本發(fā)明屬于電磁場散射測量領(lǐng)域，更具體地，是一種快速構(gòu)造低維減基空間的方法。

背景技術(shù)：

在電磁場散射測量領(lǐng)域中，根據(jù)測量信號提取待求參數(shù)的過程中，涉及到多次正向建模，即需要對待求參數(shù)選取很多數(shù)值，并求解對應(yīng)的仿真模型。仿真模型一般采用傳統(tǒng)的數(shù)值方法進(jìn)行求解，如有限元法、有限時域差分法、邊界元法等。在實(shí)際操作過程中，上述數(shù)值方法將待仿真模型轉(zhuǎn)化為高維線性方程進(jìn)行求解，即轉(zhuǎn)化為高維模型的求解。雖然已有多種針對高維模型的快速求解方法，但計算效率仍然難以滿足實(shí)際測量應(yīng)用中的需求。究其原因，是因?yàn)榍蠼膺^程中的計算復(fù)雜度并沒有顯著降低。

為了解決這一問題，發(fā)展出了多種模型降階方法，如降階方法動力縮聚法、基于Krylov子空間技術(shù)方法、正常正交分解法、平衡截斷法等，上述方法可以在一定程度上降低高維模型的維度，進(jìn)而減小計算復(fù)雜度，提高計算效率。但上述方法仍然存在諸多缺陷，如難以對非線性問題進(jìn)行有效表示，計算效率提升有限等。減基法作為近年來新發(fā)展起來的一種新型模型降階方法，克服了上述模型降階方法存在的缺陷。其特征在于，針對待仿真模型，利用貪婪算法構(gòu)造出一個減基空間；將高維模型投影至該空間，得到與減基空間維度相同的近似模型；以近似模型代替原始高維模型進(jìn)行求解，獲得待仿真模型的近似解。由于近似模型的維度遠(yuǎn)小于高維模型，因此待仿真模型的求解效率得到了極大提升。

由以上描述可見，近似模型的維度與所得待仿真模型解的精度，完全由減基空間決定。因此，如何在保證精度的前提下，盡可能快地構(gòu)造維度更低的減基空間變得至關(guān)重要。

現(xiàn)有研究中，為提高減基空間的構(gòu)造速度，多采用以近似誤差因子代替真實(shí)投影誤差的方法，避免了求解所有可變參數(shù)采樣點(diǎn)對應(yīng)的高維模型，從而減小了一部分計算量。然而，這種近似誤差因子通常是真實(shí)投影誤差的幾倍甚至上十倍，從而導(dǎo)致基于近似誤差因子構(gòu)造的減基空間的維度，大于基于真實(shí)誤差因子構(gòu)造的減基空間的維度，進(jìn)而降低了低維模型的求解效率。而且，對于有些問題而言，難以構(gòu)造近似誤差因子。此外，現(xiàn)有研究中，為進(jìn)一步降低減基空間的維度，多將可變參數(shù)的參數(shù)域分割為多個子域，在各子域內(nèi)獨(dú)立構(gòu)造減基空間(稱為局部減基空間)。由于在一個參數(shù)子域內(nèi)選出的減基空間的基函數(shù)，對另一個參數(shù)子域內(nèi)的減基空間影響較小，因此這種基于參數(shù)域分割獲得的部分減基空間，其維度應(yīng)當(dāng)小于基于整體參數(shù)域構(gòu)造的減基空間的維度。然而，這種方法并非從本質(zhì)上減小減基空間的維度。

為了方便表述，此處以邊界元法為例進(jìn)行說明，對于其他基于微分方程的數(shù)值建模方法，只需將以下表述中的幾何邊界用幾何域進(jìn)行替換，所述原理并不發(fā)生改變。假設(shè)散待仿真結(jié)構(gòu)Ω由K條邊界分割為多個均勻區(qū)域，利用邊界元法將待仿真模型轉(zhuǎn)化為高維系統(tǒng)AX＝b進(jìn)行求解。如果我們最終關(guān)心的輸出量僅與S條邊界(1≤s≤S，1≤l_s≤K)上的場變量相關(guān)，則其余(K-S)條邊界上的場變量可視為該問題中的冗余信息。因此，利用減基法對高維系統(tǒng)進(jìn)行整體降階是一種不經(jīng)濟(jì)的做法，不僅使得減基空間的構(gòu)造極為耗時，而且最終所得的低維模型仍然包含了冗余信息，從而影響其求解效率。

