專利名稱:混數(shù)進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法的計(jì)算機(jī)技術(shù)方案的制作方法
技術(shù)領(lǐng)域:
本發(fā)明涉及數(shù)字工程方法和計(jì)算機(jī)領(lǐng)域,特別是計(jì)算機(jī)的運(yùn)算器背景技術(shù)本發(fā)明中“數(shù)字工程”是專指“數(shù)字計(jì)算系統(tǒng)工程”。它是解決四則運(yùn)算法則等計(jì)算系統(tǒng)本身的數(shù)字工程實(shí)現(xiàn)技術(shù)方案。“采用工具的數(shù)字計(jì)算”歷史上包括筆算、珠算、機(jī)械算、電算,以及籌算等?,F(xiàn)代僅剩下三種,這就是數(shù)字電算、珠算、筆算。與此相應(yīng)的數(shù)字計(jì)算系統(tǒng)工程也就僅有三種數(shù)字計(jì)算機(jī);算盤;采用筆和紙進(jìn)行筆算的數(shù)字計(jì)算系統(tǒng)工程,簡稱為“筆算工程”。
當(dāng)前數(shù)字工程方法中的四則運(yùn)算,首先是加法,有許多不盡如人意之處。主要表現(xiàn)為運(yùn)算速度慢;在減法中,未能充分利用負(fù)數(shù)的作用,而且,不能“連減”。尤其在加減聯(lián)合運(yùn)算中,不能一步到位;在乘法中,加法的缺點(diǎn)更加擴(kuò)大嚴(yán)重;在除法中,上述缺點(diǎn)依舊。總之,在最小的數(shù)體——有理數(shù)體中,四則運(yùn)算情況并不滿意。在筆算數(shù)字工程中,對運(yùn)算的解剖,表明存在一些隱含的操作程序,以至產(chǎn)生“隱患”。以“二數(shù)相加”為例,算式如式一123456+345678=469134。[文中凡未標(biāo)明數(shù)制的數(shù),均指普通十進(jìn)制數(shù)。下同。]其中,十位上的和數(shù)3,解剖一下。其微程序操作是 個(gè)位上來的進(jìn)位; 十位上5、7二數(shù)字與低位進(jìn)位相加,即(5+7+1)。取其和的個(gè)位; 上列(5+7+1)和的進(jìn)位送到高位。其余各位,情況類似。又如例二,設(shè)三數(shù)求和,算式如式二78+297+259=634。上述情況更為加重。顯然,存在下列缺點(diǎn)a.進(jìn)位標(biāo)示困難。若用小數(shù)字表明,則易混淆且字面積受限。特別是表456789時(shí)就更煩人;若以“.”符寫在數(shù)字間,則易與小數(shù)點(diǎn)混淆且表示456789也不便;若以手指數(shù)數(shù),則速度慢且不方便;若心算,則費(fèi)腦力且易錯??傊容^討厭,易出錯。b.一般二數(shù)相加時(shí),每一位上要有三個(gè)數(shù)相加求和。于是,需三重運(yùn)算。三及三以上個(gè)數(shù)相加求和時(shí),則更不方便。c.驗(yàn)算困難。一般采用重做一遍,費(fèi)時(shí)費(fèi)力。
減法比加法麻煩。而且不能在同一豎式中“連減”,必須斷開。特別在加減聯(lián)合運(yùn)算時(shí),不能一步到位。乘除法中,這類情況更為嚴(yán)重。而且,加減乘除運(yùn)算格式不統(tǒng)一,除法時(shí)另起爐灶。
另一方面,在電子計(jì)算機(jī)數(shù)字工程中,這些數(shù)一般均采用普通二進(jìn)制數(shù)來表示。其負(fù)數(shù)常以原碼、反碼、補(bǔ)碼、移碼之類來表示。在現(xiàn)有計(jì)算機(jī)中運(yùn)算均以二個(gè)數(shù)運(yùn)算,而無法實(shí)現(xiàn)“多重運(yùn)算”。所謂“多重運(yùn)算”,是指多于二個(gè)數(shù)同時(shí)進(jìn)行加減。在采用其他普通Q進(jìn)制等普通數(shù)制的電子計(jì)算機(jī)中,存在相應(yīng)的許多復(fù)雜性。[Q為自然數(shù)。]此外,在算盤數(shù)字工程中,這些數(shù)一般采用普通二進(jìn)制與普通五進(jìn)制的“聯(lián)合Q進(jìn)制”數(shù)。因此,運(yùn)算口訣繁雜,而且存在相應(yīng)的一些復(fù)雜性。
發(fā)明內(nèi)容
本發(fā)明提出一種新的數(shù)字工程方法,顯著提高運(yùn)算速度;同時(shí)加強(qiáng)運(yùn)算正確性的保障,在“筆算工程”中,大大降低筆算的出錯率。本發(fā)明同時(shí)提出了,采用混數(shù)進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法的計(jì)算機(jī)技術(shù)方案,顯著提高運(yùn)算速度。運(yùn)算采用混數(shù)進(jìn)制中的混Q進(jìn)制或增Q進(jìn)制或偏Q進(jìn)制或稱Q進(jìn)制,稱Q進(jìn)制中,Q為>1的整數(shù)。簡寫為“混/增/偏/稱Q進(jìn)制”。
根據(jù)本發(fā)明的一個(gè)方面,提供一種混數(shù)進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法,采用“混數(shù)進(jìn)制”數(shù),以“混數(shù)進(jìn)制、進(jìn)位行方法”運(yùn)算?;鞌?shù)進(jìn)制運(yùn)算可為下列方案之一;方案一(適于計(jì)算機(jī)、筆算工程中)①普通Q進(jìn)制數(shù)編碼或另行轉(zhuǎn)換為混數(shù)進(jìn)制數(shù);②混數(shù)進(jìn)制運(yùn)算(“對沖”、“劃Q”、“累加”);③混數(shù)進(jìn)制數(shù)譯碼或另行轉(zhuǎn)換為普通Q進(jìn)制數(shù);方案二(適于計(jì)算機(jī)、算盤中;也可用于筆算工程,也可不用;)①普通Q進(jìn)制數(shù)編碼或另行轉(zhuǎn)換為混數(shù)進(jìn)制數(shù);混數(shù)進(jìn)制數(shù)編碼為“編碼全一進(jìn)制數(shù)”;②“編碼全一進(jìn)制”運(yùn)算(“對沖”、“劃Q”、“累加”);③“編碼全一進(jìn)制數(shù)”譯碼為混數(shù)進(jìn)制數(shù);混數(shù)進(jìn)制數(shù)譯碼或另行轉(zhuǎn)換為普通Q進(jìn)制數(shù);方案三(適于計(jì)算機(jī)中)①普通Q進(jìn)制數(shù)編碼或另行轉(zhuǎn)換為混數(shù)進(jìn)制數(shù);混數(shù)進(jìn)制數(shù)編碼或另行轉(zhuǎn)換為{0,±1}二進(jìn)制(其特況為普通二進(jìn)制)數(shù);②{0,±1}二進(jìn)制運(yùn)算(“對沖”、“劃Q”、“累加”);③{0,±1}二進(jìn)制數(shù)譯碼或另行轉(zhuǎn)換為混數(shù)進(jìn)制數(shù);混數(shù)進(jìn)制數(shù)譯碼或另行轉(zhuǎn)換為普通Q進(jìn)制數(shù);方案四(適于計(jì)算機(jī)中)①普通Q進(jìn)制數(shù)編碼或另行轉(zhuǎn)換為混數(shù)進(jìn)制數(shù);混數(shù)進(jìn)制數(shù)編碼或另行轉(zhuǎn)換為“編碼{0,±1}二進(jìn)制數(shù)”;②“編碼{0,±1}二進(jìn)制”運(yùn)算(“對沖”、“劃Q”、“累加”);③“編碼{0,±1}二進(jìn)制數(shù)”譯碼或另行轉(zhuǎn)換為混數(shù)進(jìn)制數(shù);混數(shù)進(jìn)制數(shù)譯碼或另行轉(zhuǎn)換為普通Q進(jìn)制數(shù);本發(fā)明中,采用方案一、方案二來展示。
