；

第(3)步，將系統(tǒng)矩陣中各子矩陣的非零元素分別填入對應的塊樹中，其中，對于電流子矩陣和電荷子矩陣，采用矩量法構造非容許塊，采用低頻多層快速多極子技術構造容許塊，并利用基于qr分解和奇異值分解的重壓縮方法進一步對容許塊進行壓縮；對于其余子矩陣，將其非零元素對應填入非容許塊或容許塊，生成系統(tǒng)矩陣的疊層矩陣。

作為本發(fā)明所述的一種基于疊層矩陣分解的低頻電磁特性仿真方法進一步優(yōu)化方案，第(3)步中，采用低頻多層快速多極子技術構造容許塊具體包括，提取低頻多層快速多極子的聚合、轉移和配置矩陣，將容許塊表示成低秩分解矩陣的形式，并通過調節(jié)多極子數(shù)目來控制低秩分解的精度。

作為本發(fā)明所述的一種基于疊層矩陣分解的低頻電磁特性仿真方法進一步優(yōu)化方案，第4步中，疊層矩陣格式的運算法則中涉及低秩分解矩陣運算，通過調節(jié)低秩分解矩陣運算中的截斷精度來控制疊層矩陣上下三角分解的精度，高精度的分解用于構造直接解法，低精度的分解用于構造預條件來加速迭代解法的收斂，且不同精度的分解具有不同的加速效果。

作為本發(fā)明所述的一種基于疊層矩陣分解的低頻電磁特性仿真方法進一步優(yōu)化方案，疊層矩陣上下三角分解的精度通過分解前后矩陣之差的二范數(shù)和分解前矩陣的二范數(shù)之比來定義，高精度指達到實際仿真精度要求的精度，低精度指低于實際仿真精度要求的精度。

本發(fā)明采用以上技術方案與現(xiàn)有技術相比，具有以下技術效果：

(1)本發(fā)明提出的基于疊層矩陣分解的低頻電磁特性仿真方法不僅為低頻電磁問題的迭代解法提供一種新型預條件技術，而且為低頻電磁問題的求解提供一種直接解法，顯著提高現(xiàn)有低頻電磁特性仿真方法的性能；

(2)與現(xiàn)有流行的約束預條件技術相比，本發(fā)明提出的基于疊層矩陣分解的預條件技術能夠顯著提高迭代收斂速度，有效解決在系統(tǒng)矩陣性態(tài)差時迭代收斂慢甚至不收斂的問題；

(3)本發(fā)明提出的基于疊層矩陣分解的直接解法能夠將計算復雜度降低到o(nlog²n)，將內存消耗降低到o(nlogn)(其中，n為未知量的數(shù)目)，為低頻電磁問題的直接求解提供一種可行途徑。

附圖說明

圖1是基于疊層矩陣分解的低頻電磁特性仿真方法流程圖。

圖2是遞歸二分定界盒子方法示意圖。

圖3是電流簇樹示意圖。

圖4是兩個簇樹相互作用示意圖。

圖5是電流-電流塊樹示意圖。

圖6a是低頻單層快速多極子算法轉移過程示意圖。

圖6b是低頻多層快速多極子算法轉移過程示意圖。

圖7是飛機目標模型及電流分布圖。

圖8是不同預條件技術的迭代收斂曲線圖。

圖9是疊層矩陣分解的計算復雜度曲線圖。

圖10是疊層矩陣分解的內存消耗曲線圖。

具體實施方式

下面結合附圖對本發(fā)明的技術方案做進一步的詳細說明：

圖1給出了本發(fā)明所述方法的主要流程，下面結合圖1對本發(fā)明所述方法的步驟作進一步詳細描述：

第1步，針對目標表面建立電場積分方程，

其中，i為根號負一，ω為角頻率，μr為相對磁導率，εr為相對介電常數(shù)，和分別表示源點和觀察點的位置矢量，為格林函數(shù)，表示觀察點處的表面電流，s'表示目標表面，▽'為梯度算子，表示入射電場矢量。然后，引入描述表面電流和表面電荷之間關系的電流連續(xù)性方程，