技術(shù)實(shí)現(xiàn)要素：

本發(fā)明公開了一種電磁散射建模中快速構(gòu)造低維減基空間的方法，用于大幅降低現(xiàn)有減基法中構(gòu)造減基空間的計算量，達(dá)到提高構(gòu)造減基空間效率的目標(biāo)；同時可以獲得更低維度的減基空間，從而進(jìn)一步降低電磁測量領(lǐng)域中的模型計算復(fù)雜度，進(jìn)而進(jìn)一步降低系統(tǒng)的成本，提高系統(tǒng)處理速度。

本發(fā)明提出的一種電磁場散射測量領(lǐng)域中仿真模型的減基方法，包括以下步驟：

步驟101，在待仿真模型所包含的可變參數(shù)對應(yīng)的參數(shù)域中，進(jìn)行采樣，獲得一系列可變參數(shù)的采樣點(diǎn)；

步驟102，定義待仿真結(jié)構(gòu)的參考形貌，將參考形貌離散化；所述參考形貌，指待仿真結(jié)構(gòu)的可變參數(shù)取值為其參數(shù)域的中間值的仿真結(jié)構(gòu)；

步驟103，將所有可變參數(shù)采樣點(diǎn)對應(yīng)的實(shí)際形貌上描述待仿真模型的控制方程，轉(zhuǎn)化為參考形貌上的控制方程；

步驟104，基于步驟102中參考形貌的離散結(jié)果，將步驟103中所有可變參數(shù)采樣點(diǎn)對應(yīng)的控制方程，轉(zhuǎn)化為高維線性方程組進(jìn)行求解，稱高維線性方程組為高維模型；

步驟105，根據(jù)應(yīng)用需要，選出決定待仿真模型輸出參數(shù)的主域或主邊界，從高維模型中分離出關(guān)于主域內(nèi)或主邊界上待求變量的部分，稱為高維部分模型；

所述主域?qū)?yīng)于有限元法或有限時域差分法，所述主邊界對應(yīng)于邊界元法或矩量法；

步驟106，利用貪婪算法，在所有可變參數(shù)采樣點(diǎn)對應(yīng)的高維部分模型中進(jìn)行迭代，每一步迭代選出一個投影誤差最大的參數(shù)；最大投影誤差小于預(yù)設(shè)誤差閾值時，迭代終止；所有在迭代過程中選出的參數(shù)對應(yīng)的高維部分模型的解，將作為基函數(shù)構(gòu)成減基空間。

進(jìn)一步的，步驟101中，所述可變參數(shù)包括待仿真模型的形貌參數(shù)，或者還包括輸入項(xiàng)的特征參數(shù)，包括入射電磁波的波長或/和入射角。

進(jìn)一步的，步驟101中，在可變參數(shù)的參數(shù)域內(nèi)采樣，可采用均勻采樣、對數(shù)采樣、切比雪夫采樣等多種方法。

進(jìn)一步的，步驟102中，其特征在于，離散參考形貌可以選用常單元、線性單元或高階單元。

進(jìn)一步的，步驟103中，如果可變參數(shù)不包含表征待仿真結(jié)構(gòu)的形貌參數(shù)，則參考形貌和實(shí)際形貌上控制方程相同。

進(jìn)一步的，步驟106的實(shí)現(xiàn)包含以下步驟：

步驟201，從所有可變參數(shù)采樣點(diǎn)中任選一個參數(shù)，計算其所對應(yīng)的高維部分模型的解并歸一化，作為構(gòu)造減基空間的第一個基函數(shù)；