其中“混數(shù)進(jìn)制、進(jìn)位行方法”包括以下第一種步驟第1步,設(shè)K個(gè)普通Q進(jìn)制數(shù)參予加減運(yùn)算,K為≥2的整數(shù),Q為自然數(shù);將這些數(shù)轉(zhuǎn)換成K或2K個(gè)混數(shù)進(jìn)制數(shù);第2步,對K或2K個(gè)數(shù)中的二個(gè)數(shù),進(jìn)行混數(shù)進(jìn)制的求和運(yùn)算;從最低位開始,即在某一位上,取這二個(gè)數(shù)按位相加;采用“對沖”、“劃Q”、累加,得到這二個(gè)數(shù)該位“按位加”和數(shù);將此和數(shù)記入下一運(yùn)算層,作為“部份和”數(shù);同時(shí)所得“混數(shù)進(jìn)位”,則存放到下一運(yùn)算層或本運(yùn)算層尚未運(yùn)算過的,任一數(shù)據(jù)行相鄰高位的空位或0位處;第3步,在上述某位的相鄰高位上,重復(fù)第2步的運(yùn)算;如此反復(fù),直至二數(shù)最高位也已運(yùn)算為止;當(dāng)采用并行運(yùn)算時(shí),二數(shù)各位同時(shí)進(jìn)行第2步及第3步運(yùn)算,則本步可跳越過去;當(dāng)采用串并行運(yùn)算時(shí),則類似處理;第4步,取K或2K個(gè)數(shù)中的另二個(gè)數(shù),進(jìn)行第2步及第3步運(yùn)算;如此反復(fù),直至K或2K個(gè)數(shù)或運(yùn)算層中全部數(shù)均取完為止;當(dāng)僅剩下一個(gè)數(shù)時(shí),則直接移至下一運(yùn)算層作為“部份和”數(shù);第5步,在下一個(gè)運(yùn)算層中,將上述“按位和”數(shù)及“進(jìn)位”數(shù)進(jìn)行前述第2步、第3步、第4步求和運(yùn)算;如此反復(fù),直至運(yùn)算層中,運(yùn)算后僅獲得一個(gè)數(shù)為止;則最后所得混數(shù)進(jìn)制加法運(yùn)算和數(shù),即為所求K個(gè)普通Q進(jìn)制數(shù)加減運(yùn)算結(jié)果;或者,采用以下第二種步驟第1步,設(shè)K個(gè)普通Q進(jìn)制數(shù)參予加減運(yùn)算,K為≥2的整數(shù),Q為自然數(shù);將這些數(shù)轉(zhuǎn)換成K或2K個(gè)混數(shù)進(jìn)制數(shù);第2步,從最低位開始,即在某一位上,取二數(shù)采用“對沖”、“劃Q”、累加;即在二數(shù)時(shí),得到二個(gè)數(shù)該位“按位加”和數(shù);將此和數(shù)記入下一運(yùn)算層,作為“部份和”數(shù);同時(shí)所得“混數(shù)進(jìn)位”,則存放到下一運(yùn)算層或本運(yùn)算層尚未運(yùn)算過的,任一數(shù)據(jù)行相鄰高位的空位或0位處;第3步,在上述某位上,取K或2K個(gè)數(shù)中的另二個(gè)數(shù),重復(fù)第2步的運(yùn)算;如此反復(fù),直至K或2K個(gè)數(shù)或運(yùn)算層中全部數(shù)均取完為止;當(dāng)僅剩下一個(gè)數(shù)時(shí),則直接移至下一運(yùn)算層作為“部份和”數(shù);當(dāng)采用同一位上各數(shù)同時(shí)運(yùn)算時(shí),同時(shí)進(jìn)行第2步及第3步運(yùn)算,則本步可跳越過去;這時(shí)在同一位上,對n個(gè)和為0的數(shù)先進(jìn)行“對沖”;然后,對n個(gè)和為mQ的數(shù)進(jìn)行“劃Q”;n為≥2的整數(shù),m為整數(shù);所得“混數(shù)進(jìn)位”,則存放到下一運(yùn)算層或本運(yùn)算層尚未運(yùn)算過的,任一數(shù)據(jù)行相鄰高位的空位或0位處;同一位上,余下各數(shù)進(jìn)行“累加”,或者直接移至下一運(yùn)算層;累加采用≥2的“多數(shù)累加”;當(dāng)采用普通二數(shù)“累加”時(shí),則順序串行累加;第4步,在上述某位的相鄰高位上,重復(fù)第2步及第3步的運(yùn)算;如此反復(fù),直至K或2K個(gè)數(shù)最高位也已運(yùn)算為止;第5步,在下一個(gè)運(yùn)算層中,對上述“按位和”數(shù)及“進(jìn)位”數(shù)進(jìn)行前述第2步、第3步、第4步求和運(yùn)算;如此反復(fù),直至運(yùn)算層中,運(yùn)算后僅獲得一個(gè)數(shù)為止;則最后所得混數(shù)進(jìn)制加法運(yùn)算和數(shù),即為所求K個(gè)普通Q進(jìn)制數(shù)加減運(yùn)算結(jié)果;或者,采用以下第三種步驟第1步,設(shè)K個(gè)普通Q進(jìn)制數(shù)參予加減運(yùn)算,K為≥2的整數(shù),Q為自然數(shù);將這些數(shù)轉(zhuǎn)換成K或2K個(gè)混數(shù)進(jìn)制數(shù);第2步,采用所謂“二維運(yùn)算”;即,在K或2K個(gè)數(shù)的各位上,同時(shí)進(jìn)行運(yùn)算;對每一位上,n個(gè)和為0的數(shù)進(jìn)行“對沖”;n為≥2的整數(shù);第3步,采用所謂“二維運(yùn)算”;即,在K或2K個(gè)數(shù)的各位上,同時(shí)進(jìn)行運(yùn)算;對每一位上,n個(gè)和為mQ的數(shù)進(jìn)行“劃Q”;n為≥2的整數(shù),m為整數(shù);所得“混數(shù)進(jìn)位”,則存放到下一運(yùn)算層的,任一數(shù)據(jù)行相鄰高位的空位或0位處;第4步,采用所謂“二維運(yùn)算”;即,在K或2K個(gè)數(shù)的各位上,同時(shí)進(jìn)行運(yùn)算;對每一位上,余下各數(shù)進(jìn)行“累加”,或者直接移至下一運(yùn)算層;累加采用≥2的“多數(shù)累加”;當(dāng)采用普通二數(shù)“累加”時(shí),則順序串行累加;第5步,在下一個(gè)運(yùn)算層中,將上述“按位和”數(shù)及“進(jìn)位”數(shù)進(jìn)行前述第2步、第3步、第4步求和運(yùn)算;如此反復(fù),直至運(yùn)算層中,運(yùn)算后僅獲得一個(gè)數(shù)為止;則最后所得混數(shù)進(jìn)制加法運(yùn)算和數(shù),即為所求K個(gè)普通Q進(jìn)制數(shù)加減運(yùn)算結(jié)果。
混數(shù)進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法,其中混數(shù)進(jìn)制為混Q進(jìn)制、或增Q進(jìn)制、或偏Q進(jìn)制、或稱Q進(jìn)制,Q為自然數(shù)。簡寫為“混/增/偏/稱Q進(jìn)制”。運(yùn)算采用“進(jìn)位行方法”;即在運(yùn)算過程中,將產(chǎn)生的進(jìn)位存放在相鄰高位“進(jìn)位行”中,與一般運(yùn)算數(shù)同等對待,然后與“按位和”一起進(jìn)行運(yùn)算。通常又進(jìn)一步,將進(jìn)位放入下一運(yùn)算層或本運(yùn)算層尚未運(yùn)算過的,任一數(shù)據(jù)行相鄰高位的空位或0位處。