其中，表示觀察點處的表面電荷。

采用三角形單元離散目標表面，用rwg基函數(shù)來展開表面電流，用沖擊基函數(shù)來展開表面電荷，采用伽遼金方法測試后，生成增量型電場積分方程的系統(tǒng)矩陣方程：

其中，表示單位陣，上標t表示矩陣轉置，k0表示自由空間波數(shù)，c0表示光速，η0表示自由空間波阻抗，jm和ρm分別表示未知的電流系數(shù)和電荷系數(shù)，矩陣的元素的元素和右邊向量的元素bm具有如下形式：

其中，下標m和n分別表示矩陣的行編號和列編號，和分別表示第m個和第n個rwg基函數(shù)，hm(·)和hn(·)分別表示第m個和第n個沖擊基函數(shù)，bm為入射波和第m個rwg基函數(shù)作用生成的右邊向量元素，s表示目標的積分表面。矩陣是一個稀疏的關聯(lián)矩陣，描述了單元和棱邊之間的相互關系，其矩陣元素的表達式如下：

第2步，利用矩陣收縮方法或者縮減電荷自由度方法對該系統(tǒng)矩陣方程進行修正，消除電荷中性原理在極低頻率時造成的矩陣奇異性。

對于矩陣收縮方法，首先將系統(tǒng)矩陣方程變換為：

令方程(8)的系數(shù)矩陣為進而將修正為

其中，trace表示矩陣的跡，e表示單元離散生成的內邊數(shù)目，p表示單元離散生成的三角形面片數(shù)目。；是一個歸一化的向量：

其中，的前e個元素是0，后p個元素是這樣，基于矩陣收縮方法的增量型電場積分方程的系統(tǒng)可寫為：

對于縮減電荷自由度方法，只需在目標的每個獨立部分中去除一個電荷未知量，即在每個獨立部分讓表示電荷的面片數(shù)量從p縮減為p-1，從而消除矩陣的奇異性。

第3步，建立增量型電場積分方程系統(tǒng)矩陣的疊層矩陣表達式。進一步地，該過程分三步進行：

第(1)步，構造電流簇樹和電荷簇樹。簇樹ti一般通過遞歸地細分一組有限指標簇i＝{1,2,…,n}來構造。對于電流簇樹，i表示定義在棱邊自由度上的rwg基函數(shù)簇ij；對于電荷簇樹，i表示定義在面片自由度上的沖擊基函數(shù)簇iρ。采用基于定界盒子的遞歸二分方法來構造具有二叉樹結構的電流簇樹和電荷簇樹以構造電流簇樹為例，如圖2所示，首先以定界盒子包圍整個目標表面，然后不斷沿坐標軸三個方向對定界盒子進行遞歸二分，這樣包含在定界盒子中的rwg基函數(shù)簇ij也被遞歸二分，這一過程直至達到終止條件時結束。終止條件定義為，定界盒子達到預設尺寸或者定界盒子中的指標個數(shù)小于預設值。假定目標在三角形離散后生成25條棱邊，生成的電流簇樹如圖3所示。類似地，電荷簇樹也通過這種方式來構造，不同的是遞歸二分的不是棱邊簇，而是面片簇。

第(2)步，構造電流-電流塊樹、電流-電荷塊樹、電荷-電流塊樹和電荷-電荷塊樹。塊樹ti×j由兩個簇樹ti和tj相互作用生成。在伽遼金方法中，ti×j由兩個相同的簇樹ti和tj生成，其中，ti可視作原始基函數(shù)簇樹，tj可視作測試基函數(shù)簇樹。ti×j通過遞歸細分塊i×j來構造，細分過程直至塊t×s∈ti×j滿足如下容許條件：

min{diam(bt),diam(bs)}≤ηdist(bt,bs)(12)

其中，t表示簇樹ti中的任意簇，s表示簇樹tj中的任意簇，bt表示包圍t的最小定界盒子，bs表示包圍s的最小定界盒子，diam和dist分別表示定界盒子的歐幾里得直徑和距離；常數(shù)η＞0控制容許條件的嚴格程度，η越小，容許條件越嚴格。

