本發(fā)明屬于數(shù)值計(jì)算領(lǐng)域，具體涉及一種I/O個(gè)數(shù)不相等的快速非均勻離散傅里葉變換方法及系統(tǒng)。

背景技術(shù)：
非均勻離散傅里葉變換(Non-uniformdiscreteFouriertransform,簡(jiǎn)寫(xiě)為NUDFT)是輸入/輸出(I/O)采樣位置為非均勻?qū)崝?shù)的離散傅里葉變換。由于I/O位置非均勻，傳統(tǒng)快速傅里葉變換方法(FastFouriertransform,簡(jiǎn)寫(xiě)FFT)無(wú)法直接用以提高NUDFT實(shí)現(xiàn)效率；而快速非均勻傅里葉變換方法(Non-uniformfastFouriertransform,簡(jiǎn)寫(xiě)為NUFFT)在I/O非均勻采樣位置進(jìn)行過(guò)采樣及插值操作，而后再利用FFT實(shí)現(xiàn)NUDFT。NUFFT方法具有高效、精確等優(yōu)點(diǎn)，因此廣泛應(yīng)用于譜方法(spectralmethod)、磁共振成像(magneticresonanceimaging)、雷達(dá)信號(hào)處理等領(lǐng)域。目前，有代表性的NUFFT實(shí)現(xiàn)方法有美國(guó)學(xué)者A.Dutt等提出的NUFFT實(shí)現(xiàn)方法(見(jiàn)文獻(xiàn)1：A.Dutt,V.Rokhlin,“FastFouriertransformsfornonequispaceddata”,SIAMJ.SCI.COMPUT.,Vol.14,no.6,pp.1368-1393,Nov.1993)，J.A.Fessler等提出的NUFFT實(shí)現(xiàn)方法(見(jiàn)文獻(xiàn)2：J.A.Fessler,B.P.Sutton,IEEETrans.SignalProcessing,Vol.51,no.2,pp.560-574,2003)，Q.Liu等提出的NUFFT實(shí)現(xiàn)方法(見(jiàn)文獻(xiàn)3：Q.H.Liu,N.Nguyen,AnaccuratealgorithmfornonuniformfastFouriertransforms(NUFFT’s).IEEEMicrowaveandGuidedWaveLetters,Vol.8,no.(1),pp.18-20,1998)等。這些方法不同之處在于使用了不同的插值方法。然而，這些方法都無(wú)法實(shí)現(xiàn)I/O個(gè)數(shù)不相等的快速NUDFT處理。在實(shí)際應(yīng)用中，如合成孔徑雷達(dá)信號(hào)處理大場(chǎng)景數(shù)據(jù)時(shí)(見(jiàn)文獻(xiàn)4：Franceschetti,G.,R.Lanari,andE.S.Marzouk,“Anewtwo-dimensionalsquintmodeSARprocessor,"IEEETransactionsonAerospaceandElectronicSystems,vol.32,pp.854-863,1996.)，常需要高效計(jì)算I/O個(gè)數(shù)不相等的NUFFT處理。因此，現(xiàn)有的NUFFT實(shí)現(xiàn)方法難以滿(mǎn)足實(shí)際應(yīng)用需求。

技術(shù)實(shí)現(xiàn)要素：
為解決上述技術(shù)問(wèn)題，本發(fā)明提出一種I/O個(gè)數(shù)不相等的快速非均勻離散傅里葉變換方法。本發(fā)明技術(shù)方案為：I/O個(gè)數(shù)不相等的快速非均勻離散傅里葉變換方法，在I/O非均勻采樣位置進(jìn)行過(guò)采樣及插值操作后，利用調(diào)頻Z變換實(shí)現(xiàn)I/O個(gè)數(shù)不相等的非均勻快速傅里葉變換；具體包括以下步驟：S1：初始化NUDFT參數(shù)，包括：待變換的輸入數(shù)據(jù)x，I/O非均勻位置αm和ωk，I/O采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)M和K；其中，x表示待變換的輸入數(shù)據(jù)，即輸入的離散序列，αm表示第m個(gè)輸入采樣點(diǎn)位置，ωk表示第k個(gè)輸出采樣點(diǎn)位置，M表示輸入采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