一種截斷一維Debye介質(zhì)Crank-Nicolson完全匹配層實現(xiàn)算法
【專利摘要】本發(fā)明提出了一種截斷一維Debye介質(zhì)Crank-Nicolson完全匹配層實現(xiàn)算法，屬于數(shù)值仿真【技術(shù)領(lǐng)域】，該方法的目的是用完全匹配層截斷Debye色散介質(zhì)，將計算機(jī)有限的內(nèi)存空間仿真成無限空間來仿真Debye色散介質(zhì)中的電磁波的傳播特性。本發(fā)明的技術(shù)特征是：通過利用雙線性變換方法將復(fù)數(shù)拉伸坐標(biāo)變量由頻域變換到z域，然后利用Crank-Nicolson時域有限差分方法將麥克斯韋方程在時域進(jìn)行離散，推導(dǎo)出電場的顯式迭代方程，最后求解出電磁場分量的值。本發(fā)明具有無條件穩(wěn)定性，提高電磁場計算速度和節(jié)約內(nèi)存的優(yōu)點。
【專利說明】-種截斷一維Debye介質(zhì)Crank-N i co I son完全匹配層實現(xiàn) 算法

【技術(shù)領(lǐng)域】
[0001 ] 本發(fā)明涉及數(shù)值仿真【技術(shù)領(lǐng)域】，特別涉及一種截斷一維Debye介質(zhì) Crank-Nicolson完全匹配層實現(xiàn)算法。

【背景技術(shù)】
[0002] 時域有限差分方法（FDTD)是求解麥克斯韋微分方程的直接時域方法，是電磁場 數(shù)值計算方法中應(yīng)用最廣泛的計算方法之一。
[0003] 然而，隨著科學(xué)研究的深入和各種越來越廣泛應(yīng)用的需求，其算法本身受Courant Friedrichs Lewy(CFL)數(shù)值穩(wěn)定性條件的限制的缺陷越來越凸顯出來，在實際的應(yīng)用中， 所選取的時間步長是很短的，意味著在數(shù)值求解電磁場問題的時候，計算時間猛增，而且會 使誤差積累。為了克服這個缺點，一些計算數(shù)學(xué)中的方法被引入到計算電磁學(xué)中，無條件 穩(wěn)定的交替方向隱式（Alternating-Direction Implicit, ADI)FDTD方法、局部一維方法 (Local One Dimensional method，LOD)FDTD 方法和克蘭克?尼克爾森（Crank-Nicolson， CN) FDTD方法相繼被提出。這些方法都很好的消除了 CFL數(shù)值穩(wěn)定性條件的限制，從而時間 步長的選擇可以成倍地增加，計算時間也成倍的下降。
[0004] 對于ADI-FDTD算法和LOD-FDTD算法，雖然在一定程度上克服了穩(wěn)定性條件限制， 但算法的計算精度過低，性能并不理想，其原因是由于當(dāng)時間步長增大后，導(dǎo)致的數(shù)值色散 增大，進(jìn)而導(dǎo)致算法的誤差較大。2004年，G. Sun等人采用Crank-Nicolson差分格式對麥 克斯韋方程進(jìn)行離散化處理，即CN-FDTD，算法在時間步長取值遠(yuǎn)大于穩(wěn)定性條件（如20 倍）仍能保持良好的穩(wěn)定精度，展現(xiàn)出更好的適用性，并且CN-FDTD算法是一種更加簡便的 無條件穩(wěn)定的方法，將前面兩種算法中所需的2個運(yùn)算過程簡化到1個運(yùn)算過程，從而大大 降低了運(yùn)算資源，因此學(xué)者們一致認(rèn)為CN-FDTD具有更廣闊的發(fā)展前景。
[0005] 由于計算機(jī)內(nèi)存空間的限制，數(shù)值計算只能在有限的區(qū)域內(nèi)進(jìn)行，為了能模擬開 放或者半開放區(qū)域的電磁輻射和散射等問題，在計算區(qū)域的截斷邊界處必須設(shè)置吸收邊界 條件，以便用有限的網(wǎng)格空間模擬開放的無限空間來解決任意介質(zhì)內(nèi)的電磁波傳播以及各 種電磁問題。由Berenger提出的完全匹配層（Perfectly Matched Layer, PML)是目前應(yīng) 用較廣的吸收邊界條件，PML可以理解為：通過在FDTD區(qū)域截斷邊界處設(shè)置一種特殊介質(zhì) 層，該層介質(zhì)的波阻抗與相鄰介質(zhì)波阻抗完全匹配，從而使入射波無反射地穿過分界面而 進(jìn)入PML層，PML層是有耗介質(zhì)，最后將電磁波吸收。目前常用的PML吸收邊界主要有拉伸 坐標(biāo)變換完全匹配層（SC-PML)和單軸各項異性完全匹配層（UPML)。2002年，Ramadan利 用雙線性變換（Bilinear-Transform)方法將復(fù)數(shù)拉伸坐標(biāo)變量變換到z域。利用雙線性 變換方法具有離散簡單的優(yōu)點。
[0006] 由于人們對電磁波在生物體和水基物理領(lǐng)域的興趣不斷增加，Debye介質(zhì)受到很 大關(guān)注，因此Debye介質(zhì)的CN-FDTD和CN-PML仿真亟需深入研究。


