本發(fā)明涉及一種高效的徑向基函數(shù)支撐點精簡方法，屬于結(jié)構(gòu)網(wǎng)格、結(jié)構(gòu)/非結(jié)構(gòu)混合網(wǎng)格以及點云的動網(wǎng)格技術(shù)領(lǐng)域。

背景技術(shù)：

動網(wǎng)格技術(shù)被廣泛運用于氣動外形優(yōu)化設(shè)計、非定常流動仿真以及氣動彈性力學(xué)仿真中。高效的動網(wǎng)格技術(shù)是解決此類問題的關(guān)鍵技術(shù)之一，也是工程應(yīng)用中最重要的技術(shù)“瓶頸”。網(wǎng)格變形技術(shù)屬于動網(wǎng)格技術(shù)的一種，在工程中有著廣泛的應(yīng)用。

徑向基函數(shù)網(wǎng)格變形技術(shù)是一類不依賴網(wǎng)格拓?fù)涞木W(wǎng)格變形方法，能夠應(yīng)用于任意網(wǎng)格類型的網(wǎng)格變形技術(shù)。該技術(shù)網(wǎng)格變形質(zhì)量高，魯棒性強。當(dāng)邊界網(wǎng)格點規(guī)模較大時，該技術(shù)計算量十分巨大，目前已經(jīng)提出了貪心算法來精簡徑向基函數(shù)支撐點，大大的提高了計算的效率。

但是，在采用貪心算法精簡徑向基函數(shù)支撐點的過程中，當(dāng)徑向基函數(shù)支撐點個數(shù)為n時，每增加一個徑向基函數(shù)支撐點，均需求解3個n維線性方程組。如果記最終徑向基函數(shù)支撐點個數(shù)為N，則花在求解線性方程組上的浮點計算量為O(N⁴)，計算量較大。

技術(shù)實現(xiàn)要素：

本發(fā)明的目的在于克服現(xiàn)有技術(shù)的上述不足，提出的一種高效的徑向基函數(shù)支撐點精簡方法，該方法減少了求解線性方程組的重復(fù)計算，將花在求解線性方程組上的浮點計算量由O(N⁴)降為O(N³)，顯著提高精簡徑向基函數(shù)支撐點的速度，從而提高動網(wǎng)格技術(shù)的效率，突破氣動外形優(yōu)化設(shè)計、非定常流動仿真以及氣動彈性力學(xué)仿真中的動網(wǎng)格技術(shù)“瓶頸”。

本發(fā)明的上述目的主要是通過如下技術(shù)方案予以實現(xiàn)的：

一種高效的徑向基函數(shù)支撐點精簡方法，包括如下步驟：

步驟1、采集邊界網(wǎng)格點的坐標(biāo)，得到所有邊界網(wǎng)格點的集合{P}，其中任意一個邊界網(wǎng)格點的坐標(biāo)為A_i(x_i，y_i，z_i)，i為正整數(shù)；

步驟2、采集邊界網(wǎng)格點位置的改變量，其中任意一個邊界網(wǎng)格點A_i的位置改變量為(Δx_i，Δy_i，Δz_i)；

步驟3、建立徑向基函數(shù)支撐點集合{B}，設(shè)定徑向基函數(shù)支撐點最大個數(shù)為N_max，邊界網(wǎng)格點位置改變量的插值精度為err；

步驟4、從集合{P}中任取n個點加入徑向基函數(shù)支撐點集合{B}，其中n為正整數(shù)，且n≥1；

步驟5、以集合{B}中的n個點為徑向基函數(shù)支撐點形成初始矩陣Φ_n；

步驟6、將初始矩陣Φ_n進行矩陣分解，獲得初始分解矩陣U_n，U_n滿足等式其中為U_n的轉(zhuǎn)置；

步驟8、在集合{P}中再任取一點A_i加入集合{B}中，集合{B}中包括n+1個點；

步驟9、如果n+1≤N_max，進入步驟10；如果n+1＞N_max，進入步驟17；

步驟10、以集合{B}中的所有點為徑向基函數(shù)支撐點形成矩陣Φ_n+1：

其中：為矩陣Φ_n+1的第n+1列的1～n行；為的轉(zhuǎn)置；

根據(jù)以及Φ_n的分解矩陣U_n，求解線性方程組得到b_n，利用公式計算得到s，進一步得到矩陣Φ_n+1的分解矩陣

其中：b_n為分解矩陣U_n+1的第n+1列的1～n行，s為分解矩陣U_n+1的第n+1列的第n+1行；

步驟11、求解線性方程組，得到徑向基函數(shù)支撐點集合{B}相應(yīng)支撐點的插值系數(shù)

