本發(fā)明涉及一種功能梯度材料建模方法，特別是涉及一種基于等幾何分析法的功能梯度材料零件建模方法。

背景技術(shù)：

文獻“基于從材料空間到幾何空間映射思想的功能梯度材料建模方法，計算機集成制造系統(tǒng)，2009，Vol31(8)，p1864-1869”針對幾何形狀、材料分布復(fù)雜的功能梯度材料零件，提出了一種從材料空間到幾何空間映射的建模思想。該方法首先定義梯度材料空間，然后給定從材料空間到幾何空間的映射函數(shù)，通過材料組分值和相應(yīng)的映射函數(shù)，確定與給定材料組分值對應(yīng)的幾何空間。再利用插值算法，計算其他部分的材料信息，最終實現(xiàn)模型幾何信息和材料信息的整體表達，就有數(shù)據(jù)的簡潔等重要性質(zhì)。文獻所述方法通過指定無物理意義的三角函數(shù)、線性函數(shù)等作為幾何空間與材料空間的映射函數(shù)，無法適應(yīng)具有復(fù)雜形狀功能梯度零件；當(dāng)零件邊界材料組分發(fā)生變化時，需要重新通過插值算法確定零件內(nèi)部材料分布狀態(tài)，效率不高。

技術(shù)實現(xiàn)要素：

為了克服現(xiàn)有功能梯度材料建模方法效率低的不足，本發(fā)明提供一種基于等幾何分析法的功能梯度材料零件建模方法。該方法采用泊松方程精確描述零件內(nèi)部材料分布，并采用張量積NURBS參數(shù)體對功能梯度材料零件幾何與材料進行耦合表達，將設(shè)計人員指定的材料信息作為邊界條件，通過等幾何分析算法求解上述泊松方程，最終實現(xiàn)功能梯度材料建模。由于泊松方程是一種偏微分方程，其計算域可以是任何復(fù)雜幾何空間，因此具有較強的適應(yīng)性，而等幾何分析法能夠?qū)⒘慵缀伪磉_與材料空間計算納入統(tǒng)一框架之下，省去了節(jié)點插值、模型轉(zhuǎn)換等環(huán)節(jié)，提升了材料空間的計算效率。

本發(fā)明解決其技術(shù)問題所采用的技術(shù)方案是：一種基于等幾何分析法的功能梯度材料零件建模方法，其特點是包括以下步驟：

(a)建立功能梯度材料零件內(nèi)部材料分布數(shù)學(xué)模型。

功能梯度材料零件內(nèi)部材料分布狀態(tài)抽象為以下數(shù)學(xué)模型：

其中，A為拉普拉斯微分算子矩陣，f＝[f₁,f₂…f_N]表示組成功能梯度材料零件的N種材料對應(yīng)的體積分數(shù)，b＝[b₁,b₂…b_N]為設(shè)計人員控制零件內(nèi)部材料分布的調(diào)整系數(shù)，f⁰表示邊界處已知的材料組分信息，Ω指零件幾何空間，指零件幾何空間邊界。

公式(2)為公式(1)中Af＝b的展開表示形式：

由公式(1)和公式(2)得到，功能梯度材料零部件內(nèi)部第i種材料需滿足：

(b)離散零件幾何空間。

零件幾何區(qū)域離散表示為控制頂點以及B樣條基函數(shù)的線性加權(quán)組合：

式中，r(u,v,w)表示離散后的零件幾何空間，N_i(u),N_j(v),N_k(w)表示由節(jié)點矢量U,V,W定義的B樣條基函數(shù)，m,n,l表示沿著參數(shù)u,v,w三個方向的控制頂點個數(shù)，d_ijk表示控制頂點。

(c)采用等幾何分析法進行方程求解并完成建模。

采用加權(quán)余量法，在公式(3)材料場平衡方程的兩端同乘上一個權(quán)函數(shù)w，權(quán)函數(shù)被理解為材料場的變分，拉普拉斯微分算子簡化表示為原方程轉(zhuǎn)化為：

通過分步積分和格林公式，得到：

式中，Γ表示幾何空間邊界，其意義與相同，n表示幾何空間邊界處的法向矢量。由于建立的數(shù)學(xué)模型中不涉及第二類、第三類邊界條件，且在第一類邊界條件處權(quán)函數(shù)w＝0，因此整理公式(6)得泊松方程等效積分弱形式：

確定等幾何分析中的形狀函數(shù)以及權(quán)函數(shù)w，梯度材料零件內(nèi)部材料空間由B樣條離散表示為：

式中，被稱為材料體積分數(shù)控制變量。將公式(8)代入到公式(7)中得：

式中，[K_ij]和[F_i]分別表示等幾何分析中的剛度矩陣和載荷向量，它們的分量由以下公式計算：

式中，N_i,N_j分別表示形狀函數(shù)以及權(quán)函數(shù)。

對公式(9)表示的線性方程組進行求解，得到零件材料體積分數(shù)控制變量代入公式(8)得到零件內(nèi)部任意材料體積分數(shù)。

本發(fā)明的有益效果是：該方法采用泊松方程精確描述零件內(nèi)部材料分布，并采用張量積NURBS參數(shù)體對功能梯度材料零件幾何與材料進行耦合表達，將設(shè)計人員指定的材料信息作為邊界條件，通過等幾何分析算法求解上述泊松方程，最終實現(xiàn)功能梯度材料建模。由于泊松方程是一種偏微分方程，其計算域可以是任何復(fù)雜幾何空間，因此具有較強的適應(yīng)性，而等幾何分析法能夠?qū)⒘慵缀伪磉_與材料空間計算納入統(tǒng)一框架之下，省去了節(jié)點插值、模型轉(zhuǎn)換等環(huán)節(jié)，提升了材料空間的計算效率。