)，K表示輸出采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)，k＝0,1,...,K-1，m＝0,1,...,M-1，αm∈[-M/2,M/2-1]，ωk∈[-K/2,K/2-1]；初始化NUFFT參數(shù)，包括：插值參數(shù)G，b和Q；其中，G是過(guò)采樣倍數(shù)，b是大于1/2的實(shí)數(shù)，Q是插值點(diǎn)總個(gè)數(shù)；S2：根據(jù)步驟S1中的NUDFT參數(shù)及NUFFT參數(shù)以及公式：對(duì)每個(gè)輸入采樣點(diǎn)m，計(jì)算對(duì)應(yīng)于各個(gè)I/O位置αm，ωk的插值加權(quán)因子ρ(αm,q1)和ρ(ωk,q2)；其中，q1,q2均為整數(shù)，所述q1＝-Q/2,...,Q/2，q2＝-Q/2,...,Q/2；S3：根據(jù)步驟S2得到I/O位置的插值加權(quán)因子ρ(αm,q1)，并利用公式計(jì)算待實(shí)施調(diào)頻Z變換的數(shù)據(jù)其中，是整數(shù)，[·]表示取整運(yùn)算；S4：根據(jù)步驟S3得到的待實(shí)施調(diào)頻Z變換的數(shù)據(jù)對(duì)公式：利用調(diào)頻Z變換，計(jì)算得到A(k,q2)；其中，表示調(diào)頻Z變換的頻率采樣離散點(diǎn)位置，表示調(diào)頻Z變換的輸出采樣離散點(diǎn)位置，a(·)表示待實(shí)施調(diào)頻Z變換的數(shù)據(jù)，，j表示虛數(shù)單位；S5：根據(jù)步驟S4得到的調(diào)頻Z變換結(jié)果A(k,q2)，以及步驟S2得到的插值加權(quán)因子ρ(ωk,q2)，由公式：進(jìn)行加權(quán)求和，得到非均勻離散傅里葉變換的結(jié)果Xk；其中，本發(fā)明還提供I/O個(gè)數(shù)不相等的快速非均勻離散傅里葉變換系統(tǒng)，包括：初始化單元、加權(quán)因子計(jì)算單元、待實(shí)施調(diào)頻Z變換數(shù)據(jù)計(jì)算單元、調(diào)頻Z變換單元及加權(quán)求和單元；所述初始化單元對(duì)NUDFT參數(shù)和NUFFT參數(shù)進(jìn)行初始化；所述加權(quán)因子計(jì)算單元根據(jù)經(jīng)初始化單元初始化后的NUDFT參數(shù)及NUFFT參數(shù)，計(jì)算插值加權(quán)因子；所述待實(shí)施調(diào)頻Z變換數(shù)據(jù)計(jì)算單元根據(jù)加權(quán)因子計(jì)算單元得到I/O位置的插值加權(quán)因子，計(jì)算得到待實(shí)施調(diào)頻Z變換的數(shù)據(jù)；所述調(diào)頻Z變換單元根據(jù)待實(shí)施調(diào)頻Z變換數(shù)據(jù)計(jì)算單元得到的待實(shí)施調(diào)頻Z變換的數(shù)據(jù)，利用調(diào)頻Z變換，計(jì)算得到調(diào)頻Z變換結(jié)果；所述加權(quán)求和單元根據(jù)調(diào)頻Z變換單元得到的調(diào)頻Z變換結(jié)果，以及加權(quán)因子計(jì)算單元得到的插值加權(quán)因子，進(jìn)行加權(quán)求和，得到非均勻離散傅里葉變換的結(jié)果。本發(fā)明的有益效果：1、本發(fā)明的I/O個(gè)數(shù)不相等的快速非均勻離散傅里葉變換方法及系統(tǒng)，與現(xiàn)有技術(shù)相比采用調(diào)頻Z變換代替?zhèn)鹘y(tǒng)NUFFT方法中的FFT，實(shí)現(xiàn)了I/O個(gè)數(shù)不相等的非均勻快速傅里葉變換；2、本發(fā)明的方法快速變換的誤差非常小且可以忽略，保持了高精度、高效率等優(yōu)點(diǎn)；3、本發(fā)明的方法能夠應(yīng)用于I/O個(gè)數(shù)不相等的情況；4、本發(fā)明的方法極大擴(kuò)展了傳統(tǒng)NUFFT方法的應(yīng)用領(lǐng)域及適用性。附圖說(shuō)明圖1是本發(fā)明的流程示意圖。圖2是本發(fā)明驗(yàn)證可行性所使用待變換輸入數(shù)據(jù)序列示意圖。圖3是本發(fā)明驗(yàn)證可行性所使用的輸入序列采樣位置示意圖。