【發(fā)明內(nèi)容】

[0007] 本發(fā)明的目的是針對FDTD算法受到CFL穩(wěn)定性條件限制的缺陷，提高CN-PML算 法的計算效率和吸收效率而提出的基于雙線性變換方法和CN-FDTD的新型SC-PML截斷 Debye介質(zhì)算法。
[0008] 為實現(xiàn)上述目的，一種截斷一維Debye介質(zhì)Crank-Nicolson完全匹配層實現(xiàn)算法 的具體方式如下：
[0009] 將頻域中麥克斯韋旋度方程修正為帶有拉伸坐標(biāo)算子的麥克斯韋方程。在截斷 Debye介質(zhì)條件下，在SC-PML介質(zhì)中的歸一化麥克斯韋方程描述為：
[0010] jcoD = C0Vj X H (1)
[0011] j〇)H = -C0Vj x E (2)
[0012] 式中，Ctl是真空中的光速，^為拉伸坐標(biāo)算子，定義為
[0013] V5 = + yS~yxdy + zS；xdz (3)
[0014] 式中，3工，5y，是關(guān)于X，y，z方向的偏導(dǎo)數(shù)。
[0015] 將修正后的頻域中一維麥克斯韋旋度方程在直角坐標(biāo)系中表示。
[0016] 截斷一維Debye介質(zhì)，SC-PML中的z方向極化，X方向傳播的TEM波，歸一化的麥 克斯韋方程在頻域中表示為

【權(quán)利要求】
1. 一種截斷一維Debye介質(zhì)Crank-Nicolson完全匹配層實現(xiàn)算法，其特征在于具體設(shè) 置步驟： 步驟1 :將頻域中麥克斯韋旋度方程修正為帶有拉伸坐標(biāo)算子的麥克斯韋方程； 步驟2 :將頻域中修正后的一維麥克斯韋旋度方程在直角坐標(biāo)系中表示； 步驟3 :根據(jù)頻域和z域的映射變換關(guān)系，將直角坐標(biāo)系中的一維麥克斯韋方程變換到z域表示； 步驟4 :根據(jù)雙線性變換方法的z域和頻域的變換關(guān)系，將拉伸坐標(biāo)變量的z域表示式 代入到原方程中，采用消元法進(jìn)行推導(dǎo)變換； 步驟5 :基于Crank-Nicolson時域有限差分算法的時域展開形式，以及根據(jù)z域和時 域的映射關(guān)系，將z域形式的直角坐標(biāo)系中一維麥克斯韋旋度方程展開成時域有限差分的 形式； 步驟6 :將時域有限差分形式的方程整理成求解的形式，結(jié)果產(chǎn)生一組電位移矢量和 磁場稱合的方程，是一組隱式方程； 步驟7 :根據(jù)Debye介質(zhì)的色散關(guān)系，推導(dǎo)電位移矢量和電場分量的關(guān)系并利用雙線性 關(guān)系將表達(dá)式變換到z域表示，將關(guān)系表達(dá)式代入電場的隱式方程中，整理為關(guān)于電場的 隱式方程； 步驟8 :將這組隱式方程進(jìn)行去耦，即將磁場分量的方程代入到電場分量的方程中； 步驟9 :將代入磁場后的場量的方程進(jìn)行整理，整理后獲得等式左邊為三對角矩陣形 式的系數(shù)的電場顯式迭代方程； 步驟10 :利用追趕法求解系數(shù)為三對角矩陣的電場迭代方程，得到電場分量的值； 步驟11 :將求解出的電場值代入到磁場的迭代方程中，求解出磁場分量的值，返回到 步驟9，循環(huán)步驟9-11，從而在時間上迭代求解。
2.由權(quán)利1所述的截斷一維Debye介質(zhì)Crank-Nicolson完全匹配層實現(xiàn)算法，其特征 在于：步驟4,利用雙線性變換方法將拉伸坐標(biāo)變量由頻域變換到z域過程： 對于一維PML介質(zhì)空間，z方向極化、x方向傳播的麥克斯韋方程中的拉伸坐標(biāo)變量的 頻域表達(dá)式為
式中，層中沿x方向的電導(dǎo)率；其倒數(shù)為
利用映射關(guān)系，
，得到
式中：
，At為計算時間步長，ZT[_]表示雙線性 變換。
3.由權(quán)利1所述的截斷一維Debye介質(zhì)Crank-Nicolson完全匹配層實現(xiàn)算法，其特征 在于：步驟5,基于Crank-Nicolson時域有限差分算法的時域展開形式：
cx (i) = c0 A tbx (i) / (2 A x)。
4.由權(quán)利1所述的一種截斷一維Debye介質(zhì)Crank-Nicolson完全匹配層實現(xiàn)算法，其 特征在于：步驟7,電位移矢量和電場分量有如下關(guān)系
式中，e=〇是在頻率為無窮大時的相對介電常數(shù)，es是在頻率為零時的相對介電常數(shù)，h為弛豫時間，推導(dǎo)電位移矢量和電場分量的關(guān)系并利用雙線性關(guān)系將表達(dá)式變換到z域 表示
式中，Pi=(卜T )/(1+T )，P2 = (e =〇 +esT )/(1+T )，P3 = (e ~ -esT )/(1+T)，T =At/t0。
5.由權(quán)利1所述的一種截斷一維Debye介質(zhì)Crank-Nicolson完全匹配層實現(xiàn)算法，其 特征在于：步驟9,將代入磁場后的場量的方程進(jìn)行整理，整理后獲得等式左邊為三對角矩 陣形式的系數(shù)的電場顯式迭代方程為

再將求解出的電場值代入到權(quán)利3中的公式（5)中求解出磁場的值。
【文檔編號】G06F17/50GK104408256SQ201410712408
【公開日】2015年3月11日 申請日期:2014年12月1日 優(yōu)先權(quán)日:2014年12月1日
【發(fā)明者】李建雄, 于洋, 史偉光 申請人:天津工業(yè)大學(xué)