專利名稱：一種通過計(jì)算零維三角多項(xiàng)式系統(tǒng)所有實(shí)根及其重?cái)?shù)進(jìn)行曲面繪制的方法和系統(tǒng)的制作方法
技術(shù)領(lǐng)域：
本發(fā)明涉及計(jì)算機(jī)三維建模技術(shù)，特別是涉及一種通過計(jì)算零維三角多項(xiàng)式系統(tǒng)所有實(shí)根及其重?cái)?shù)進(jìn)行曲面繪制的方法和系統(tǒng)。
背景技術(shù)：
確定給定代數(shù)曲面的幾何和連接關(guān)系，并用網(wǎng)格近似表示曲面是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和幾何建模的一個(gè)重要課題。曲面網(wǎng)格化可以正確地顯示曲面，也可以用來展示曲面上的工程應(yīng)用，例如有限元分析、計(jì)算機(jī)三維建模、計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)、對象三維重建等應(yīng)用。如何繪制出給定的隱式方程確定的曲面是近年來頗為流行的一個(gè)課題。最流行的就是Marching Cube方法，將給定的空間不斷細(xì)分為更小的立方體，直到每個(gè)小立方體中曲面的幾何結(jié)構(gòu)都能夠被確定(參見LORENSEN, ff. E.，AND CLINE, H. E. 1987. Marching cubes a high resolution 3d surface construction algorithm. In Proc. SIGGRAPH 1987，ACM Press.). Plantinga和Vegter提出了法線變化條件從而給出更好的網(wǎng)格化算法(參見 PLANTINGA，S.，AND VEGTER，G. 2004. Isotopic implicit surface meshing. In Proc. Symp. on Geometry Processing，251-260. PLANTINGA, S.，AND VEGTER, G. 2007. Isotopic meshing of implicit surfaces. The Visual Computer 23，45-58.) · Hart 等提出 了基于 Morse 理論的算法(參見 HART，J. C. 1998. Morse theory for implicit surface modeling. In Mathematical Visualization, Springer-verlag, H. Hege and K. Polthier, Eds. ,257-268.)，該算法引入一個(gè)變元來確定曲面的幾何結(jié)構(gòu)。這些算法都是純粹的數(shù)值方法，直接對曲面網(wǎng)格化，速度較快，但是都只能處理無奇點(diǎn)的曲線或曲面，對有奇點(diǎn)的幾何對象，可能會繪制出錯(cuò)誤的圖形。近年有些學(xué)者提出符號數(shù)值混合算法，先用柱形代數(shù)方法將歐氏空間分為柱形胞腔，使給定曲面在每個(gè)胞腔中都不變號，從而得到一種計(jì)算曲面幾何結(jié)構(gòu)的新方法。這類方法的基本步驟都是先通過分解空間確定曲面的幾何結(jié)構(gòu)和連接關(guān)系，然后再將非奇部分網(wǎng)格化(參見 D. S. Arnon, G. Collins，and S. Mccallum，1988. Cylindrical algebraic decomposition， iii an adjacency algorithm for three-dimensional space. J. Symbolic Comput· 5，1，2，163-187. J. S. Cheng, X. S. Gao，and M. Li, 2005. Determine the topology of real algebraic surfaces. In Mathematics of Surfaces， Springer-Verlag,121-146. S. Mccallum, and，G. E. Collins,2002. Local box adj acency algorithms for cylindrical algebraic decompositions. J. Symbolic Comput. 33， 321-342. B. Mourrain, and J.P. Tecourt，2005. Computing the topology of real algebraic surfaces. In MEGA electronicproceedings.) 0 在這種方法中，如何進(jìn)行空間的分解就顯得尤為重要，空間分解一般是通過確定曲面的奇點(diǎn)，以及曲面在奇點(diǎn)處的連接關(guān)系來得到。曲面的奇點(diǎn)是一個(gè)零維三角多項(xiàng)式系統(tǒng)的實(shí)根，奇點(diǎn)連接著的分枝數(shù)，即該奇點(diǎn)的重?cái)?shù)，就是對應(yīng)實(shí)根的重?cái)?shù)。