以構造電流-電流塊樹為例，原始基函數(shù)簇的電流簇樹和表示測試基函數(shù)簇的電流簇樹層層相互作用，如圖4所示，從而生成電流-電流塊樹如圖5所示。

容許條件將塊樹中的所有塊劃分成兩類：容許塊和非容許塊。滿足容許條件的塊稱為容許塊，對于任一容許塊具有如下低秩分解的矩陣形式：

其中，和均為滿陣，上標p,q和k表示矩陣維度，符號表示復數(shù)域。容許塊之外的其余塊稱為非容許塊，以滿陣形式表示。如圖4所示，在中，白色塊為容許塊，黑色塊為非容許塊。

類似地，電流-電荷塊樹電荷-電流塊樹和電荷-電荷塊樹均可通過相應的簇樹之間的相互作用并選用適當?shù)娜菰S條件來構造。需要指出的是，和是方樹，即行簇樹和列簇樹相同；但和不是方樹，原因在于行簇樹和列簇樹不同。

第(3)步，將系統(tǒng)矩陣中各子矩陣的非零元素分別填入對應的塊樹中，生成系統(tǒng)矩陣的疊層矩陣表達式。根據(9)式，基于矩陣收縮方法的增量型電場積分方程的系統(tǒng)矩陣包含五個子矩陣：和因此，需要分別構造它們的疊層矩陣表達式和來構造出的疊層矩陣表達式

對于和的構造，需要將中的元素填入電流-電流塊樹中，中的元素填入電荷-電荷塊樹中。其中，以滿陣形式存儲的非容許塊采用矩量法直接構造，以低秩分解矩陣形式存儲的容許塊則采用低頻多層快速多極子算法(low-frequencymultilevelfastmultipolealgorithm,lf-mlfma)來構造。在簇樹層面，傳統(tǒng)lf-mlfma基于八叉樹結構，而疊層矩陣算法通?；诙鏄浣Y構，因此需要將八叉樹結構轉化為二叉樹結構。由于八叉樹的一層相當于二叉樹的三層，因此，當一個n層的八叉樹建立時，就相當于建立了一個3n層的二叉樹。在塊樹層面，傳統(tǒng)lf-mlfma和疊層矩陣中，容許塊和非容許塊的劃分方式必須一致，這要求容許條件的選取必須一致。根據傳統(tǒng)lf-mlfma的近遠場劃分方式可知，通過選取在(12)式所示的容許條件中選取η＝1能夠實現(xiàn)lf-mlfma和疊層矩陣塊樹的統(tǒng)一。這樣，便可采用lf-mlfma來構造和了。

三維lf-mlfma的核心轉移因子具有如下形式：

其中，父層轉移因子，表示子層配置因子，表示子層轉移因子，表示子層聚合因子。li為多極子模式數(shù)。這里，其中p表示多極子的數(shù)目，用來控制展開形式和轉移因子的精度。(14)式可寫成矩陣形式如下：

其中，和分別表示父層轉移矩陣、子層配置矩陣、子層轉移矩陣和子層聚合矩陣。考慮多層的情況，如圖6a、圖6b所示，每一層的矩陣形式如下：

第l層：

第l-1層：

對于滿足容許條件(12)的兩個簇t和s，根據(15)式集合其中所有指標j∈t和i∈s,即可構造出具有如下低秩分解形式的容許塊

其中，為配置矩陣，為聚合矩陣，為轉移矩陣，下標#t、#s和r表示矩陣的維度。這里，符號“#”用來表示簇里的指標個數(shù)。對于中的容許塊，#t表示觀察組(簇)t中rwg基函數(shù)的個數(shù)，#s則表示源組(簇)s中rwg基函數(shù)的個數(shù)；r＝3×(p+1)²，其中(p+1)²表示li的總數(shù)，常數(shù)項“3”描述的是電流矢量的三個方向。對于中的容許塊，#t和#s分別表示簇t和s中沖擊基函數(shù)的個數(shù)，由于電荷是標量，因此有r＝(p+1)²。通過調節(jié)多極子的數(shù)目p，可以控制低秩分解的精度。

盡管lf-mlfma構造的容許塊已經具有(16)式所示的低秩分解矩陣形式，該低秩分解矩陣仍然存在冗余信息，可被進一步壓縮，生成更為緊湊的疊層矩陣表達式。下面采用一種基于qr分解和奇異值分解的重壓縮方法對容許塊進一步壓縮，具體過程如下：