下面結(jié)合具體實施方式對本發(fā)明作詳細說明。

具體實施方式

本發(fā)明基于等幾何分析法的功能梯度材料零件建模方法具體步驟如下：

1、建立功能梯度材料零件內(nèi)部材料分布數(shù)學(xué)模型。

以功能梯度材料各組成材料相的體積分數(shù)f作為設(shè)計變量，零件內(nèi)部材料分布狀態(tài)可以抽象為以下數(shù)學(xué)模型：

其中，A為拉普拉斯微分算子矩陣，f＝[f₁,f₂…f_N]為組成功能梯度材料零件的N種材料對應(yīng)的體積分數(shù)，b＝[b₁,b₂…b_N]為設(shè)計人員控制零件內(nèi)部材料分布的調(diào)整系數(shù)，f⁰表示邊界處已知的材料組分信息，Ω指零件幾何空間，指零件幾何空間邊界。

公式(2)為公式(1)中Af＝b的展開表示形式：

由公式(1)和公式(2)可得，功能梯度材料零部件內(nèi)部第i種材料需滿足：

對于上述數(shù)學(xué)模型，公式(1)中的f＝f⁰表示泊松方程中的狄利克雷邊界條件，在功能梯度材料零件建模中可解釋為邊界上由設(shè)計人指定的材料分布信息，因此被稱為材料邊界條件，又習(xí)慣把它稱為本質(zhì)邊界條件。

2、離散零件幾何空間。

由于具有復(fù)雜結(jié)構(gòu)的零件在商業(yè)計算機輔助設(shè)計軟件內(nèi)部進行建模時，往往自動生成零件模型的控制頂點以及節(jié)點矢量，因此通過軟件二次開發(fā)技術(shù)導(dǎo)出零件幾何區(qū)域的控制頂點以及節(jié)點矢量，利用計算機圖形學(xué)中的B樣條理論實現(xiàn)零件重構(gòu)。即零件幾何區(qū)域可以離散表示為控制頂點以及B樣條基函數(shù)的線性加權(quán)組合：

式中，r(u,v,w)表示離散后的零件幾何空間，N_i(u),N_j(v),N_k(w)表示由節(jié)點矢量U,V,W定義的B樣條基函數(shù)，m,n,l表示沿著參數(shù)u,v,w三個方向的控制頂點個數(shù)，d_ijk表示控制頂點。通過公式(4)實現(xiàn)了零件幾何區(qū)域的離散表示，同時該式也將擴展為后續(xù)步驟中材料空間的表示式。

3、采用等幾何分析法進行方程求解并完成建模。

采用加權(quán)余量法，在材料場平衡方程(3)的兩端同乘上一個權(quán)函數(shù)w，權(quán)函數(shù)可以理解為材料場的變分，拉普拉斯微分算子可以簡化表示為原方程轉(zhuǎn)化為：

通過分步積分和格林公式，可以得到：

式中，Γ表示幾何空間邊界，其意義與相同，n表示幾何空間邊界處的法向矢量。由于建立的數(shù)學(xué)模型中不涉及第二類、第三類邊界條件，且在第一類邊界條件處權(quán)函數(shù)w＝0，因此整理公式(6)可得泊松方程等效積分弱形式：

由于在步驟2中已經(jīng)實現(xiàn)了幾何區(qū)域的B樣條離散表示，因此使用幾何離散表示中引入的B樣條基函數(shù)N_i(u),N_j(v),N_k(w)作為等幾何分析的形狀函數(shù)以及權(quán)函數(shù)w，同時在原幾何空間維度上添加材料空間維度，實現(xiàn)梯度材料零件內(nèi)部材料空間的B樣條離散表示：

式中，被稱為材料體積分數(shù)控制變量，公式(4)中幾何形狀控制頂點d_ijk類似。將公式(8)代入到公式(7)中得：

式中，[K_ij]和[F_i]分別表示等幾何分析中的剛度矩陣和載荷向量，它們的分量由以下公式計算：

式中，N_i,N_j分別表示形狀函數(shù)以及權(quán)函數(shù)。

對公式(9)表示的線性方程組進行求解，得到零件材料體積分數(shù)控制變量代入公式(8)可得到零件內(nèi)部任意材料體積分數(shù)。

指定零件內(nèi)部任意點u,v,w，即可通過公式(4)得到零件內(nèi)部該點對應(yīng)的幾何空間坐標。公式(8)中的控制變量由公式(9)求解線性方程組得到，因此將u,v,w代入到公式(8)中即可得到該點材料的體積分數(shù),從而實現(xiàn)功能梯度材料零件幾何空間以及材料空間的數(shù)學(xué)表達，即完成了功能梯度材料零件建模。