對K個(gè)數(shù)中的n個(gè)數(shù)進(jìn)行求和運(yùn)算時(shí),如果在某一位上,其中n個(gè)運(yùn)算數(shù)的按位加和為零,但產(chǎn)生進(jìn)位m(與n個(gè)數(shù)的和數(shù)符號一致);n為≥2的整數(shù),m為整數(shù);進(jìn)位放入下一運(yùn)算層或本運(yùn)算層尚未運(yùn)算過的,任一數(shù)據(jù)行相鄰高位的空位或0位處;然后,將n個(gè)運(yùn)算數(shù)的某位均以邏輯方式置“0”,不再參加以后的運(yùn)算;這稱為“劃Q”;“劃Q”中m=0時(shí),稱為“對沖”;或者,不采用“對沖”及“劃Q”。
所述混數(shù)進(jìn)制數(shù)可以不編碼;可以混數(shù)進(jìn)制數(shù)編碼;也可以全一碼來編碼,即將各個(gè)混數(shù)進(jìn)制數(shù)的每一位數(shù)S,都以|S|個(gè)1從最低位順序至高位排列來對應(yīng),其余高位均為0,總位數(shù)則為Q或(Q-1)或Q/2或(Q+1)/2位;同時(shí),將S的數(shù)符,即表示該位的數(shù)為正或負(fù),作為相應(yīng)全一碼中每一位上的數(shù)符(參見第三部分增Q進(jìn)制及全一碼);當(dāng)采用全一碼來編碼混數(shù)進(jìn)制數(shù)時(shí),n個(gè)數(shù)加法僅為n個(gè)數(shù)中1或1的不重復(fù)排列,稱為“排1”;其全一碼編譯可以定碼長或變碼長。
根據(jù)本發(fā)明的另一個(gè)方面,提供一種混數(shù)進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法的計(jì)算機(jī)技術(shù)方案。采用“混數(shù)進(jìn)制”數(shù),以“混數(shù)進(jìn)制、進(jìn)位行方法”運(yùn)算。包括輸入轉(zhuǎn)換邏輯(混Q進(jìn)制、進(jìn)位行計(jì)算機(jī)中可省略)、輸入邏輯、CPU中央處理器、外存、輸出轉(zhuǎn)換邏輯、輸出邏輯及控制器組成?;鞌?shù)運(yùn)算控制邏輯及內(nèi)存組成CPU中央處理器。其中,K或2K重運(yùn)算器及控制器組成混數(shù)運(yùn)算控制邏輯?;鞌?shù)進(jìn)制數(shù)經(jīng)移位寄存器輸入邏輯至K或2K重運(yùn)算器;K或2K重運(yùn)算器中,混數(shù)進(jìn)制數(shù)經(jīng)K或2K重運(yùn)算獲得混數(shù)進(jìn)制數(shù)的結(jié)果,經(jīng)由編碼器輸出轉(zhuǎn)換邏輯以混數(shù)進(jìn)制數(shù)、或普通Q進(jìn)制數(shù)、或普通十進(jìn)制數(shù)通過輸出邏輯輸出??刂破鲄f(xié)調(diào)控制整個(gè)運(yùn)算控制的邏輯?;鞌?shù)進(jìn)制運(yùn)算可為前述方案之一;本發(fā)明計(jì)算機(jī)中,采用方案二來展示;“K或2K重運(yùn)算器”由累加器∑i和寄存器網(wǎng)、對沖網(wǎng)、劃Q網(wǎng)組成;i為序數(shù);當(dāng)用于計(jì)算機(jī),特別是電子計(jì)算機(jī)運(yùn)算器中時(shí),數(shù)字工程方法可采用前述第一種或第二種或第三種步驟。這里,采用第三種步驟來展示。
K或2K重運(yùn)算器中,為每個(gè)寄存器及其相應(yīng)的累加器∑i的每一位分配一個(gè)符號位,該符號位為普通二態(tài)觸發(fā)器;K或2K個(gè)寄存器存放輸入的K或2K個(gè)混數(shù)進(jìn)制數(shù)。K或2K重運(yùn)算器中采用所謂“二維運(yùn)算”。即,在數(shù)的各位上同時(shí)進(jìn)行運(yùn)算;并且每一位上各數(shù),亦同時(shí)進(jìn)行先“對沖”、后“劃Q”、再“累加”。當(dāng)下一個(gè)運(yùn)算層指令到達(dá)時(shí),將進(jìn)位數(shù)與“按位和”數(shù)再進(jìn)行相加;如此重復(fù),直至運(yùn)算層中,運(yùn)算后僅獲得一個(gè)數(shù)為止。最后,再經(jīng)累加器∑i輸出所求和數(shù)。上述“K或2K重運(yùn)算器”當(dāng)K或2K值較大時(shí),可以進(jìn)行分級、分組放大。
對K或2K個(gè)數(shù)中的n個(gè)數(shù)進(jìn)行求和運(yùn)算時(shí),如果在某一位上,其中n個(gè)運(yùn)算數(shù)的“按位和”為零,但產(chǎn)生進(jìn)位m(與n個(gè)數(shù)的和數(shù)符號一致);n為≥2的整數(shù),m為整數(shù);進(jìn)位放入下一運(yùn)算層或本運(yùn)算層尚未運(yùn)算過的,任一數(shù)據(jù)行相鄰高位的空位或0位處;然后,將n個(gè)運(yùn)算數(shù)的某位均以邏輯方式置“0”,不再參加以后的運(yùn)算;這稱為“劃Q”;“劃Q”中m=0時(shí),稱為“對沖”;或者,不采用“對沖”及“劃Q”。
計(jì)算機(jī)中所述運(yùn)算數(shù)是混數(shù)進(jìn)制數(shù),Q為自然數(shù)??捎萌淮a編碼;或以混數(shù)進(jìn)制數(shù)編碼;或不編碼。以全一碼來編碼時(shí),即將各個(gè)混數(shù)進(jìn)制數(shù)的每一位數(shù)S,都以|S|個(gè)1從最低位順序至高位排列來對應(yīng),其余高位均為0,總位數(shù)則為Q或(Q-1)或Q/2或(Q+1)/2位;同時(shí),將S的數(shù)符,即表示該位的數(shù)為正或負(fù),作為相應(yīng)全一碼中每一位上的數(shù)符;當(dāng)采用全一碼來編碼混數(shù)進(jìn)制數(shù)時(shí),n個(gè)數(shù)加法僅為n個(gè)數(shù)中1或1的不重復(fù)排列;其全一碼編譯可以定碼長或變碼長;本發(fā)明計(jì)算機(jī)中,采用定碼長來展示。當(dāng)采用全一碼編碼時(shí),K或2K重運(yùn)算器中的累加器,可以省略為全一碼移位寄存器。該寄存器專門存放結(jié)果和數(shù),又稱為“和數(shù)寄存器”。這時(shí),如采用上述“二維運(yùn)算”,則稱為“三維運(yùn)算”。相應(yīng)的運(yùn)算器,則稱為“三維運(yùn)算器”。計(jì)算機(jī)中所采用的元器件為P值元器件,P是數(shù)元集的基數(shù),P為>1的整數(shù);或者常取二值元器件;或者取三值元器件。
圖1是混數(shù)進(jìn)制計(jì)算機(jī)總邏輯框圖。
圖2是混數(shù)進(jìn)制、進(jìn)位行計(jì)算機(jī)(運(yùn)算控制)邏輯框圖;圖3是K或2K重運(yùn)算器第I位的邏輯框圖;
圖4是對沖邏輯(對沖器)的邏輯框圖;圖5是劃Q邏輯(劃Q器)的邏輯框圖;具體實(shí)施方式
第一部分混數(shù)進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法1.《進(jìn)位行方法》1.1進(jìn)位與《進(jìn)位行方法》在電子計(jì)算機(jī)等數(shù)值運(yùn)算中,運(yùn)算速度提高的關(guān)鍵之一,就在于“進(jìn)位”。進(jìn)位的獲得,進(jìn)位的存貯以及進(jìn)位的參予運(yùn)算都是至關(guān)重要的?!斑M(jìn)位”就是爭“速度”。在筆算工程中,還直接影響到“出錯率”。本部分以筆算工程為例。所謂《進(jìn)位行方法》就是,在運(yùn)算過程中,將產(chǎn)生的進(jìn)位存放在參予運(yùn)算與“按位和”數(shù)同等的位置上,然后與“按位和”一起進(jìn)行運(yùn)算。通常同運(yùn)算層中二數(shù)相加時(shí),將各位上的進(jìn)位排列成一行,稱為“進(jìn)位行”。(運(yùn)算層的概念,見下節(jié)。)舉例如下,設(shè)二普通十進(jìn)制數(shù)求和,算式如式三123456+345678=469134。個(gè)位運(yùn)算(6+8)=14,其進(jìn)位1寫于下一行的高一位上。依此類推。式中二數(shù)相加時(shí),各位上不計(jì)進(jìn)位的求和,稱為“按位加”。其和稱為“按位和”。按位和的數(shù)據(jù)行,稱為“行”。行與進(jìn)位行組成“運(yùn)算層”。