步驟202，基于基函數(shù)，構(gòu)造減基空間；

步驟203，將各個可變參數(shù)采樣點(diǎn)對應(yīng)的高維部分模型，投影至步驟202所述的不完備的減基空間，得到不完備的低維模型并求解；

步驟204，計算步驟203投影過程中各個可變參數(shù)采樣點(diǎn)對應(yīng)的投影誤差；

所述投影誤差，指分別求解高維部分模型和對應(yīng)的不完備低維模型所得解之間的誤差的范數(shù)；

步驟205，從步驟204中所得的各個可變參數(shù)采樣點(diǎn)對應(yīng)的投影誤差中，選出最大值，與預(yù)定的誤差閾值比較大??；

步驟206，若步驟205中最大投影誤差大于誤差閾值，則從可變參數(shù)采樣點(diǎn)中選出與最大投影誤差對應(yīng)的參數(shù)，該參數(shù)對應(yīng)的高維部分模型的解，與已有的減基空間的基函數(shù)正交歸一化后，添加至基函數(shù)組合中，轉(zhuǎn)步驟202；

步驟207，若步驟205中最大投影誤差小于誤差閾值，則獲得完備的減基空間，減基空間構(gòu)造結(jié)束。

進(jìn)一步的，步驟204中，計算投影誤差可采用l₂范數(shù)或l_∞范數(shù)。

進(jìn)一步的，步驟201和206中，基函數(shù)的正交歸一化可采用QR分解法或Gram-Schmit方法實(shí)現(xiàn)。

本發(fā)明中所述“低維”指得到的減基空間的維度，與傳統(tǒng)減基法所得減基空間相比，維度更低。

減基法在實(shí)際應(yīng)用過程中面臨兩個問題：1)如何快速構(gòu)造一個減基空間；2)如何獲得維度更低的減基空間(對應(yīng)的近似模型維度更低，求解效率更高)。與傳統(tǒng)減基法針對高維模型進(jìn)行整體降階的做法不同，本專利所述方法是對從高維模型中分離出來的部分模型(因?yàn)槠渚S度依舊很高，稱為高維部分模型)進(jìn)行降階，可以同時解決以上兩個問題。因此，本專利所述方法其實(shí)是對傳統(tǒng)減基法的一種改進(jìn)。

基于以上的分析，本發(fā)明公開了一種電磁散射建模中快速構(gòu)造低維減基空間的方法，該方法僅對高維模型中決定最終輸出量的部分進(jìn)行降階處理。我們稱與最終輸出量相關(guān)的邊界為主邊界，無關(guān)的邊界為次邊界。根據(jù)待仿真結(jié)構(gòu)邊界的劃分結(jié)果(劃分為K個自邊界)，將高維線性系統(tǒng)中的阻抗矩陣A劃分為K²個分塊，并選出與主邊界相關(guān)的S²個分塊A_ij(l₁≤i,j≤l_S)組合成一個新的矩陣A_p，稱之為與主邊界相關(guān)的高維部分模型的阻抗矩陣。類似地，將激勵向量b按邊界劃分結(jié)果劃分為K個分塊，選出與主邊界相關(guān)的S個分塊b_i(l₁≤i≤l_S)，并消去主邊界上的激勵在次邊界上產(chǎn)生的作用，按順序組合成一個新的向量b_p，稱之為與主邊界相關(guān)的高維部分模型的激勵向量。通過上述方法構(gòu)造的高維部分模型，僅僅包含了主邊界上的場變量信息，并且仍然保持了其在高維模型中的特性不變。針對上述高維部分模型構(gòu)造減基空間，不僅可以極大地提高減基空間的構(gòu)造效率，而且可進(jìn)一步降低減基空間的維度，從而進(jìn)一步提高近似模型的求解效率。