圖4是本發(fā)明驗(yàn)證可行性所使用的輸出序列采樣位置示意圖。圖5是本發(fā)明的方法處理后所得到的結(jié)果誤差示意圖。具體實(shí)施方式為方便本領(lǐng)域技術(shù)人員理解本發(fā)明的方案，下面結(jié)合附圖對(duì)本發(fā)明的技術(shù)內(nèi)容作進(jìn)一步說(shuō)明。為了方便理解本發(fā)明的內(nèi)容，首先定義以下術(shù)語(yǔ)：定義1、非均勻離散傅里葉變換(NUDFT)一維非均勻離散傅里葉變換定義為：其中，m＝0,...,M-1,k＝0,...,K-1分別是I/O采樣點(diǎn)編號(hào),M,K分別是I/O采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)，αm,ωk分別是第m個(gè)輸入采樣點(diǎn)和第k個(gè)輸出采樣點(diǎn)位置，αm∈[-M/2,M/2-1],ωk∈[-K/2,K/2-1]，j為虛數(shù)單位。定義2、非均勻離散傅里葉變換的三種類(lèi)型根據(jù)I/O位置的特點(diǎn)，非均勻離散傅里葉變換可以分為三種類(lèi)型：(a)類(lèi)型1-非均勻離散傅里葉變換(NUDFToftype1)當(dāng)非均勻離散傅里葉變換的輸入是非均勻?qū)崝?shù)而輸出是均勻整數(shù)時(shí)，即當(dāng)αm≠-M/2,...,M/2-1,ωk＝-K/2,...,K/2-1，式(1)定義為類(lèi)型1-非均勻離散傅里葉變換。(b)類(lèi)型2-非均勻離散傅里葉變換(NUDFToftype2)當(dāng)非均勻離散傅里葉變換的輸入是均勻整數(shù)而輸出是非均勻?qū)崝?shù)時(shí)，即當(dāng)αm＝-M/2,...,M/2-1,ωk≠-K/2,...,K/2-1，式(1)定義為類(lèi)型2-非均勻離散傅里葉變換。(c)類(lèi)型3-非均勻離散傅里葉變換(NUDFToftype3)當(dāng)非均勻離散傅里葉變換的輸入和輸出均是非均勻?qū)崝?shù)時(shí)，即當(dāng)αm≠-M/2,...,M/2-1,ωk≠-K/2,...,K/2-1，式(1)定義為類(lèi)型3-非均勻離散傅里葉變換。根據(jù)以上定義可知，類(lèi)型1和類(lèi)型2非均勻離散傅里葉變換均可視為類(lèi)型3非均勻離散傅里葉變換的特殊情況，因此本發(fā)明以下內(nèi)容中均考慮類(lèi)型3非均勻離散傅里葉變換的快速實(shí)現(xiàn)。定義3、I/O個(gè)數(shù)不相等的非均勻離散傅里葉變換當(dāng)I/O采樣個(gè)數(shù)不相等，即當(dāng)M≠K，式(1)就是I/O個(gè)數(shù)不相等的非均勻離散傅里葉變換。定義4、調(diào)頻Z變換(ChirpZ-Transform，簡(jiǎn)寫(xiě)CZT)調(diào)頻Z變換是一種求解離散函數(shù)任意頻域分辨率傅里葉變換的快速方法，具體實(shí)施可以通過(guò)兩次相位相乘和一次卷積來(lái)實(shí)現(xiàn)，詳細(xì)可參考文獻(xiàn)：RabinerL.R.,SchaferR.W.,RaderC.M.Thechirpz-transformalgorithmanditsapplication.IEEETransacationonAudioelectroacoust.Vol.17:86-92,1969。定義5、插值中用到的參數(shù)I/O非均勻位置的插值加權(quán)因子分別為：其中，G是過(guò)采樣倍數(shù)，它是大于等于2的正整數(shù)，b是大于1/2的實(shí)數(shù)，q1,q2是位于[-Q/2,Q/2]區(qū)間的均勻整數(shù)用以對(duì)插值位置進(jìn)行編號(hào)，Q是插值點(diǎn)總個(gè)數(shù)，[·]表示取整運(yùn)算。I/O插值點(diǎn)位置分別為：可以通過(guò)調(diào)整式(2)和式(3)中的參數(shù)G,Q,b來(lái)改變變換的精度，具體實(shí)施方法可以參見(jiàn)文獻(xiàn)：A.Dutt,V.Rokhlin,“FastFouriertransformsfornonequispaceddata”,SIAMJ.SCI.COMPUT.,Vol.14,no.6,pp.1368-1393,Nov.1993。本發(fā)明主要采用仿真實(shí)驗(yàn)的方法進(jìn)行驗(yàn)證該方案的可行性，所有步驟、結(jié)論都在MATLABR2012a上驗(yàn)證正確。