1.2《進(jìn)位行方法》分析1.2.1二數(shù)求和的分析采用《進(jìn)位行方法》的加法運(yùn)算由上節(jié)可知①二數(shù)相加時(shí),每一位上只有二個(gè)數(shù)相加;在進(jìn)位行中直接標(biāo)示進(jìn)位,不存在任何困難;②驗(yàn)算十分方便。
二數(shù)相加時(shí),任意位上要么有進(jìn)位記為1,要么無進(jìn)位記為0;[引理二]二數(shù)相加時(shí),任意位上的和可為0~9之一。但是,當(dāng)該位上有向高位進(jìn)位時(shí),該位上的和只能為0~8之一,而不能為9。
由[引理一]和[引理二]可得[定理一]二數(shù)相加時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)某位上沒有向高位進(jìn)位時(shí),該位上的和才可能出現(xiàn)9。
1.2.2層次概念及運(yùn)算層設(shè)二數(shù)求和為式四5843029+4746979=10590008。由式四可見,運(yùn)算是分層次進(jìn)行的。運(yùn)算層將一個(gè)運(yùn)算解剖成子運(yùn)算。每一運(yùn)算層中,又將子運(yùn)算解剖成微運(yùn)算。微運(yùn)算僅完成一項(xiàng)簡單運(yùn)算。這就是運(yùn)算的“層次”概念?!皩哟巍备拍钍菙?shù)學(xué)中的基本概念,《進(jìn)位行方法》正是建立在此基礎(chǔ)上。以往的加法運(yùn)算方法,本質(zhì)上也隱含“層次”概念。因此,《進(jìn)位行方法》中的“層次”,從總體上看并未增加運(yùn)算的復(fù)雜性。反之,以往的方法由于隱含了“層次”,反而進(jìn)一步增加了運(yùn)算的復(fù)雜性。這一點(diǎn),也進(jìn)一步造成運(yùn)算速度被降低。
1.2.3唯一的運(yùn)算層二數(shù)相加時(shí),特別情況下會出現(xiàn)多次運(yùn)算層。各層有如下關(guān)系成立。
二數(shù)相加時(shí),當(dāng)某位前一運(yùn)算層上有進(jìn)位時(shí),其后各運(yùn)算層上均不可能出現(xiàn)進(jìn)位。(由引理一、二得)[引理四]二數(shù)相加時(shí),當(dāng)某位后一運(yùn)算層上有進(jìn)位時(shí),其前各運(yùn)算層上必?zé)o進(jìn)位。(由引理一、二得)[定理二]二數(shù)相加時(shí),同一位各運(yùn)算層上,要么都無進(jìn)位,要么只能有一個(gè)進(jìn)位。
(由引理三、四得)[推論]二數(shù)相加時(shí),可以將全部各層進(jìn)位行合并為一個(gè)進(jìn)位行;除第0運(yùn)算層(初始運(yùn)算式)外,可以將各運(yùn)算層合并為一個(gè)運(yùn)算層。
1.2.4三數(shù)及三數(shù)以上求和分析設(shè)三數(shù)求和,算式為231+786+989=2006(式五)。又,設(shè)六數(shù)求和。算式為786+666+575+321+699+999=4046(式六)。操作要點(diǎn)①“劃Q”的運(yùn)用;所謂“劃Q”,即Q進(jìn)制的n個(gè)數(shù)在某位上相加時(shí),其按位加和為零,但該位上產(chǎn)生進(jìn)位m(與n個(gè)數(shù)的和數(shù)符號一致)。n為≥2的整數(shù),m為整數(shù)。進(jìn)位放入下一運(yùn)算層或本運(yùn)算層尚未運(yùn)算過的,任一數(shù)據(jù)行相鄰高位的空位或0位處;同時(shí)在某位上,該n個(gè)數(shù)均不再參加運(yùn)算。即,同一位上n個(gè)數(shù)和為mQ時(shí),可將n個(gè)數(shù)均劃去,然后在高位上的空位或0位處補(bǔ)m。在十進(jìn)制時(shí)Q=10,劃Q即為“劃十”。
②多個(gè)數(shù)相加,可出現(xiàn)二個(gè)及二個(gè)以上的運(yùn)算層。為了減少運(yùn)算層數(shù),同一位上的同一運(yùn)算層空位或0位中,進(jìn)位及和數(shù)可以任意占位;一個(gè)運(yùn)算層中某位上的進(jìn)位,可以放入下一運(yùn)算層或本運(yùn)算層尚未運(yùn)算過的,任一數(shù)據(jù)行相鄰高位的空位或0位處;③盡量減少運(yùn)算層。a、較小的數(shù),直接合并算;b、盡量在“配對”中進(jìn)位;c、盡量減少在第一運(yùn)算層上相加數(shù)的個(gè)數(shù),盡量使第二及二以上運(yùn)算層不出現(xiàn)。
④同一位上,各數(shù)進(jìn)行“累加”,或者直接移至下一運(yùn)算層;累加采用≥2的“多數(shù)累加”;當(dāng)采用普通二數(shù)“累加”時(shí),則順序串行累加;“相同數(shù)”、“連續(xù)數(shù)”等,可直接得“部分和”。
2.混數(shù)及混數(shù)進(jìn)制2.1《數(shù)制理論SZLL》2.1.1按同一種規(guī)則記錄數(shù),便于用來在一個(gè)數(shù)系統(tǒng)中進(jìn)行運(yùn)算的數(shù)的制度,稱為“記數(shù)系統(tǒng)的制度”。簡稱為“數(shù)制”。《數(shù)制理論SZLL》就是研究數(shù)制的生成、分類、分析、比較、變換、計(jì)算等的科學(xué)。它也是研究數(shù)制在數(shù)論、群論、集合論、博弈論等數(shù)學(xué)其他分支;及其在多值邏輯、Walsh函數(shù)、《狹義及廣義模隨論MSL》等各鄰近學(xué)科;特別是在數(shù)字工程領(lǐng)域的計(jì)算機(jī)、筆算工程及算盤中應(yīng)用的科學(xué)。它是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論之一。數(shù)學(xué)科學(xué),即“數(shù)”的科學(xué)?!皵?shù)”的基本為“數(shù)制”。因此,《數(shù)制理論SZLL》是“數(shù)論”的基礎(chǔ),是“核心數(shù)學(xué)”的“核心”之一。
2.1.2位值制數(shù)制設(shè),構(gòu)造一個(gè)數(shù)系,其中的數(shù)以各不相同位置上的“數(shù)符”來表示。“數(shù)符”又稱“數(shù)字”。對于每個(gè)數(shù)位上的全部數(shù)字均給定一個(gè)單位值(又稱“位值”)。數(shù)字通常從右向左水平排列,其值由低(小)到高(大)。以此表示整個(gè)數(shù)系中每一個(gè)數(shù)的數(shù)制,稱為“位值制數(shù)制”。我們以下討論的數(shù)制,都是“位值制數(shù)制”。在不致誤解時(shí),也直接簡稱為“數(shù)制”。
2.1.3數(shù)制的三大要素?cái)?shù)位I,數(shù)元集Zi和權(quán)Li。