因此，求解零維三角多項(xiàng)式系統(tǒng)，即有有限個(gè)零點(diǎn)的三角多項(xiàng)式系統(tǒng)，是計(jì)算科學(xué)、工程等領(lǐng)域的一個(gè)基本問題。用數(shù)值的方法來求解零維三角多項(xiàng)式系統(tǒng)一般會因?yàn)閿?shù)值表示的誤差導(dǎo)致結(jié)果不正確，并且不能夠計(jì)算重?cái)?shù)。Lu等人提出一種隔離零維三角系統(tǒng)實(shí)根的方法(參見 Z. Lu, B. He, Y. Luo and L. Pan, An algorithm of real root isolation for polynomial systems, in Proceedings of International Workshop on Symbolic-Numeric Computation, Xi 1 an, China, Julyl9_21,94-107, 2005.),但是他們的方法沒有終止判定條件，也不能處理重根。Collins等用區(qū)間算法和Descartes方法來計(jì)算(參見 G. E. Collins, J. R. Johnson, and ff. Krandick, Interval arithmetic in cylindrical algebraic decom-position, J. Symb. Comput. , 34 :145-157,2002. )。Xia 和Yang也提出了一種基于結(jié)式計(jì)算的算法(參見B. Xia and L. Yang, An algorithm for isolating the real solutions of semi-algebraic systems, J. Symb. Comput. ,34 461-477,2002.)，但是他們的方法在有些情況下會失效。

發(fā)明內(nèi)容
基于現(xiàn)有技術(shù)的不足，本發(fā)明提供一種通過計(jì)算零維三角多項(xiàng)式系統(tǒng)所有實(shí)根及其重?cái)?shù)進(jìn)行曲面繪制的方法和系統(tǒng)，該方法通過計(jì)算零維三角多項(xiàng)式系統(tǒng)的所有實(shí)根及其重?cái)?shù)得到曲面的特征點(diǎn)及其重?cái)?shù)，從而確定特征點(diǎn)之間連接關(guān)系得到曲面連接關(guān)系圖，最后繪制出空間結(jié)構(gòu)準(zhǔn)確的曲面圖像?！N通過計(jì)算零維三角多項(xiàng)式系統(tǒng)所有實(shí)根及其重?cái)?shù)進(jìn)行曲面繪制的方法，包括以下步驟I)確定曲面的特征點(diǎn)；特征點(diǎn)包括曲面的獨(dú)立奇點(diǎn)，奇異線上的點(diǎn)，與奇點(diǎn)鄰近的非奇點(diǎn)。執(zhí)行如下步驟(I)確定特征點(diǎn)滿足的零維三角多項(xiàng)式系統(tǒng)；(2)求解零維三角多項(xiàng)式系統(tǒng)；包括以下步驟I.對多項(xiàng)式系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)處理，通過線性變換將其變換到局部一般位置，包括以下步驟(a)計(jì)算實(shí)根的隔離界；(b)估計(jì)根的上界，執(zhí)行以下步驟(i)將多項(xiàng)式拆分成兩個(gè)單項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)最少的正系數(shù)多項(xiàng)式之和；(ii)計(jì)算上界多項(xiàng)式和下界多下式；(iii)計(jì)算上界多項(xiàng)式和下界多項(xiàng)式的根的上界；(iv)取上界多項(xiàng)式和下界多項(xiàng)式的根的上界的最大值。(C)確定線性變換，把多項(xiàng)式系統(tǒng)變換到局部一般位置；II.將所有實(shí)根投影到一維空間中，通過計(jì)算結(jié)式來進(jìn)行投影，得到一個(gè)單變元方程，該投影保持根的重?cái)?shù)不變；III.求計(jì)算單變元多項(xiàng)式方程的所有實(shí)根及其重?cái)?shù)。IV.通過線性變換將一元實(shí)根提升回原方程組的實(shí)根。2)生成曲面連接關(guān)系圖。
曲面的連接關(guān)系圖包括三部分特征點(diǎn)(點(diǎn)集合)，特征點(diǎn)之間的連接關(guān)系(邊集 合)，特征點(diǎn)構(gòu)成的三角片與邊的連接關(guān)系(面集合)。3)繪制曲面。步驟2)中得到的面集合已經(jīng)是曲面的一個(gè)三角網(wǎng)格化，我們可以直接用他來繪 制網(wǎng)格曲面，或者在此基礎(chǔ)上通過其他光順化方法繪制更光滑的曲面。相應(yīng)地，本發(fā)明提出了設(shè)計(jì)了一種通過計(jì)算零維三角多項(xiàng)式系統(tǒng)所有實(shí)根及其 重?cái)?shù)進(jìn)行曲面繪制的系統(tǒng)。目前，許多需要對象三維建模的領(lǐng)域都涉及到如何繪制隱式曲面圖像的問題。本 發(fā)明提出的技術(shù)方案，采用首先通過計(jì)算零維三角多項(xiàng)式系統(tǒng)得到曲面的特征點(diǎn)，然后通 過確定特征點(diǎn)之間連接關(guān)系得到曲面連接關(guān)系圖，最后通過連接關(guān)系圖繪制曲面的方法， 避免了純數(shù)值方法繪制有奇點(diǎn)隱式曲面出錯(cuò)的工程難題，能夠保證繪制出空間結(jié)構(gòu)準(zhǔn)確的 立體曲面圖像。本發(fā)明方法明確，結(jié)果魯棒，可以用于隱式曲面的立體繪制。