附圖說明

參照下面的說明，結(jié)合附圖，可以對本發(fā)明有最佳的理解。在附圖中，相同的部分可由相同的標(biāo)號表示。

圖1示出了本發(fā)明公開的方法的實(shí)現(xiàn)流程圖；

圖2示出了本發(fā)明公開的方法中構(gòu)造部分減基空間的實(shí)現(xiàn)流程圖；

圖3以正方形結(jié)構(gòu)為例，示出了本發(fā)明公開的方法中參考形貌到實(shí)際形貌的仿射變換的實(shí)現(xiàn)流程圖；

圖4示出了本發(fā)明實(shí)施例1中所采用的二維散射體的截面示意圖；

圖5示出了本發(fā)明實(shí)施例1中，利用貪婪算法構(gòu)造整體減基空間與部分減基空間時最大投影誤差隨減基空間維度的收斂圖；

圖6示出了本發(fā)明實(shí)施例1中，新參數(shù)下求解高維模型和將高維部分模型投影至部分減基空間所得的近似低維模型，所得的主邊界上場變量的振幅對比；

圖7示出了本發(fā)明實(shí)施例2中所采用的二維散射體的截面示意圖；

圖8示出了本發(fā)明實(shí)施例2中，新參數(shù)下求解高維模型和將高維部分模型投影至部分減基空間所得的近似低維模型，所得的主邊界上場變量的振幅對比。

具體實(shí)施方式

為了使本發(fā)明的目的、技術(shù)方案及優(yōu)點(diǎn)更加清楚明白，以下結(jié)合附圖及示例性實(shí)施例，對本發(fā)明進(jìn)行進(jìn)一步詳細(xì)說明。為方便描述，此處以邊界元法求解電磁散射問題為例，對本發(fā)明所公開的方法進(jìn)行詳細(xì)闡述。應(yīng)當(dāng)理解，此處所描述的示例性實(shí)施例僅用以解釋本發(fā)明，并不用于限定本發(fā)明的適用范圍。

圖1示出了本發(fā)明提供部分減基法的示例性處理流程。以邊界元法求解電磁散射問題的基礎(chǔ)，即電磁散射問題中邊界元法的控制方程，為物體邊界上電磁場變量的積分方程：

其中r₁與r₂分別代表觀察點(diǎn)和源點(diǎn)的坐標(biāo)。若觀察點(diǎn)不在物體的邊界上，則c＝1；若觀察點(diǎn)位于邊界上，則c＝α/2π(二維問題下)或c＝α/4π(三維問題下)，α是邊界上源點(diǎn)處的內(nèi)包角。G(r₁,r₂)是Helmholtz方程的基本解，G^*(r₁,r₂)是G(r₁,r₂)的法向?qū)?shù)。u^t(r₁)和u^t(r₂)分別代表觀察點(diǎn)和源點(diǎn)處的總場，u^inc(r₁)代表觀察點(diǎn)處的入射場q(r₂)為u^t(r₂)的法向?qū)?shù)。TE偏振下有p＝1，u代表電場，TM偏振下有p＝ε_r代表材料的相對介電常數(shù)，u代表磁場。

在電磁散射測量中，物體的形貌是一個重要的測量對象。圖1步驟102中，首先定義待仿真結(jié)構(gòu)的一個參考形貌則任意可變參數(shù)對應(yīng)的實(shí)際形貌均可以通過參考形貌的變換得到。所述變換包括縮放變換、旋轉(zhuǎn)變換和位移變換。假設(shè)待仿真結(jié)構(gòu)包含多個邊界，則待仿真結(jié)構(gòu)參考形貌上第i個邊界到實(shí)際形貌上對應(yīng)的第i個邊界的仿射變換關(guān)系T_i:可表述為其中映射參數(shù)γ_i∈R為縮放系數(shù)，R_i∈R^d×d為d維空間中的旋轉(zhuǎn)矩陣，t_i∈R^d為位移向量。為具體說明參考形貌到實(shí)際形貌的仿射變換的實(shí)現(xiàn)，圖3中以二維正方形結(jié)構(gòu)形貌的仿射變換為例詳細(xì)地進(jìn)行闡述。如圖3(a)所示，設(shè)參考形貌為邊長為L，中心點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合的正方形，實(shí)際形貌為邊長為2L，中心點(diǎn)坐標(biāo)為(1.75L,1.5L)且經(jīng)過旋轉(zhuǎn)的正方形。則參考形貌到實(shí)際形貌的仿射變換可分解為縮放變換、旋轉(zhuǎn)變換和位移變換的組合，如圖3(b)所示。由第一步縮放變換可知，縮放系數(shù)γ＝2；由第二步旋轉(zhuǎn)變換可知，結(jié)構(gòu)沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)了45°，則旋轉(zhuǎn)矩陣由第三步平移變換可知，位移向量t＝[1.75L,1.5L]。