a、數(shù)位I表示數(shù)制中數(shù)的各位數(shù)字的位置。I為序數(shù),各位從右至左來表示。即,i=1,2,3,…表示該數(shù)的第1,2,3,…位。
b、數(shù)元集Zi,表示第I位上的“數(shù)元”組成的集合。同一數(shù)制系統(tǒng)中,各個(gè)數(shù)同一位上不同符號的全體,組成一個(gè)該位上的數(shù)符集。該數(shù)符集中的元素,稱為“數(shù)的元素”。簡稱為“數(shù)元”。因此,該數(shù)符集稱為“數(shù)元集Z”。數(shù)元集Zi可以隨著i的取值不同而不同,也可以相同。當(dāng)各位上的Zi均為相同的Z時(shí),相應(yīng)的數(shù)制稱為“單一集數(shù)制”或“單一數(shù)制”;當(dāng)各位上的Zi不全相同時(shí),相應(yīng)的數(shù)制稱為“聯(lián)合集數(shù)制”或“聯(lián)合數(shù)制”。
數(shù)元集Zi中的數(shù)元可為復(fù)數(shù)或其他多種多樣符號。在《數(shù)制理論》中,以aj來表示數(shù)元(a1,a2,a3,…),j為自然數(shù)。以iaj表示第i位上數(shù)元aj。約定,aj=-A(A為復(fù)數(shù))時(shí),可表示為aj=A。數(shù)元集Zi以集合{a1,…,aj,…}來表示,即Zi={a1,…,aj,…};或者,Zi以文字表明其特征。為便于計(jì)算,通常取數(shù)元aj為整數(shù),以阿拉伯?dāng)?shù)字來表示。
數(shù)元集Zi的基數(shù)Pi(Pi為自然數(shù)),表示了集的元素總數(shù)。恩格思指出它“不但決定它自己的質(zhì),而且也決定其他一切數(shù)的質(zhì)。”Pi的取值不同,標(biāo)示了數(shù)元集Zi的變化。各位上的Pi為相同的P,則稱為“單一基數(shù)”;否則,稱為“聯(lián)合基數(shù)”。
在《數(shù)制理論》的“位值制數(shù)制”中,定義數(shù)中的“空位”表示“無”,其位值為0,稱為“空位0”?!翱瘴?”是0的一種,是0的一種表達(dá)形式,是一種隱含的0。通常不加以標(biāo)明;在數(shù)元集中,“空位”是一種特殊的數(shù)元,稱為“空位元”。簡稱為“空元”?!翱赵笔敲恳粋€(gè)“位值制數(shù)制”數(shù)元集均有的數(shù)元,其在數(shù)元集中的表示即為“空位”。通常不加以標(biāo)明?!翱赵笔菙?shù)元集中,唯一通常不計(jì)入數(shù)元aj,也不計(jì)個(gè)數(shù),即個(gè)數(shù)為0的數(shù)元;另一方面,在特別情況下,為統(tǒng)一表述,則將其計(jì)入數(shù)元,其個(gè)數(shù)計(jì)為1。
c、權(quán)Li,表示第i位上的位值大小。特稱此位值為“權(quán)Li”。Li為實(shí)數(shù)。為便于計(jì)算,通常取權(quán)Li為整數(shù),特別是自然數(shù),以阿拉伯?dāng)?shù)字來表示。不同的Li,就決定了不同的位值。在“編碼理論”中,“編碼”的主要特征就在于權(quán)Li。
實(shí)際中常見的權(quán)Li采用所謂“冪權(quán)”。即,令Li=Qi(i-1),Qi為實(shí)數(shù)。為便于計(jì)算,通常取Qi為自然數(shù)。Qi可以阿拉伯?dāng)?shù)字來表示,也可以中文小寫數(shù)字來表示。常見各位Li均為冪權(quán),而且成等比Q的數(shù)制。Q稱為數(shù)制冪權(quán)的“底數(shù)”或數(shù)制的“底數(shù)”。底數(shù)Q的不同,決定了不同的Li,從而決定了不同的位值。Qi可以隨著i的取值不同而不同,也可以相同。當(dāng)各位上的數(shù)制冪權(quán)Qi,其底數(shù)均為相同的Q時(shí),相應(yīng)的數(shù)制稱為“單一Q進(jìn)制”。簡稱為“Q進(jìn)制”或“進(jìn)制”。當(dāng)各位上的數(shù)制冪權(quán)Qi,其底數(shù)不全相同時(shí),相應(yīng)的數(shù)制稱為“聯(lián)合Q進(jìn)制”。另一種常用的權(quán)Li采用“等權(quán)”,即各位上的權(quán)L相同。
根據(jù)上述數(shù)制的三大要素,數(shù)制可以有無窮無盡的種類。
2.2混數(shù)及混數(shù)進(jìn)制當(dāng)數(shù)元集Zi中,含數(shù)元0時(shí),該相應(yīng)數(shù)制被稱為“含0數(shù)制”。對于進(jìn)制,則稱為“含0進(jìn)制”;當(dāng)數(shù)元集Zi中,不含數(shù)元0時(shí),該相應(yīng)數(shù)制被稱為“不含0數(shù)制”。對于進(jìn)制,則稱為“不含0進(jìn)制”。
當(dāng)數(shù)元集Zi中,既有正數(shù)元,又有負(fù)數(shù)元時(shí),相應(yīng)數(shù)制被稱為“混數(shù)數(shù)制”。對于進(jìn)制,則稱為“混數(shù)進(jìn)制”;混數(shù)數(shù)制中的數(shù),稱為“混數(shù)”。“混數(shù)”中既有正數(shù)元又有負(fù)數(shù)元的數(shù),稱“純混數(shù)”。(數(shù)元0為中性數(shù)元。)在《數(shù)制理論》中,當(dāng)數(shù)元集Zi的正負(fù)數(shù)元是相反數(shù)時(shí),相應(yīng)數(shù)制稱為“對稱數(shù)制”。對于Q進(jìn)制,則稱為“對稱Q進(jìn)制”。簡稱為“稱Q進(jìn)制”;當(dāng)數(shù)元集的正負(fù)數(shù)元不是相反數(shù)時(shí),相應(yīng)數(shù)制稱為“不對稱數(shù)制”。對于Q進(jìn)制,則稱為“不對稱Q進(jìn)制”;當(dāng)數(shù)元集的正負(fù)數(shù)元不全是相反數(shù)時(shí),相應(yīng)數(shù)制稱為“偏對稱數(shù)制”。對于Q進(jìn)制,則稱為“偏對稱Q進(jìn)制”。簡稱為“偏Q進(jìn)制”。
當(dāng)數(shù)元集Zi中,全部數(shù)元為連續(xù)整數(shù)成為“整數(shù)段”時(shí),該相應(yīng)數(shù)制被稱為“整數(shù)段數(shù)制”。對于進(jìn)制,則稱為“整數(shù)段進(jìn)制”。恩格斯指出“零比其他一切數(shù)都有更豐富的內(nèi)容。”鑒于“0”的這種特殊重要性,在《數(shù)制理論》中,含0整數(shù)段去掉0時(shí),仍作為一種特殊的整數(shù)段。
在任一個(gè)具有整數(shù)段數(shù)元集的Q進(jìn)制數(shù)制中,當(dāng)P=Q時(shí),自然數(shù)在該數(shù)制中可以連續(xù)唯一的形態(tài)表達(dá),稱為“連續(xù)數(shù)制”,又稱“普通數(shù)制”;對于Q進(jìn)制,則稱為“普通Q進(jìn)制”。簡稱為“普Q進(jìn)制”;(本文中除特別注明外,“普Q進(jìn)制”特指不對稱的“普Q進(jìn)制”。下同。)當(dāng)P>Q時(shí),自然數(shù)在該數(shù)制中可以連續(xù),但有時(shí)以多種形態(tài)表達(dá),稱為“重復(fù)數(shù)制”,或“增強(qiáng)數(shù)制”。對于Q進(jìn)制,又稱為“增強(qiáng)Q進(jìn)制”,簡稱為“增Q進(jìn)制”;當(dāng)P<Q時(shí),自然數(shù)在該數(shù)制中只能斷續(xù)的形態(tài)表達(dá),稱為“斷續(xù)數(shù)制”,或“減弱數(shù)制”。對于Q進(jìn)制,又稱為“減弱Q進(jìn)制”,簡稱為“減Q進(jìn)制”。