圖1本發(fā)明的技術(shù)方案流程圖2確定曲面特征點(diǎn)流程圖3計(jì)算零維三角多項(xiàng)式系統(tǒng)所有實(shí)根流程圖4多項(xiàng)式系統(tǒng)預(yù)處理流程圖5估計(jì)根的上界流程圖6曲面連接關(guān)系圖中確定邊結(jié)合示意圖7曲面連接關(guān)系圖中確定面結(jié)合示意圖8-10三維繪制效果圖11本發(fā)明的系統(tǒng)框圖。
8-10三維繪制效果具體實(shí)施例方式一種通過計(jì)算零維三角多項(xiàng)式系統(tǒng)所有實(shí)根及其重?cái)?shù)進(jìn)行曲面繪制的方法和系 統(tǒng)，首先，確定曲面的特征點(diǎn)；然后確定特征點(diǎn)處曲面的連接情況；最后，后繪制出曲面。具 體流程參見圖I。下面具體介紹關(guān)鍵的實(shí)現(xiàn)細(xì)節(jié)I.確定曲面Mx1, x2, X3) = 0的特征點(diǎn),流程如圖2所示。特征點(diǎn)包括曲面的獨(dú)立奇點(diǎn)，奇異線上的點(diǎn)，與奇點(diǎn)鄰近的非奇點(diǎn)。執(zhí)行如下步 驟(I)確定特征點(diǎn)滿足的零維三角多項(xiàng)式系統(tǒng)。奇點(diǎn)包含在零維三角多項(xiàng)式系統(tǒng)E 3 = Ifi(X1) , f2(x1； x2) , f3(x1； x2, x3)}(I)的實(shí)根中，其中
權(quán)利要求
1. 一種通過計(jì)算零維三角多項(xiàng)式系統(tǒng)所有實(shí)根及其重?cái)?shù)進(jìn)行曲面繪制的方法，包括以下步驟1)確定曲面的特征點(diǎn)；特征點(diǎn)包括曲面的獨(dú)立奇點(diǎn)，奇異線上的點(diǎn)，與奇點(diǎn)鄰近的非奇點(diǎn)；其包括如下步驟(1)確定特征點(diǎn)滿足的零維三角多項(xiàng)式系統(tǒng)；(2)計(jì)算零維三角多項(xiàng)式系統(tǒng)的所有實(shí)根及其重?cái)?shù)；其包括以下步驟1.對零維三角多項(xiàng)式系統(tǒng)Ση = If1 (X1) , f2(xi X2) ...，fn(xi，x2，...，xn)}進(jìn)行預(yù)處理，通過線性變換將其變換到局部一般位置；II.將所有實(shí)根投影到一維空間中，通過計(jì)算結(jié)式來進(jìn)行投影，得到一個(gè)單變元方程， 該投影保持根的重?cái)?shù)不變；III.計(jì)算單變元多項(xiàng)式方程的所有實(shí)根及其重?cái)?shù)；IV.通過線性變換將一元實(shí)根提升回原方程組的實(shí)根；2)生成曲面連接關(guān)系圖曲面的連接關(guān)系圖包括三部分點(diǎn)集合，即步驟I)確定曲面的特征點(diǎn)集合；邊集合，即特征點(diǎn)之間的連接關(guān)系；面集合，即特征點(diǎn)構(gòu)成的三角片與邊的連接關(guān)系；3)繪制曲面步驟2)中得到的面集合已經(jīng)是曲面的一個(gè)三角網(wǎng)格化，以此直接繪制網(wǎng)格曲面，或者在此基礎(chǔ)上通過其他光順化方法繪制更光滑的曲面。
2.根據(jù)權(quán)利要求I所述的方法，其中，對零維三角多項(xiàng)式系統(tǒng)預(yù)處理包括1)計(jì)算實(shí)根的隔離界i= 1,2, *··η-1 ；2)估計(jì)根的上界Ri,i = 2,3, *··η ；3)確定線性變換，把多項(xiàng)式系統(tǒng)變換到局部一般位置。
3.根據(jù)權(quán)利要求2所述的方法，其中，估計(jì)根的上界包括設(shè)實(shí)數(shù)列(ξ1; I2,…， η)由一個(gè)包含它且端點(diǎn)為有理數(shù)的區(qū)間列[a^bJXtay b2] X…X Lai^1, Iv1]表不，將多項(xiàng)式拆分
4.根據(jù)權(quán)利要求2所述的方法，其中確定線性變換，把多項(xiàng)式系統(tǒng)變換到局部一般位 置包括對E 做線性變換
5.根據(jù)權(quán)利要求1所述的方法，其中，通過線性變換將一元實(shí)根提升回原方程組的實(shí) 根包括通過線性變換
全文摘要
一種通過計(jì)算零維三角多項(xiàng)式系統(tǒng)所有實(shí)根及其重?cái)?shù)進(jìn)行曲面繪制的方法和系統(tǒng)，包括步驟確定曲面特征點(diǎn)，通過計(jì)算零維三角多項(xiàng)式系統(tǒng)所有實(shí)根及其重?cái)?shù)得到曲面的特征點(diǎn)及其重?cái)?shù)；生成曲面連接關(guān)系圖，通過確定特征點(diǎn)之間的連接關(guān)系得到連接關(guān)系圖；繪制曲面，在連接關(guān)系圖的基礎(chǔ)上直接繪制網(wǎng)格曲面或者通過其他光順化方法繪制更光滑的曲面。
文檔編號G06F17/50GK102609987SQ201210003409
公開日2012年7月25日 申請日期2012年1月9日 優(yōu)先權(quán)日2012年1月9日
發(fā)明者李家, 程進(jìn)三, 高小山 申請人:北京電子科技學(xué)院