1.對執(zhí)行qr分解，生成矩陣qt和rt：(這里符號表示復數(shù)域，上標#t和r表示矩陣維度)；

2.對執(zhí)行qr分解，生成矩陣qs和rs：(這里符號表示復數(shù)域，上標#s和r表示矩陣維度)；

3.執(zhí)行的操作，并對進行奇異值分解，生成矩陣u，∑和v：其中∑為對角陣；

4.從矩陣∑的對角元素中提取部分元素構造出矩陣這里∑11,∑22…,∑kk分別表示矩陣∑的第1,2…,k個對角元素，且∑(k+1)(k+1)≤εrec∑11＜∑kk，其中，參數(shù)εrec表示相對截斷誤差，用來控制重壓縮的精度；

5.分別從u和v中提取前k列元素獲得矩陣和即：其中，uk和vk分別表示u和v的第k列元素；

6.獲得其中，和

對于的構造，由于是稀疏矩陣，因此只需將中的非零元素填入電荷-電流塊樹中。中的非零元素均可被填入非容許塊中，而不會被填入容許塊中，原因在于，滿足容許條件(12)的兩個簇t和s必然離開一定的距離，而根據(7)式，離開一定距離的i∈t,j∈s生成的矩陣元素因此，可由無損地表達。只是的轉置。此外，通過將電荷-電荷塊樹的主對角塊的主對角線元素賦值為1即可構造出來。

對于的構造，只需將中的非零元素填入電荷-電荷塊樹中，這里，表示提取向量中與電荷相關的部分向量，即：與的構造過程不同,中的容許塊極易生成，這是因為天然地具有低秩分解矩陣的形式，換句話說，中的任一容許塊均可直接從中提取，并具有秩k＝1的低秩分解矩陣形式：

表示向量中與簇t相關的部分向量，其維度為#t×1；表示向量中與簇s相關的部分向量，其維度為#s×1；下標#t和#s分別表示簇t和s中基函數(shù)的個數(shù)。需要指出的是，當分析目標包含多個獨立物體時，k的取值等于獨立物體的數(shù)目。中的非容許塊通過直接計算可方便地獲得。

至此，系統(tǒng)矩陣的五個子矩陣的疊層矩陣表達式和均構造完成，從而獲得了系統(tǒng)矩陣的疊層矩陣表達式

需要說明的是，上述第(1)步到第(3)步構造過程針對的是矩陣收縮方法。如果采用縮減電荷自由度的方法，只需在第(1)步中針對目標的每個獨立物體去掉一個面片自由度即可，而無需加入修正矩陣

第4步，采用疊層矩陣格式的運算法則對該疊層矩陣進行上下三角分解。

根據(9)式，可表示為一個2×2的分塊矩陣形式：

其中，及這里，表示中與電荷相關的子矩陣。

首先，通過計算來獲得這里，采用疊層矩陣格式的乘法取代傳統(tǒng)矩陣乘法來完成的操作。此外，采用疊層矩陣格式的加法取代傳統(tǒng)矩陣加法來完成的操作。然后，從(18)式所示分塊矩陣的上下三角分解出發(fā)，

這里，和分別表示對進行上下三角分解后獲得的矩陣塊，通過層層遞歸執(zhí)行如下步驟來完成疊層矩陣的上下三角分解：

1.對執(zhí)行上下三角分解：獲得和

2.求解下三角方程：獲得

3.求解上三角方程：獲得

4.計算然后對其執(zhí)行上下三角分解：獲得和

上述步驟中涉及到的矩陣加法和乘法均采用疊層矩陣格式的加法和乘法來完成。疊層矩陣格式的加法和乘法中涉及低秩分解矩陣的運算，采用基于qr分解和奇異值分解的截斷算子來定義，即：和引入自適應截斷誤差εt來控制截斷算子的精度，εt的含義是用低秩分解矩陣與滿陣之間的誤差。疊層矩陣上下三角分解的精度也由εt來調控。疊層矩陣上下三角分解在低頻電磁仿真時具有o(nlog²n)計算復雜度和o(nlogn)內存消耗，其中，n為未知量的數(shù)目。完成疊層矩陣的上下三角分解之后，獲得疊層矩陣格式的上下三角因子，結合疊層矩陣格式的前后向回代，即可用于完成對增量型電場積分方程的系統(tǒng)矩陣方程的求解。疊層矩陣格式的前后向回代在低頻電磁仿真時的計算復雜度為o(nlogn)。