在《數(shù)制理論》中建立了“代數(shù)數(shù)制系統(tǒng)”。一個(gè)數(shù)制的名稱采用“Zi Li”。對Q進(jìn)制,則為ZiQi;單一數(shù)制時(shí),則為ZLi;單一數(shù)制中聯(lián)合Q進(jìn)制時(shí),則為ZQi。單一數(shù)制中Q進(jìn)制時(shí),則為ZQ。這里Q的具體數(shù)值以中文小寫數(shù)來表示。
對于含0的普通Q進(jìn)制,Z={0,1,…,(Q-1)}。故ZQ={0,1,…,(Q-1)}Q,Q為>1的整數(shù),稱為“含0普通Q進(jìn)制”。符號表示為{含0,Q};對于不含0的{1,2,…,Q}Q,Q為自然數(shù),稱為“不含0普通Q進(jìn)制”。符號表示為{不含0,Q}。含0和不含0的普通Q進(jìn)制,合起來統(tǒng)稱為“普通Q進(jìn)制”,Q為自然數(shù)。符號表示為{Q}。當(dāng)不致誤解時(shí),“含0普通Q進(jìn)制”亦可稱為“普通Q進(jìn)制”,亦以符號{Q}來表示。故可以符號{二}及{十}來表示普通二進(jìn)制及普通十進(jìn)制。
本文中的混數(shù)進(jìn)制主要為以下幾類增Q進(jìn)制中重要的一種是,對于含0的{0,±1,…,±(Q-1)}Q進(jìn)制,Q為>1的整數(shù),稱為“含0混Q進(jìn)制”。符號表示為{含0,Q*};對于不含0的{±1,±2,…,±Q}Q進(jìn)制,Q為自然數(shù),稱為“不含0混Q進(jìn)制”。符號表示為{不含0,Q*}。含0和不含0的混Q進(jìn)制,合起來統(tǒng)稱為“混Q進(jìn)制”,Q為自然數(shù)。符號表示為{Q*}。當(dāng)不致誤解時(shí),“含0混Q進(jìn)制”亦可稱為“混Q進(jìn)制”,亦以符號{Q*}來表示。在《數(shù)制理論》中,{十*}的名稱是“單一基數(shù)P=19,含0,整數(shù)段,對稱的十進(jìn)制”??蓪憺閧十九,含0,整數(shù)段,對稱}十進(jìn)制,或者寫為{0,±1,±2,…,±9}十進(jìn)制。一般情況下,進(jìn)一步符號表示為{十*},稱為“混十進(jìn)制”;{二*}的名稱是“單一基數(shù)P=3,含0,整數(shù)段,對稱的二進(jìn)制”。可寫為{三,含0,整數(shù)段,對稱}二進(jìn)制,或者寫為{0,±1}二進(jìn)制。一般情況下,進(jìn)一步符號表示為{二*},稱為“混二進(jìn)制”;增Q進(jìn)制中,特別重要的一種是P=Q+1>Q。Q為自然數(shù)。(本文中除特別注明外,“增Q進(jìn)制”特指這一種。下同。)對于含0的{0,±1,…,±Q/2}Q進(jìn)制,Q為正偶數(shù),稱為“含0增Q進(jìn)制”。符號表示為{含0,Q△};對于不含0的{±1,±2,…,±(Q+1)/2}Q進(jìn)制,Q為正奇數(shù),稱為“不含0增Q進(jìn)制”。符號表示為{不含0,Q△}。含0和不含0的增Q進(jìn)制,合起來統(tǒng)稱為“增Q進(jìn)制”,Q為自然數(shù)。符號表示為{Q△}。當(dāng)不致誤解時(shí),“含0增Q進(jìn)制”亦可稱為“增Q進(jìn)制”,亦以符號{Q△}來表示。在《數(shù)制理論》中,{十△}的名稱是“單一基數(shù)P=11,含0,整數(shù)段,對稱的十進(jìn)制”??蓪憺閧十一,含0,整數(shù)段,對稱}十進(jìn)制,或者寫為{0,±1,±2,…,±5}十進(jìn)制。一般情況下,進(jìn)一步符號表示為{十△},稱為“增十進(jìn)制”;{二△}的名稱是“單一基數(shù)P=3,含0,整數(shù)段,對稱的二進(jìn)制”。可寫為{三,含0,整數(shù)段,對稱}二進(jìn)制,或者寫為{0,±1}二進(jìn)制。一般情況下,進(jìn)一步符號表示為{二△},稱為“增二進(jìn)制”;
在“普Q進(jìn)制”的偏Q進(jìn)制中,特別重要的是在其“數(shù)元集”中,僅有一個(gè)絕對值最大的正數(shù)元沒有相應(yīng)的負(fù)數(shù)元,其余均為0或?qū)ΨQ數(shù)元的一種。Q為自然數(shù)。本文中,偏Q進(jìn)制僅指這一種。對于含0的{0,±1,…,±(Q/2-1),Q/2}Q進(jìn)制,Q為正偶數(shù),稱為“含0偏Q進(jìn)制”。符號表示為{含0,Q’};對于不含0的{±1,±2,…,±(Q-1)/2,(Q+1)/2}Q,Q為正奇數(shù),稱為“不含0偏Q進(jìn)制”。符號表示為{不含0,Q’}。含0和不含0的偏Q進(jìn)制,合起來統(tǒng)稱為“偏Q進(jìn)制”,Q為自然數(shù)。符號表示為{Q’}。當(dāng)不致誤解時(shí),“含0偏Q進(jìn)制”亦可稱為“偏Q進(jìn)制”,亦以符號{Q’}來表示。故可以符號{十’}及{二’}來表示“偏十進(jìn)制”及“偏二進(jìn)制”。在《數(shù)制理論》中,{十’}的名稱是“單一基數(shù)P=10,含0,整數(shù)段,偏對稱的十進(jìn)制”??蓪憺閧十,含0,整數(shù)段,偏對稱}十進(jìn)制,或者寫為{0,±1,±2,…,±4,5}十進(jìn)制。一般情況下,進(jìn)一步符號表示為{十’},稱為《偏十進(jìn)制》;{二’}的名稱是“單一基數(shù)P=2,含0,整數(shù)段,偏對稱的二進(jìn)制”??蓪憺閧二,含0,整數(shù)段,偏對稱}二進(jìn)制,或者寫為{0,1}二進(jìn)制。一般情況下,進(jìn)一步符號表示為{二’},稱為《偏二進(jìn)制》。
在“普Q進(jìn)制”的稱Q進(jìn)制中,對于普通對稱含0的{0,±1,…,±(Q-1)/2}Q進(jìn)制,Q為>1的奇數(shù),稱為“含0普通對稱Q進(jìn)制”。符號表示為{含0,Q”};對不含0的{±1,…,±Q/2}Q進(jìn)制,Q為正偶數(shù),稱為“不含0普通對稱Q進(jìn)制”。符號表示為{不含0,Q”}。含0和不含0的普通對稱Q進(jìn)制,合起來統(tǒng)稱為“普通對稱Q進(jìn)制”,簡稱為“稱Q進(jìn)制”。Q為>1的整數(shù)。符號表示為{Q”}。當(dāng)不致誤解時(shí),“含0普通對稱Q進(jìn)制”,亦可稱為“稱Q進(jìn)制”,亦以符號{Q”}來表示。
2.3混數(shù)編碼以混數(shù)來編碼的方法,稱為“混數(shù)編碼”。
當(dāng)A進(jìn)制數(shù)元以B進(jìn)制數(shù)等來編碼時(shí),A進(jìn)制數(shù)按位排列成相應(yīng)的B進(jìn)制數(shù)等。這稱為“以B進(jìn)制數(shù)等編碼的A進(jìn)制數(shù)”,簡稱為“B編碼的A數(shù)”,或“編碼B數(shù)”,或“編碼數(shù)”。例,{十}328={二}101001000;其“編碼{二}數(shù)”為0011,0010,1000。如上述“編碼{0,±1}二進(jìn)制數(shù)”,即指以{0,±1}二進(jìn)制(其特況為普通二進(jìn)制)數(shù)來編碼的“編碼數(shù)”。所謂“編碼B數(shù)”的運(yùn)算,即為“編碼B進(jìn)制”運(yùn)算。這時(shí),A進(jìn)制數(shù)的位與位間為A進(jìn)制運(yùn)算,但每位中則為B進(jìn)制運(yùn)算。A進(jìn)制數(shù)元以B進(jìn)制數(shù)等來編碼時(shí),所需B進(jìn)制數(shù)的最多位數(shù),稱為“碼長”。固定的“碼長”,稱為“定碼長”;如最高位0不加以標(biāo)明,使之成為“空位0”時(shí),相應(yīng)“碼長”是變化的,稱為“變碼長”。