步驟12、根據(jù)插值系數(shù)及步驟1中給出的集合{P}中所有邊界網(wǎng)格點的坐標(biāo)值A(chǔ)_i(x_i，y_i，z_i)，采用徑向基函數(shù)插值獲取所有邊界網(wǎng)格點位置的改變量(Δx_i^*，Δy_i^*，Δz_i^*)；

步驟13、根據(jù)所有邊界網(wǎng)格點的坐標(biāo)值A(chǔ)_i(x_i，y_i，z_i)及其位置改變量(Δx_i^*，Δy_i^*，Δz_i^*)，得到所有邊界網(wǎng)格點的插值誤差最大值Emax對應(yīng)的集合{P}中網(wǎng)格點的編號i；

步驟14、如果Emax<err，則達到收斂精度，進入步驟16；否則進入步驟15；

步驟15、將步驟13得到的編號為i的邊界網(wǎng)格點A_i加入徑向基函數(shù)支撐點集合{B}，集合{B}中的點數(shù)增加1，重復(fù)步驟(9)～(14)；

步驟16、將步驟13得到的編號為i的邊界網(wǎng)格點A_i加入徑向基函數(shù)支撐點集合{B}，完成徑向基函數(shù)支撐點精簡；

步驟17、徑向基函數(shù)支撐點達到最大值，完成徑向基函數(shù)支撐點精簡。

在上述高效的徑向基函數(shù)支撐點精簡方法中，所述步驟(11)中求解線性方程組，得到徑向基函數(shù)支撐點集合{B}相應(yīng)支撐點的插值系數(shù)的具體公式如下：

其中：ΔX_n+1，ΔY_n+1，ΔZ_n+1分別為集合{B}中n+1個點在坐標(biāo)軸X、Y、Z方向的坐標(biāo)改變量形成的向量；Q_n+1、P_n+1、R_n+1為計算過程中的中間變量。

在上述高效的徑向基函數(shù)支撐點精簡方法中，所述步驟(13)中按如下公式計算所有的邊界網(wǎng)格點的插值誤差err_i，并記錄err_i的最大值Emax，同時記錄err_i取得最大值Emax所對應(yīng)的集合{P}中網(wǎng)格點的編號i；

在上述高效的徑向基函數(shù)支撐點精簡方法中，所述步驟(6)中采用Choleskey分解法將初始矩陣Φ_n進行矩陣分解。

本發(fā)明與現(xiàn)有技術(shù)相比具有如下有益效果：

(1)、本發(fā)明對徑向基函數(shù)支撐點精簡方法進行了創(chuàng)新設(shè)計，通過對求解線性方程組過程中的優(yōu)化，將求解一系列線性方程組的浮點計算量由O(N⁴)降低到O(N³)，其中N為精簡后的徑向基函數(shù)支撐點個數(shù)，大大提高了方程組求解的效率，提高了精簡徑向基函數(shù)支撐點的速度。

(2)、本發(fā)明采用Choleskey分解法求解線性方程組，Choleskey分解法數(shù)值穩(wěn)定性比列主元高斯消去法更高，能夠更加精確地求解線性方程組。

(3)、本發(fā)明利用了Φ_n矩陣的對稱性，Choleskey分解法僅需要Φ_n矩陣上三角部分，且Choleskey分解法求解方程組的計算量約為列主元高斯消去法的一半，有效地提高了精簡徑向基函數(shù)支撐點的效率。

(4)、本發(fā)明徑向基函數(shù)支撐點精簡方法減少了求解線性方程組的重復(fù)計算，顯著提高精簡徑向基函數(shù)支撐點的速度，從而提高動網(wǎng)格技術(shù)的效率，突破氣動外形優(yōu)化設(shè)計、非定常流動仿真以及氣動彈性力學(xué)仿真中的動網(wǎng)格技術(shù)“瓶頸”。