第5步，將疊層矩陣的上下三角分解與前后向回代結合，采用預條件的迭代解法或者直接解法進行求解。將系統(tǒng)矩陣方程簡寫作：

其中，表示待求的未知系數(shù)向量，表示右邊向量。

采用預條件的迭代解法時，將方程(20)左右兩端同時乘以一個預條件矩陣讓具有比更小的條件數(shù)。疊層矩陣的上下三角分解用作預條件時，由于疊層矩陣分解之后，和均已獲得，只需執(zhí)行疊層矩陣格式的前后向回代即可完成一次的矩陣-向量乘操作，參與到迭代求解方程(20)的每一次矩陣-向量乘操作中。

采用直接解法時，由于方程(20)可寫為：

通過執(zhí)行一次前后向回代，即可獲得方程的解。

實際中，通過調節(jié)截斷誤差εt可以調控疊層矩陣分解的精度。高精度(達到工程需求的精度)的疊層矩陣分解可用作直接解法，低精度(未達到工程需求的精度)的疊層矩陣分解可用作迭代解法的預條件。疊層矩陣分解精度越高，預條件的效果越好，但同時構造時間和內存消耗也越大。因此，選用何種精度的疊層矩陣分解作為預條件，以及選用直接解法還是預條件的迭代解法，都需要考慮多種因素進行權衡。一般地，直接解法更適合于多右邊向量問題的求解，迭代解法更適合于單右邊向量問題的求解。

求解出電流和電荷系數(shù)后，即可獲得目標表面的電流及電荷分布，通過進一步計算即可提取出所需的電磁特性參數(shù)，可廣泛用于芯片封裝、集成電路、電磁散射、天線設計及電磁兼容等領域中的低頻電磁特性仿真。

實施例1

采用本發(fā)明所述方法對一個具有復雜外形的飛機目標的低頻電磁散射特性進行分析。該飛機目標的電尺寸為0.16λ×0.11λ×0.04λ，其中，λ表示入射電磁波的波長，如圖7所示。目標受10mhz的入射平面波照射。采用三角形單元離散，生成40704條棱邊和27136個面片，最小棱邊長度僅為0.910×10^-4λ。按照本發(fā)明所述步驟，構建基于疊層矩陣分解的預條件。采用低頻多層快速多極子算法的層數(shù)取為5層，構造的疊層矩陣層數(shù)為18層，多極子個數(shù)p取為5，容許塊重壓縮精度εrec取為10^-3。采用疊層矩陣分解預條件，來加速基于廣義最小余量法(gmres)的迭代解法的收斂，迭代收斂誤差設置為10^-6。疊層矩陣分解預條件中，分別測試截斷精度εt為10^-2和10^-3兩種情況。圖8給出了迭代收斂曲線，并與常用的約束預條件進行了對比，可以看出，本發(fā)明所述方法能夠顯著提高迭代收斂速度。表1給出求解效率的對比，可以看出，約束預條件盡管構造時間短，但預條件效果不理想，收斂速度慢，因此求解時間長；而本發(fā)明所述方法則顯著提高了求解效率。此外，從表1不難看出，對于單激勵問題，低截斷精度的預條件求解效率高；但是對于多激勵問題(如：單站雷達散射截面分析等)，高截斷精度的預條件甚至直接解法則更有效，因為疊層矩陣分解只需構造一次，而迭代過程則需進行多次。圖9和圖10表明，本發(fā)明所述疊層矩陣分解方法能夠將計算復雜度和內存消耗分別降低到o(nlog²n)和o(nlogn)。

表1幾種預條件技術之間的性能比較

以上內容是結合具體的優(yōu)選實施方式對本發(fā)明所作的進一步詳細說明，不能認定本發(fā)明的具體實施只局限于這些說明。對于本發(fā)明所屬技術領域的普通技術人員來說，在不脫離本發(fā)明構思的前提下，還可以做出若干簡單推演或替代，都應當視為屬于本發(fā)明的保護范圍。