混數(shù)進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法,所述運(yùn)算數(shù)是混數(shù)進(jìn)制數(shù)??梢圆痪幋a;可以混數(shù)進(jìn)制數(shù)編碼;也可以全一碼來編碼,即將各個(gè)增Q進(jìn)制數(shù)的每一位數(shù)S,都以|S|個(gè)1從最低位順序至高位排列來對應(yīng),其余高位均為0,總位數(shù)則為Q或(Q-1)或Q/2或(Q+1)/2位;同時(shí),將S的數(shù)符,即表示該位的數(shù)為正或負(fù),作為相應(yīng)全一碼中每一位上的數(shù)符;當(dāng)采用全一碼來編碼混數(shù)進(jìn)制數(shù)時(shí),n個(gè)數(shù)加法僅為n個(gè)數(shù)中1或1的不重復(fù)排列,稱為“排1”;其全一碼編譯可以定碼長或變碼長。
3.《混進(jìn)方法HJF》四則運(yùn)算。
采用混數(shù)進(jìn)制和《進(jìn)位行方法》來進(jìn)行有理數(shù)運(yùn)算的方法,稱為《混數(shù)進(jìn)制、進(jìn)位行方法》,簡稱為《混進(jìn)方法HJF》。采用混Q進(jìn)制和《進(jìn)位行方法》來進(jìn)行有理數(shù)運(yùn)算的方法,稱為《混Q進(jìn)制、進(jìn)位行方法》;當(dāng)不致誤解時(shí),亦可簡稱為《混進(jìn)方法HJF》。設(shè)K個(gè)普通Q進(jìn)制數(shù)參予加減運(yùn)算,K為≥2的整數(shù),Q為自然數(shù);將這些普通Q進(jìn)制數(shù)的正負(fù)符號,分配到相應(yīng)這些數(shù)的每一位上去,即成為混Q進(jìn)制數(shù);采用增Q進(jìn)制和《進(jìn)位行方法》來進(jìn)行有理數(shù)運(yùn)算的方法,稱為《增Q進(jìn)制、進(jìn)位行方法》;簡稱為《增進(jìn)方法ZJF》。設(shè)K個(gè)普通Q進(jìn)制數(shù)參予加減運(yùn)算,K為≥2的整數(shù),Q為自然數(shù);將這些數(shù)轉(zhuǎn)換成K或2K個(gè)增Q進(jìn)制數(shù);(一)以含0的{Q}→{Q△}數(shù)轉(zhuǎn)換為例{Q}={0,1,…,(Q-1)}Q, Q為>1的整數(shù)……①{Q△}={0,±1,…,±Q/2}Q。
Q為正偶數(shù)……②由①及②可知,Q為≥2的偶數(shù)。
∵Q≥2,2Q≥2+Q,Q≥Q/2+1,∴(Q-1)≥Q/2當(dāng)Q=2時(shí),(Q-1)=Q/2。即以絕對值而言,{二}最大數(shù)元所表示的{二}數(shù),等于{二△}最大數(shù)元所表示的{二}數(shù);當(dāng)Q為>2的偶數(shù)時(shí),(Q-1)>Q/2。即以絕對值而言,{Q}最大數(shù)元所表示的{Q}數(shù),總是大于{Q△}最大數(shù)元所表示的{Q}數(shù)。這時(shí){Q}數(shù)元(Q-1)={Q△}11。即,{Q}數(shù)元(Q-1)轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的{Q△}數(shù),為兩位數(shù)11。其中,高位實(shí)質(zhì)是“進(jìn)位”。由此可知,一個(gè){Q}數(shù)轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的{Q△}數(shù),當(dāng)Q=2時(shí),仍為一個(gè){Q△}數(shù);當(dāng)Q為>2的偶數(shù)時(shí),可統(tǒng)一成為二個(gè){Q△}數(shù)之和。其中一個(gè){Q△}數(shù),即為“進(jìn)位行”數(shù)。K個(gè){Q}數(shù)轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的{Q△}數(shù),當(dāng)Q=2時(shí),仍為K個(gè){Q△}數(shù);當(dāng)Q為>2的偶數(shù)時(shí),可統(tǒng)一成為2K個(gè){Q△}數(shù)之和。(二)對于不含0的情況,Q為正奇數(shù)??梢宰C明,有類似的結(jié)論。(三)如已經(jīng)將一個(gè){Q}數(shù),另行轉(zhuǎn)換為一個(gè){Q△}數(shù),則K個(gè){Q}數(shù)轉(zhuǎn)換為K個(gè){Q△}數(shù)。
本發(fā)明中,采用2K個(gè)增Q進(jìn)制數(shù)來展示;采用偏Q進(jìn)制和《進(jìn)位行方法》來進(jìn)行有理數(shù)運(yùn)算的方法,稱為《偏Q進(jìn)制、進(jìn)位行方法》,簡稱為《偏進(jìn)方法PJF》。設(shè)K個(gè)普通Q進(jìn)制數(shù)參予加減運(yùn)算,K為≥2的整數(shù),Q為自然數(shù)??梢宰C明,與增Q進(jìn)制一樣有類似的結(jié)論,將這些數(shù)轉(zhuǎn)換成K或2K個(gè)偏Q進(jìn)制數(shù)。本發(fā)明中,采用2K個(gè)偏Q進(jìn)制數(shù)來展示;采用稱Q進(jìn)制和《進(jìn)位行方法》來進(jìn)行有理數(shù)運(yùn)算的方法,稱為《稱Q進(jìn)制、進(jìn)位行方法》;簡稱為《稱進(jìn)方法CJF》。當(dāng)用于計(jì)算機(jī),特別是電子計(jì)算機(jī)中時(shí),可采用{三”}稱三進(jìn)制等的《稱進(jìn)方法CJF》。設(shè)K個(gè)普通Q進(jìn)制數(shù)參予加減運(yùn)算,K為≥2的整數(shù),稱Q進(jìn)制中,Q為>1的整數(shù)??梢宰C明,與增Q進(jìn)制一樣有類似的結(jié)論,將這些數(shù)轉(zhuǎn)換成K或2K個(gè)稱Q進(jìn)制數(shù)。本發(fā)明中,采用2K個(gè)稱Q進(jìn)制數(shù)來展示;混數(shù)進(jìn)制運(yùn)算可為前述方案之一;本發(fā)明中,《混進(jìn)方法HJF》采用方案一,以筆算工程來展示;可采用前述第一種或第二種步驟。這里,采用第二種步驟。
3.1{十*}的加法例123+456=427式中求得和為573。當(dāng)需要轉(zhuǎn)化為普通十進(jìn)制{十}數(shù)時(shí),和為427。一般來說,所求和573不必轉(zhuǎn)化(特別是作為計(jì)算過程中間結(jié)果時(shí))。確需轉(zhuǎn)化時(shí),方法見4.1轉(zhuǎn)換法則。
3.2{十*}的減法例123-456=123+456=339例112+56-32-85+67-46=723.3{十*}的乘法例238×89=125023.4{十*}的除法例5728÷23=249……1
3.5{十△}的加法例123+344=433式中求得和為433。當(dāng)需要轉(zhuǎn)化為普通十進(jìn)制{十}數(shù)時(shí),和為427。一般來說,所求和433不必轉(zhuǎn)化(特別是作為計(jì)算過程中間結(jié)果時(shí))。確需轉(zhuǎn)化時(shí),方法見4.1轉(zhuǎn)換法則。