如圖1所示，本發(fā)明的具體實(shí)施步驟如下：S1：初始化參數(shù)；初始化NUDFT參數(shù)，包括：待變換的輸入數(shù)據(jù)x如圖2所示，I/O非均勻位置α和ω分別如圖3和圖4所示，本發(fā)明的I/O采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為：M＝64，K＝13；初始化NUFFT參數(shù)，本發(fā)明分別設(shè)置插值參數(shù)G，b和Q為：G＝2,b＝1和Q＝14；S2：計(jì)算I/O位置插值加權(quán)因子；利用S1中的NUDFT參數(shù)及NUFFT參數(shù)以及公式(2)：針對(duì)各個(gè)m，本發(fā)明中m＝0,1,...,63，計(jì)算對(duì)應(yīng)于各個(gè)I/O位置αm,ωk的插值加權(quán)因子ρ(αm,q1)和ρ(ωk,q2)，其中k,m,q1,q2均為整數(shù)，本發(fā)明中k＝0,1,...,12，m＝0,1,...,63，q1,q2＝-7,...,7，αm和ωk分別是第m個(gè)輸入采樣點(diǎn)和第k個(gè)輸出采樣點(diǎn)位置，本發(fā)明中αm∈[-32,31],ωk∈[-6.5,5.5]，分別見(jiàn)圖3和圖4所示；S3：計(jì)算待實(shí)施調(diào)頻Z變換的數(shù)據(jù)；根據(jù)由S2得到I/O位置的插值加權(quán)因子ρ(αm,q1)，并利用公式：計(jì)算待實(shí)施調(diào)頻Z變換的數(shù)據(jù)本發(fā)明中是整數(shù)，αm∈[-32,31]是第m個(gè)輸入采樣點(diǎn)位置見(jiàn)圖3所示，均為整數(shù)；S4：調(diào)頻Z變換；由S3得到的待實(shí)施調(diào)頻Z變換的數(shù)據(jù)并根據(jù)公式：利用調(diào)頻Z變換(CZT)計(jì)算得到A(k,q2)，其中k,m,q1,q2均為整數(shù)，k＝0,1,...,12，m＝0,1,...,63，q1,q2＝-7,...,7，αm,ωk分別是第m個(gè)輸入采樣點(diǎn)和第k個(gè)輸出采樣點(diǎn)位置分別見(jiàn)圖3和圖4所示，αm∈[-32,31],ωk∈[-6.5,5.5]；S5：加權(quán)求和；利用由S4得到的調(diào)頻Z變換結(jié)果A(k,q2)、由S2得到的插值加權(quán)因子ρ(ωk,q2)，并根據(jù)公式：進(jìn)行加權(quán)求和，得到非均勻離散傅里葉變換的結(jié)果Xk，其中，k＝0,1,...,12，ωk∈[-K/2,K/2-1]是第k個(gè)輸出采樣點(diǎn)位置見(jiàn)圖4所示。經(jīng)過(guò)上述步驟處理，I/O非均勻離散傅里葉變換的快速實(shí)現(xiàn)得以完成；圖5為用經(jīng)過(guò)上述步驟S1至步驟S5處理獲取的非均勻離散快速傅里葉變換與實(shí)際非均勻離散傅里葉變換之間的誤差結(jié)果示意圖；由圖5可知，快速變換的誤差非常小且可以忽略，因此，本發(fā)明提出的方法可以高精度、高效率地實(shí)現(xiàn)I/O個(gè)數(shù)不相等的情況下的非均勻離散傅里葉變換。本發(fā)明還提供一種I/O個(gè)數(shù)不相等的快速非均勻離散傅里葉變換系統(tǒng)，包括：初始化單元、加權(quán)因子計(jì)算單元、待實(shí)施調(diào)頻Z變換數(shù)據(jù)計(jì)算單元、調(diào)頻Z變換單元及加權(quán)求和單元；所述初始化單元對(duì)NUDFT參數(shù)和NUFFT參數(shù)進(jìn)行初始化；初始化NUDFT參數(shù)，包括：待變換的輸入數(shù)據(jù)x，I/O非均勻位置αm和ωk，I/O采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)M和K；其中，x表示待變換的輸入數(shù)據(jù)，即輸入的離散序列，αm表示第m個(gè)輸入采樣點(diǎn)位置，ωk表示第k個(gè)輸出采樣點(diǎn)位置，M表示輸入采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)，K表示輸出采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