本發(fā)明屬于應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域，涉及測(cè)量數(shù)據(jù)的一階導(dǎo)數(shù)解算，尤其是測(cè)量數(shù)據(jù)含有白噪聲時(shí)的一階導(dǎo)數(shù)解算。

背景技術(shù)：

離散數(shù)據(jù)一階導(dǎo)數(shù)的解算方法在工程實(shí)踐中有著廣泛的應(yīng)用，比如，氣象、化學(xué)、地質(zhì)學(xué)、航空航天、機(jī)械制造等眾多領(lǐng)域都經(jīng)常涉及，其基本解算步驟通常是：用近似函數(shù)對(duì)離散數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，然后進(jìn)行微分，必要時(shí)通過(guò)一定的算法對(duì)微分結(jié)果進(jìn)行優(yōu)化，最終獲得一階導(dǎo)數(shù)。離散數(shù)據(jù)往往通過(guò)測(cè)量得到，其數(shù)值中通常含有測(cè)量誤差。由于測(cè)量數(shù)據(jù)變化規(guī)律的復(fù)雜性、擬合模型的近似性、算法的局限性以及測(cè)量誤差的影響，要獲得準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果具有相當(dāng)?shù)碾y度，因此，離散數(shù)據(jù)的一階導(dǎo)數(shù)解算在某些領(lǐng)域一直是工程計(jì)算中的難點(diǎn)。

為了能夠?qū)y(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行盡可能準(zhǔn)確的微分，人們嘗試了許多方法以提高解算精度，但由于擬合模型有時(shí)不能對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行準(zhǔn)確描述，因此導(dǎo)致解算結(jié)果存在較大誤差；有的算法雖然結(jié)果較好，但計(jì)算過(guò)程較為復(fù)雜，有時(shí)難以滿足快速處理要求；也有的算法雖然采用了一些特殊的處理技術(shù)，獲得了較為準(zhǔn)確的結(jié)果，但卻不能夠?qū)Χ它c(diǎn)附近的數(shù)據(jù)進(jìn)行有效解算。

技術(shù)實(shí)現(xiàn)要素：

本發(fā)明的目的是：提供一種離散數(shù)據(jù)的一階導(dǎo)數(shù)解算方法，使得在等間隔采樣條件下，對(duì)于端點(diǎn)附近的數(shù)據(jù)也能夠獲得較好的一階導(dǎo)數(shù)解算結(jié)果。

本發(fā)明的技術(shù)方案是：設(shè)待解算一階導(dǎo)數(shù)的點(diǎn)為d，且點(diǎn)d不是擬合區(qū)間的端點(diǎn)，在擬合區(qū)間內(nèi)找到分別位于點(diǎn)d兩側(cè)且與點(diǎn)d等間隔的兩個(gè)點(diǎn)b和c，先計(jì)算連接點(diǎn)b和點(diǎn)c的直線的斜率作為點(diǎn)d的一階導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)式-a3h²對(duì)其進(jìn)行截?cái)嗾`差補(bǔ)償，其中，a3為對(duì)該擬合區(qū)間采用最小二乘三次多項(xiàng)式擬合后所得的三次項(xiàng)系數(shù)，h表示點(diǎn)b和點(diǎn)d之間的間隔或點(diǎn)d和點(diǎn)c之間的間隔。

該方案的一種具體解算步驟是：

第1步，設(shè)需要解算一階導(dǎo)數(shù)的點(diǎn)的下標(biāo)為i，選取n(n≥5)點(diǎn)擬合區(qū)間，使該區(qū)間包含該點(diǎn)且該點(diǎn)不是該擬合區(qū)間的端點(diǎn)，對(duì)該區(qū)間進(jìn)行最小二乘三次多項(xiàng)式擬合，獲得擬合多項(xiàng)式a0+a1ti+a2ti²+a3ti³的三次項(xiàng)系數(shù)a3；式中，a0是常數(shù)項(xiàng)，a1是一次項(xiàng)系數(shù)，a2是二次項(xiàng)系數(shù)。

第2步，計(jì)算式的值，作為下標(biāo)為i的點(diǎn)的測(cè)量數(shù)據(jù)的一階導(dǎo)數(shù)，其中，和分別表示該擬合區(qū)間內(nèi)位于下標(biāo)為i的點(diǎn)的兩側(cè)且與下標(biāo)為i的點(diǎn)等間隔的兩個(gè)點(diǎn)的測(cè)量值，h表示數(shù)據(jù)間隔，即h＝ti+1-ti，且h＝ti-ti-1。

本發(fā)明的效果和益處是：①能夠?qū)M合區(qū)間內(nèi)不包括端點(diǎn)的需要解算一階導(dǎo)數(shù)的數(shù)據(jù)進(jìn)行一階導(dǎo)數(shù)解算。②能夠顯著改善擬合區(qū)間端點(diǎn)附近數(shù)據(jù)的一階導(dǎo)數(shù)解算精度差的狀況；③ 當(dāng)測(cè)量數(shù)據(jù)出現(xiàn)間斷情況時(shí)，仍有可能較為準(zhǔn)確地計(jì)算出間斷點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)；④解算過(guò)程不需知道測(cè)量數(shù)據(jù)的精確擬合模型；⑤計(jì)算步驟較少，計(jì)算過(guò)程比較簡(jiǎn)單、快速，應(yīng)用方便。