因此，式(1)中實(shí)際形貌的邊界上的積分方程，可以轉(zhuǎn)化為定義在參考形貌的邊界上的積分方程

其中并且有

式(2)中，若場變量u及其法向?qū)?shù)q為標(biāo)量，則若為矢量，則其中表示參考形貌上源點(diǎn)處的旋轉(zhuǎn)矩陣。

圖1步驟102中，離散參考形貌的邊界將式(2)中邊界積分方程描述的待仿真模型，可用一個維度為N^h的線性方程組表征，稱為高維模型。在參數(shù)化環(huán)境中，該高維模型可寫作

A(μ)X＝b(μ) (4)

其中，可變參數(shù)μ∈Δ，Δ表示可變參數(shù)的參數(shù)域。阻抗矩陣A包含了式(4)所示線性方程組中的所有系數(shù)，b為包含入射項(xiàng)的激勵項(xiàng)，X為散射體邊界上待求的場變量。

若物體Ω由K條邊界包圍，則阻抗矩陣A可分解為K²個分塊A_ij(1≤i,j≤K)，A_ij代表源點(diǎn)x和觀察點(diǎn)y分別落在邊界和上。同理，激勵項(xiàng)b和待求量X可以分別分解為K個分塊b_i與X_i(1≤i≤K)，b_i代表邊界上的入射場，X_i代表邊界上待求的場變量。假設(shè)最終的輸出量僅與邊界(1≤s≤S,1≤l_s≤K)上的場變量相關(guān)，并稱這些邊界為主邊界，其余邊界(1≤t≤T,1≤k_T≤K,k_t≠l_s)為次邊界。如圖1步驟105所示。在確定了主邊界的基礎(chǔ)上，可以構(gòu)造關(guān)于主邊界上場變量的維度為的高維部分模型

A_p(μ)X_p＝b_p(μ) (5)

其中，阻抗矩陣A_p由高維模型的阻抗矩陣A中與主邊界相關(guān)的分塊矩陣，重新組合而得

高維部分模型的激勵項(xiàng)定義為

其中，代表邊界上的激勵項(xiàng)，代表邊界上的場變量，代表阻抗矩陣A中觀察點(diǎn)和源點(diǎn)分別落在邊界和g上的分塊矩陣。式(7)中b_p的定義表明，原始高維模型中主邊界上的激勵在次邊界上產(chǎn)生的作用，已經(jīng)從主邊界上的原始激勵中消去了。因此，基于高維模型和高維部分模型求解所得主邊界上的場變量是相等的，即

圖1步驟106中，針對高維部分模型，利用貪婪算法構(gòu)造減基空間，其具體流程見圖2所示。第一步，如步驟201所示，從可變參數(shù)的所有采樣點(diǎn)μ_Ξ中任選一參數(shù)μ₁，其對應(yīng)的高維部分模型的解X_p(μ₁)歸一化為ξ₁，構(gòu)成減基空間的基函數(shù)ζ＝{ξ₁}。第二步，如步驟202所示，根據(jù)基函數(shù)ζ構(gòu)造不完備的減基空間。第三步，如步驟203所示，將各個可變參數(shù)采樣點(diǎn)對應(yīng)的高維部分模型，投影至不完備的減基空間，得到不完備的低維模型

并求解。其中，第四步，如步驟204所示，計算步驟203投影過程中各個可變參數(shù)采樣點(diǎn)對應(yīng)的投影誤差

其中表示將低維模型的解向高維部分模型的解空間中逆向投影。第五步，如步驟205所示，比較最大投影誤差max(ε(μ_Ξ))與預(yù)設(shè)誤差閾值ε_tol。若前者大于后者，則選出誤差最大的參數(shù)該參數(shù)對應(yīng)的高維部分模型的解X_p(μ_i)與已有的減基空間的基函數(shù)ζ正交歸一化為ξ，并擴(kuò)充基函數(shù)至ζ＝{ζ,ξ}，如步驟206所示，轉(zhuǎn)202；若前者小于后者，則獲得完備的減基空間，減基空間構(gòu)造結(jié)束，如步驟207所示。