附圖說明

圖1為本發(fā)明邊界網(wǎng)格點示意圖；

圖2為本發(fā)明實施例1中網(wǎng)格示意圖。

具體實施方式

下面結(jié)合附圖和具體實施例對本發(fā)明作進一步詳細(xì)的描述：

基于貪心算法徑向基函數(shù)支撐點精簡根據(jù)任意的初始徑向基函數(shù)子空間對所有的邊界網(wǎng)格進行插值，并搜索出誤差最大的網(wǎng)格點，將其加入徑向基函數(shù)支撐點集合，構(gòu)成新的徑向基函數(shù)子空間，重復(fù)上述過程，直至徑向基函數(shù)子空間能夠滿足插值精度要求為止。

在貪心算法的過程中，搜索誤差最大的網(wǎng)格點時需要求解方程組：

上式中，Φ_n為n階方陣，ΔX_n、ΔY_n、ΔZ_n為已知的n維列向量，為待求解的n維列向量。上式一般采用矩陣求逆法求解，計算量為O(n³)。本發(fā)明專利充分考慮Φ_n的特點，即Φ_n與Φ_n-1存在如下關(guān)系：

上式中，為已知的n-1維列向量，的上標(biāo)T表示的轉(zhuǎn)置(下同)。選取適當(dāng)?shù)膹较蚧瘮?shù)類型，可以保證Φ_n對稱正定，則式(1)可采用Choleskey矩陣分解法求解，由于矩陣Φ_n與Φ_n-1的Choleskey分解存在遞推關(guān)系，可大大提高方程組求解的效率。假設(shè)矩陣Φ_n-1的Choleskey分解為矩陣Φ_n的Choleskey分解為U_n與U_n-1分別為n階上三角矩陣及n-1階上三角矩陣。則U_n與U_n-1之間存在如下遞推關(guān)系：

上式中b_n-1及s的計算方式如下：

由于為下三角矩陣，則由U_n-1遞推計算U_n的浮點計算量為O(n²)。因此，采用遞推Choleskey分解法求解方程組(1)，可將浮點計算量由O(n³)降低到O(n²)，大大提高了方程組求解的效率，從而提高精簡徑向基函數(shù)支撐點的速度，最終達到提高動網(wǎng)格技術(shù)的目的。

如果記最終精簡后的徑向基函數(shù)支撐點個數(shù)為N，則采用遞推Choleskey分解法可將求解線性方程組的浮點計算量為由O(N⁴)降低到O(N³)，該計算量僅相當(dāng)于求解一個N階線性方程組的計算量。

本發(fā)明高效的徑向基函數(shù)支撐點精簡方法，具體包括如下步驟：

步驟1、采集邊界網(wǎng)格點的坐標(biāo)，得到所有邊界網(wǎng)格點的集合{P}，其中任意一個邊界網(wǎng)格點的坐標(biāo)為A_i(x_i，y_i，z_i)，i為正整數(shù)；如圖1所示為本發(fā)明邊界網(wǎng)格點示意圖；

步驟2、采集邊界網(wǎng)格點位置的改變量，其中任意一個邊界網(wǎng)格點A_i的位置改變量(即坐標(biāo)改變量)為(Δx_i，Δy_i，Δz_i)；

步驟3、建立徑向基函數(shù)支撐點集合{B}，設(shè)定徑向基函數(shù)支撐點最大個數(shù)為N_max，邊界網(wǎng)格點位置改變量的插值精度為err；