本發(fā)明的發(fā)明要點(diǎn)是：

(1)根據(jù)式計(jì)算測(cè)量數(shù)據(jù)下標(biāo)為i的點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)，其中，a3為對(duì)包含下標(biāo)為i的點(diǎn)的擬合區(qū)間采用最小二乘三次多項(xiàng)式擬合后所得的三次項(xiàng)系數(shù)；

(2)下述幾項(xiàng)的組合：

a.選取n(n≥5)點(diǎn)擬合區(qū)間，使該區(qū)間包含至少1個(gè)需要解算一階導(dǎo)數(shù)的點(diǎn)且該點(diǎn)不是該擬合區(qū)間的端點(diǎn)；

b.采用三次多項(xiàng)式對(duì)該擬合區(qū)間的離散數(shù)據(jù)進(jìn)行最小二乘擬合，得到其三次項(xiàng)系數(shù)a3；

c.根據(jù)式計(jì)算測(cè)量數(shù)據(jù)下標(biāo)為i的點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)，式中，i是待求其一階導(dǎo)數(shù)的點(diǎn)的下標(biāo)，和分別表示擬合區(qū)間內(nèi)位于下標(biāo)為i的點(diǎn)的兩側(cè)且與下標(biāo)為i的點(diǎn)等間隔的兩個(gè)點(diǎn)的測(cè)量值，h表示數(shù)據(jù)間隔，即h＝ti+1-ti，且h＝ti-ti-1。

附圖說(shuō)明

附圖是該方案的一種具體解算步驟的流程圖。

具體實(shí)施方式

下面以函數(shù)為例，取采樣間隔為1，構(gòu)造一組仿真數(shù)據(jù)，如表1所示，采用本發(fā)明進(jìn)行一階導(dǎo)數(shù)解算，對(duì)其解算步驟做詳細(xì)說(shuō)明。

表1仿真數(shù)據(jù)(采樣間隔為1)

第1步：對(duì)區(qū)間t＝30～37的數(shù)據(jù)進(jìn)行最小二乘三次多項(xiàng)式擬合，得其三次項(xiàng)系數(shù)為0.33143542253262581，取h＝1，根據(jù)式計(jì)算該區(qū)間不包括端點(diǎn)在內(nèi)的各點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)，結(jié)果如表2所示。

第2步：將擬合區(qū)間向后移動(dòng)，即對(duì)區(qū)間t＝36～43的數(shù)據(jù)進(jìn)行最小二乘三次多項(xiàng)式擬合，得其三次項(xiàng)系數(shù)為0.84560483886871929，取h＝1，根據(jù)式計(jì)算該區(qū)間不包括端點(diǎn)在內(nèi)的各點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)，結(jié)果如表3所示。

表2一階導(dǎo)數(shù)解算結(jié)果(數(shù)據(jù)間隔為1)

表3一階導(dǎo)數(shù)解算結(jié)果(數(shù)據(jù)間隔為1)

第3步：將擬合區(qū)間繼續(xù)向后移動(dòng)，即對(duì)區(qū)間t＝42～49的數(shù)據(jù)進(jìn)行最小二乘三次多項(xiàng)式擬合，得其三次項(xiàng)系數(shù)為0.84560483886871929，取h＝1，根據(jù)式計(jì)算該區(qū)間不包括端點(diǎn)在內(nèi)的各點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)，結(jié)果如表4所示。

表4一階導(dǎo)數(shù)解算結(jié)果

至此，獲得了表1中的仿真數(shù)據(jù)不包括t＝30和t＝49的2個(gè)端點(diǎn)在內(nèi)的所有數(shù)據(jù)的一階導(dǎo)數(shù)解算結(jié)果。從表2、表3和表4中的解算誤差可看出，采用本發(fā)明能夠獲得比較準(zhǔn)確的一階導(dǎo)數(shù)解算結(jié)果。

實(shí)際應(yīng)用時(shí)，上述解算過(guò)程可利用計(jì)算機(jī)編程實(shí)現(xiàn)，但應(yīng)注意四點(diǎn)：一是在根據(jù)式計(jì)算時(shí)，當(dāng)0.5≤h≤1時(shí)，一階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算結(jié)果在總體上精度更高且結(jié)果相對(duì)較穩(wěn)定，因此，建議在根據(jù)式計(jì)算時(shí)，將數(shù)據(jù)間隔h設(shè)定在0.5和1之間；二是a3的計(jì)算結(jié)果越準(zhǔn)確，計(jì)算結(jié)果在總體上也越準(zhǔn)確，所以在計(jì)算a3時(shí)，應(yīng)采用盡可能小的采樣間隔，使更多的點(diǎn)參與擬合，從而獲得更為準(zhǔn)確的三次項(xiàng)系數(shù)；三是一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)測(cè)量數(shù)據(jù)的精確擬合模型不是三次時(shí)，a3的準(zhǔn)確度和擬合區(qū)間的長(zhǎng)短有關(guān)，擬合時(shí)應(yīng)選用盡可能短的擬合區(qū)間；四是如果測(cè)量數(shù)據(jù)在某點(diǎn)發(fā)生二階導(dǎo)數(shù)突變的情況，則應(yīng)在突變點(diǎn)處對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分段處理。