為方便后續(xù)描述，本發(fā)明中涉及的幾個減基空間的聲明如下：部分減基空間是指針對高維部分模型構(gòu)造的減基空間，整體減基空間是指針對原始高維模型構(gòu)造的減基空間。

步驟203中，將一個n維模型投影到低維度的減基空間中，其計算復(fù)雜度為Ο(n²)。假設(shè)高維部分模型的維度是原始高維模型維度N^h的1/m，并假設(shè)部分減基空間和整體減基空間的維度相同，則前者的計算復(fù)雜度僅為后者的1/m²。此外，由于高維部分模型的復(fù)雜度小于原始高維模型，可以預(yù)見部分減基空間的維度N_p理論上比整體減基空間的維度N低，即N_p<N。結(jié)合前面的分析可知，針對同一個電磁散射問題，理論上構(gòu)造部分減基空間的計算復(fù)雜度為構(gòu)造整體減基空間計算復(fù)雜度的g倍。此外，將高維部分模型投影至部分減基空間所得低維模型的維度為N_p，而將原始高維模型投影至整體減基空間所得低維模型的維度為N，則前者的求解復(fù)雜度僅為后者的(N_p/N)³。由此可見，本發(fā)明公開的方法，不僅可以實(shí)現(xiàn)減基空間的快速構(gòu)造，而且得到的近似模型維度更低，相應(yīng)地，具有更高的求解效率。

為清晰的展示本發(fā)明公開方法的有效性，將分別針對閉合邊界的物體和無限寬基底上的物體進(jìn)行電磁散射仿真研究。所有仿真均在配置了雙Intel Xeon E5-2650處理器的工作站上完成，每個處理器的時鐘頻率均為2GHz，仿真采用Matlab軟件編程實(shí)現(xiàn)。

圖4所示的二維圓柱散射體，該結(jié)構(gòu)中心為半徑R＝1μm的Si圓柱體，外層涂覆厚度分別為t₁和t₂的SiO₂和Si₃N₄材料。假設(shè)波長為0.6μm的TE偏振平面波，如圖3中301所示，垂直投射到散射體上，可變參數(shù)包括t₁∈[0.5,0.55]μm，t₂∈[0.6,0.65]μm。該散射體包括三條邊界，由內(nèi)向外分別以402、403和404表示。對于該電磁散射問題，我們關(guān)心的是入射平面波與散射體作用后自由空間中電磁場的分布，即最終關(guān)心的輸出量是自由空間中的電磁近場分布。根據(jù)邊界元法的原理容易得知，自由空間中的電磁近場完全受最外層邊界404上的場變量控制，因此，本實(shí)施例中主邊界為404，次邊界為402與403。設(shè)構(gòu)造減基空間時的誤差閾值tol＝10^-5，分別針對原始高維模型和高維部分模型構(gòu)造減基空間。

圖5為利用貪婪算法構(gòu)造減基空間過程中，最大投影誤差max(ε(μ_Ξ))的收斂圖。501和502分別表示構(gòu)造整體減基空間和部分減基空間過程中最大投影誤差隨著迭代步數(shù)增加的收斂趨勢，可見前者的收斂速度僅約為后者的一半，從側(cè)面預(yù)示了整體減基空間的維度N應(yīng)當(dāng)約為部分減基空間維度N_p的兩倍。

表1展示了本實(shí)施例中原始的高維模型、高維部分模型、整體減基空間和部分減基空間的維度，四者分別為N^h＝2904，N＝179和N_p＝81。N/N_p＝2.21與圖4展示結(jié)果基本一致。容易得知，則按之前分析結(jié)果可知，理論上構(gòu)造部分減基空間的計算復(fù)雜度為構(gòu)造整體減基空間的6.75％。實(shí)際仿真過程中，二者的運(yùn)行時間分別為Time₂＝0.12h，Time₁＝2.59h，前者耗時約為后者的4.52％，與理論值接近。