)，并且k＝0,1,...,K-1，m＝0,1,...,M-1，αm∈[-M/2,M/2-1]，ωk∈[-K/2,K/2-1]；初始化NUFFT參數(shù)，包括插值參數(shù)G，b和Q；其中，G是過(guò)采樣倍數(shù)，b是大于1/2的實(shí)數(shù)，Q是插值點(diǎn)總個(gè)數(shù)；所述加權(quán)因子計(jì)算單元根據(jù)經(jīng)初始化單元初始化后的NUDFT參數(shù)及NUFFT參數(shù)，計(jì)算插值加權(quán)因子；加權(quán)因子計(jì)算單元根據(jù)初始化單元初始化的NUDFT參數(shù)及NUFFT參數(shù)以及公式：對(duì)每個(gè)輸入采樣點(diǎn)m，計(jì)算對(duì)應(yīng)于各個(gè)I/O位置αm，ωk的插值加權(quán)因子ρ(αm,q1)和ρ(ωk,q2)；其中，q1,q2均為整數(shù)，所述q1＝-Q/2,...,Q/2，q2＝-Q/2,...,Q/2；所述待實(shí)施調(diào)頻Z變換數(shù)據(jù)計(jì)算單元根據(jù)加權(quán)因子計(jì)算單元得到I/O位置的插值加權(quán)因子，計(jì)算待實(shí)施調(diào)頻Z變換的數(shù)據(jù)；待實(shí)施調(diào)頻Z變換數(shù)據(jù)計(jì)算單元根據(jù)加權(quán)因子計(jì)算單元得到I/O位置的插值加權(quán)因子ρ(αm,q1)，并利用公式計(jì)算得到待實(shí)施調(diào)頻Z變換數(shù)據(jù)其中，是整數(shù)，[·]表示取整運(yùn)算；所述調(diào)頻Z變換單元根據(jù)待實(shí)施調(diào)頻Z變換數(shù)據(jù)計(jì)算單元得到的待實(shí)施調(diào)頻Z變換數(shù)據(jù)，利用調(diào)頻Z變換，計(jì)算得到調(diào)頻Z變換結(jié)果；調(diào)頻Z變換單元根據(jù)傅里葉系數(shù)計(jì)算單元得到的待實(shí)施調(diào)頻Z變換的數(shù)據(jù)對(duì)公式：利用調(diào)頻Z變換，計(jì)算得到A(k,q2)；其中，表示輸入插值點(diǎn)位置，表示輸出插值點(diǎn)位置，j表示虛數(shù)單位；所述加權(quán)求和單元根據(jù)調(diào)頻Z變換單元得到的調(diào)頻Z變換結(jié)果，以及加權(quán)因子計(jì)算單元得到的插值加權(quán)因子，進(jìn)行加權(quán)求和，得到非均勻離散傅里葉變換的結(jié)果；加權(quán)求和單元根據(jù)調(diào)頻Z變換單元得到的A(k,q2)，以及加權(quán)因子計(jì)算單元得到的插值加權(quán)因子ρ(ωk,q2)，由公式：進(jìn)行加權(quán)求和，得到非均勻離散傅里葉變換的結(jié)果Xk；其中，本發(fā)明提出的一種I/O個(gè)數(shù)不相等的快速非均勻離散傅里葉變換方法及系統(tǒng)，具有如下優(yōu)點(diǎn)：1、本發(fā)明的一種I/O個(gè)數(shù)不相等的快速非均勻離散傅里葉變換方法及系統(tǒng)，與現(xiàn)有技術(shù)相比采用調(diào)頻Z變換代替?zhèn)鹘y(tǒng)NUFFT方法中的FFT，實(shí)現(xiàn)了I/O個(gè)數(shù)不相等的非均勻快速傅里葉變換；2、本發(fā)明的方法快速變換的誤差非常小且可以忽略，保持了高精度、高效率等優(yōu)點(diǎn)；3、本發(fā)明的方法能夠應(yīng)用于I/O個(gè)數(shù)不相等的情況；4、本發(fā)明的方法極大擴(kuò)展了傳統(tǒng)NUFFT方法的應(yīng)用領(lǐng)域及適用性。本領(lǐng)域的普通技術(shù)人員將會(huì)意識(shí)到，這里所述的實(shí)施例是為了幫助讀者理解本發(fā)明的原理，應(yīng)被理解為本發(fā)明的保護(hù)范圍并不局限于這樣的特別陳述和實(shí)施例。對(duì)于本領(lǐng)域的技術(shù)人員來(lái)說(shuō)，本發(fā)明可以有各種更改和變化。凡在本發(fā)明的精神和原則之內(nèi)，所作的任何修改、等同替換、改進(jìn)等，均應(yīng)包含在本發(fā)明的權(quán)利要求范圍之內(nèi)。