步驟4、從步驟1采集的集合{P}中任取n個點加入徑向基函數(shù)支撐點集合{B}，其中n為正整數(shù)，且n≥1；例如可以取兩個點，分別為A₁、A₂。

步驟5、以集合{B}為徑向基函數(shù)支撐點形成初始矩陣Φ_n；此處僅需要計算矩陣Φ_n的上三角部分。

步驟6、采用Choleskey分解法將初始矩陣Φ_n進行矩陣分解，獲得初始分解矩陣U_n，U_n滿足等式其中為U_n的轉(zhuǎn)置。

步驟8、在集合{P}中再任取一點A_i，A_i滿足加入集合{B}中，集合{B}中包括n+1個點。

步驟9、如果n+1≤N_max，進入步驟10；如果n+1＞N_max，進入步驟17。

步驟10、以集合{B}中的所有點為徑向基函數(shù)支撐點形成矩陣Φ_n+1。

其中：為矩陣Φ_n+1的第n+1列的1～n行；為的轉(zhuǎn)置；

由于Φ_n與Φ_n+1存在遞推關(guān)系則本步驟只需計算

根據(jù)以及Φ_n的分解矩陣U_n，求解線性方程組得到b_n，利用公式計算得到s，進一步得到矩陣Φ_n+1的Choleskey分解矩陣可以驗證U_n+1滿足

其中：b_n為分解矩陣U_n+1的第n+1列的前n行，s為分解矩陣U_n+1的第n+1列的第n+1行。

步驟11、求解線性方程組，得到徑向基函數(shù)支撐點集合{B}相應(yīng)支撐點的插值系數(shù)

其中：ΔX_n+1，ΔY_n+1，ΔZ_n+1分別為集合{B}中n+1個點在坐標(biāo)軸X、Y、Z方向的位置改變量形成的向量；

上式中Q_n+1、P_n+1、R_n+1均為計算過程中的中間變量，可以根據(jù)求解Q_n+1，再根據(jù)求解同理得到

步驟12、根據(jù)插值系數(shù)及步驟1中集合{P}中所有網(wǎng)格點的坐標(biāo)值A(chǔ)_i(x_i，y_i，z_i)，采用徑向基函數(shù)插值獲取所有邊界網(wǎng)格點位置的改變量(Δx_i^*，Δy_i^*，Δz_i^*)。

步驟13、根據(jù)所有網(wǎng)格點的坐標(biāo)值A(chǔ)_i(x_i，y_i，z_i)及其位置改變量(Δx_i^*，Δy_i^*，Δz_i^*)，得到所有邊界網(wǎng)格點的插值誤差最大值Emax對應(yīng)的集合{P}中網(wǎng)格點的編號i(網(wǎng)格點為A_i)。

即按式計算所有的邊界網(wǎng)格點的插值誤差，并記錄err_i的最大值Emax，同時記錄err_i取得最大值Emax所對應(yīng)的集合{P}中網(wǎng)格點的編號i。

步驟14、如果Emax<err，則達到收斂精度，進入步驟16；否則進入步驟15；

步驟15、將步驟13得到的編號為i的網(wǎng)格點A_i加入徑向基函數(shù)支撐點集合{B}，集合{B}中的點數(shù)增加1，重復(fù)步驟(9)～(14)。即集合{B}中的點數(shù)變?yōu)閚+2個，重復(fù)步驟(9)～(14)，按照與n+1個點相同的處理方法進行判斷與計算，依次類推，對于其它點按照相同的方法進行處理。

步驟16、將步驟13得到的編號為i的網(wǎng)格點A_i加入徑向基函數(shù)支撐點集合{B}，完成徑向基函數(shù)支撐點精簡；

步驟17、徑向基函數(shù)支撐點達到最大值，完成徑向基函數(shù)支撐點精簡。

實施例1

如圖2所示為本發(fā)明實施例1中邊界網(wǎng)格點示意圖，對于某二維網(wǎng)格，計算域內(nèi)網(wǎng)格節(jié)點65981個，邊界網(wǎng)格節(jié)點1230，采用貪心算法對徑向基函數(shù)支撐點進行精簡。分別采用高斯列主元消去法和本發(fā)明提出的遞推Choleskey分解法求解方程組，精簡過程所需的時間見表1和表2，可見本發(fā)明提出的遞推Choleskey分解法求解方程組效率遠遠高于高斯列主元消去法，且徑向基函數(shù)支撐點個數(shù)越多，效率越高。因此，本發(fā)明是一種非常高效的徑向基函數(shù)支撐點精簡技術(shù)。

表1采用高斯列主元法求解方程組

表2采用本發(fā)明方法求解方程組

以上所述，僅為本發(fā)明最佳的具體實施方式，但本發(fā)明的保護范圍并不局限于此，任何熟悉本技術(shù)領(lǐng)域的技術(shù)人員在本發(fā)明揭露的技術(shù)范圍內(nèi)，可輕易想到的變化或替換，都應(yīng)涵蓋在本發(fā)明的保護范圍之內(nèi)。

本發(fā)明說明書中未作詳細(xì)描述的內(nèi)容屬于本領(lǐng)域?qū)I(yè)技術(shù)人員的公知技術(shù)。