表1實(shí)施例1中原始高維模型、高維部分模型、整體減基空間和部分減基空間的維度及后兩者的構(gòu)造時間

圖5及表1中的結(jié)果已經(jīng)充分證明了在針對閉合邊界散射體仿真中本發(fā)明公開的方法的有效性。為驗(yàn)證該方法所得結(jié)果的正確性，任選一組參數(shù)(t₁,t₂)＝(0.5201,0.6376)μm，求解其對應(yīng)的高維模型和經(jīng)部分減基空間降階后的近似低維模型。兩種方法求得主邊界404上的電場振幅分別見圖6中的601和602所示，二者最大的相對誤差為4.43×10^-7，滿足預(yù)設(shè)精度要求。

圖7(a)所示為待研究的無限寬Si基底上的Si₃N₄散射體結(jié)構(gòu)，散射體為帶有圓角的矩形，其寬度和高度分別以CD和H表示，圓角半徑以R表示，兩個散射體的間距以S表示，單位振幅的TE平面波以角度θ投射到該結(jié)構(gòu)上，如701所示。在該實(shí)施例中，R和S分別固定在10nm和1μm，可變參數(shù)包括CD∈[0.665,0.735]μm,H∈[0.095,0.105],θ_inc∈[45,90]°。對該結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模時所用模型如圖7(b)所示，d＝0，可見模型共包括兩條邊界，自上而下分別以702和703表示。在該結(jié)構(gòu)的電磁散射問題中，我們關(guān)心的是散射體上方自由空間中電磁場的分布。自由空間中的電磁近場完全受最外層邊界702上的場變量控制，因此，本實(shí)施例中主邊界為702，次邊界為703。設(shè)構(gòu)造減基空間時的誤差閾值tol＝10^-4，分別針對原始的高維模型和高維部分模型構(gòu)造減基空間。

表2展示了本實(shí)施例中原始的高維模型、高維部分模型、整體減基空間和部分減基空間的維度，四者分別為N^h＝5340，N＝681和N_p＝592。N/N_p＝1.15。容易得知，則按之前分析結(jié)果可知，理論上構(gòu)造部分減基空間的計算復(fù)雜度為構(gòu)造整體減基空間的24.39％。實(shí)際仿真過程中，二者的運(yùn)行時間分別為Time₂＝2.36h，Time₁＝7.42h，前者耗時約為后者的31.81％，與理論值基本接近。

表2實(shí)施例2中原始高維模型、高維部分模型、整體減基空間和部分減基空間的維度及后兩者的構(gòu)造時間

表2中的結(jié)果已經(jīng)充分證明了在針對基底上散射體仿真中本發(fā)明公開方法的有效性。為驗(yàn)證其正確性，任選一組參數(shù)(CD,H,θ)＝(0.7012μm,0.0973,78.3360°)，求解其對應(yīng)的高維模型和經(jīng)部分減基空間降階后的近似低維模型。兩種方法求得主邊界702上的電場振幅分別見圖8中的801和802所示，二者最大的相對誤差為5.22×10^-5，滿足預(yù)設(shè)精度要求。

通過上述兩個實(shí)施例，充分驗(yàn)證了本發(fā)明所提方法的有效性。該方法可極大地提高構(gòu)造減基空間的計算效率，并且對于主邊界或主域形貌復(fù)雜度與次邊界或次域相當(dāng)?shù)纳⑸潴w，該方法還可大幅降低減基空間的維度，進(jìn)而降低近似低維模型的維度，從而提高待仿真模型的求解效率。

應(yīng)當(dāng)理解，此處所描述的示例性實(shí)施例僅用以闡述本發(fā)明的核心思想，并展示本發(fā)明產(chǎn)生的效果，并不用于限定本發(fā)明的適用范圍，凡在本發(fā)明的精神和原則之內(nèi)所作的任何修改、等同替換和改進(jìn)等，均應(yīng)包含在本發(fā)明的保護(hù)范圍之內(nèi)。