3.6{十△}的減法例123-344=123+344=341例112+144-32-125+133-54=1323.7{十△}的乘法例242×131=115023.8{十△}的除法例14332÷23=251……13.9{十’}的加法例123+344=433式中求得和為433。當(dāng)需要轉(zhuǎn)化為普通十進(jìn)制{十}數(shù)時(shí),和為427。一般來說,所求和433不必轉(zhuǎn)化(特別是作為計(jì)算過程中間結(jié)果時(shí))。確需轉(zhuǎn)化時(shí),方法見4.1轉(zhuǎn)換法則。
3.10{十’}的減法例123-344=123+344=341例112+144-32-125+133-54=1323.11{十’}的乘法例242×131=115023.12{十’}的除法例14332÷23=251……13.13{三”}的加法例1011+1100=11111 求得和為11111。當(dāng)需要轉(zhuǎn)化為普通十進(jìn)制{十}數(shù)時(shí),和為43。一般來說,所求和11111不必轉(zhuǎn)化(特別是作為計(jì)算過程中間結(jié)果時(shí))。確需轉(zhuǎn)化時(shí),方法見4.1轉(zhuǎn)換法則。
3.14{三”}的減法例1011-1100=01113.15{三”}的乘法例1011×1100=11011003.16{三”}的除法例{十}25÷18=1…7 1011÷1100=1…1113.17四則運(yùn)算的特點(diǎn)①加減法合并為加法。首先減法化為加法來運(yùn)算。這一來實(shí)際計(jì)算中,加減就合并為加法了。這就消除了通常連加減的困難。這是由于混數(shù)的特性所決定。這樣就產(chǎn)生了“約混”技術(shù)。這是指同一位上的n個(gè)數(shù)求和時(shí),若和數(shù)為零,則這n個(gè)數(shù)可以消去。“約混”也可稱為“對消”或“對沖”。即,“劃Q”中m=0時(shí),稱為“對沖”。在算式中,該位上的這n個(gè)數(shù),可以斜線劃去,不再參加以后的運(yùn)算。在實(shí)際運(yùn)算中,采用先“對沖”、后“劃Q”、再“累加”來獲得混數(shù)的結(jié)果。
②乘除方法簡單。由于采用混數(shù)可使除法中的“減”過程變?yōu)椤凹印边^程。為了去掉“減”過程的思路,進(jìn)一步還可以令被除數(shù)變號。然后,整個(gè)“減”過程完全變成“加”過程。這可使整個(gè)運(yùn)算的復(fù)雜性進(jìn)一步降低。以后,我們的除法就以此來進(jìn)行。應(yīng)該注意,此時(shí)若出現(xiàn)余數(shù),則要將該余數(shù)變號后,才是最終運(yùn)算結(jié)果的余數(shù)。
同時(shí),除法中的試商過程,可變?yōu)橛柘仍O(shè)定的迭代過程。
③四則運(yùn)算加減乘除,均可全面地顯著提高運(yùn)算速度。
④加強(qiáng)運(yùn)算正確性的保障,在“筆算工程”中,大大降低筆算的出錯率。
4.《混十進(jìn)制》{十*}與《普通十進(jìn)制》{十}的關(guān)系。
4.1{十*}與{十}數(shù)的轉(zhuǎn)換法這里指整數(shù)的情況,例如{十*}382296={十}221716。{十}數(shù)本身即為{十*}數(shù)的一種特況,故{十}數(shù)不經(jīng)轉(zhuǎn)換即為{十*}數(shù),只要將這些普通Q進(jìn)制數(shù)的正負(fù)符號,分配到相應(yīng)這些數(shù)的每一位上去。
{十*}數(shù)轉(zhuǎn)換成{十}數(shù)。方法有幾種一種是將{十*}數(shù)變?yōu)橐徽回?fù)的二個(gè){十}數(shù)求和。這有好多方式。其中,典型的是將該{十*}數(shù)中各正數(shù)字位及0位作為一正{十}數(shù),而將各負(fù)數(shù)字位作為一負(fù){十}數(shù)。例{十*}382296={十}302006-80290=221716。再一種是在該數(shù)的各位上,使正數(shù)不變;負(fù)數(shù)變?yōu)槠浣^對值對10取“補(bǔ)”數(shù),同時(shí)在相鄰的高位減1(即加1)。另一種方法是在該數(shù)的各位上,連續(xù)正數(shù)字(或0)的數(shù)字段照寫不變。如3×2××6。但,當(dāng)其不在{十*}數(shù)末尾(個(gè)位)時(shí),則最低位加1;連續(xù)負(fù)數(shù)字的數(shù)字段,則使負(fù)數(shù)字變?yōu)槠浣^對值對9取“補(bǔ)”數(shù),如×1×70×。然后,在其最低位加1。這樣,求得結(jié)果為221716,即為相應(yīng){十}數(shù)。
當(dāng)需轉(zhuǎn)換的{十*}數(shù)首位為負(fù),即該數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí),則將該數(shù)的相反數(shù)轉(zhuǎn)換成{十}數(shù),然后取此{(lán)十}數(shù)的符號為負(fù)即可。
表一4.2{十*}與{十}對照表及其說明(見表一)說明①表一中0+、0-分別為從正負(fù)方向趨近于0所獲得的0。
②表一中 表示形式為“連續(xù)非負(fù)整數(shù)個(gè)9”的全體的縮寫。即 ,可為0個(gè)9,可為1個(gè)9,可為99,可為999,…等形式。這種形式表示的集合,稱為“連集”。顯然,“連集”為無限集。設(shè)E為整數(shù),則 為E的“連集”,簡稱為“連E”。讀作“E點(diǎn)”。以“連集”形式表示的一組無窮個(gè)數(shù),稱為“連集數(shù)組”或“連集組數(shù)”。
③0=0‾=0·,]]>由數(shù)10的二種表達(dá)形式可知。因此0‾=0=0·=0‾·.]]>④在{十*}數(shù)系統(tǒng)中,“連集”形式有且僅有 四種。由于0·=0‾·,]]>故“連集”形式有且僅有 三種,亦可寫為 三種。
4.3{十*}與{十}關(guān)系分析{十}數(shù)是{十*}數(shù)的一部分,{十}數(shù)集是{十*}數(shù)集的真子集;{十*}數(shù){十}數(shù),即{十*}數(shù)對{十}數(shù)有真包含關(guān)系。{十}數(shù)與{十*}數(shù)的關(guān)系是“一多對應(yīng)”關(guān)系,而不是“一一對應(yīng)”關(guān)系。正由于此,{十*}就獲得了多樣處理的靈活性。這是{十*}運(yùn)算中多樣性、快速性的原因。從這一點(diǎn)來說,{十*}具有較強(qiáng)的功能。
{十}中P=Q,因而在該數(shù)制中,自然數(shù)是連續(xù)唯一形態(tài)表達(dá)。它沒有這種多樣性,也缺少了這種相應(yīng)的靈活性。{十*}中P>Q,因而在該數(shù)制中自然數(shù)會出現(xiàn)多種形態(tài)表達(dá)。這正是該數(shù)制靈活性所在,它使運(yùn)算得以簡便快捷。也可以說{十*}是以多樣性來換取了靈活性。有了它,才有了《混進(jìn)方法HJF》,才有了“筆算工程”的新技術(shù)方案。有了它,也才有了處理器及其相應(yīng)電子計(jì)算機(jī)新技術(shù)方案。
{十*}數(shù)轉(zhuǎn)換為{十}數(shù),只能化為相應(yīng)唯一的一個(gè)數(shù)。這是因?yàn)?,{十*}數(shù)可經(jīng){十}數(shù)加減直接獲得,而{十}數(shù)加減運(yùn)算后的結(jié)果是唯一的。反之,{十}數(shù)也只能化為相應(yīng)唯一的一組{十*}“連集組數(shù)”。所以,這種{十}數(shù)的“一”與{十*}“連集組數(shù)”的“一”組,二者是“一一對應(yīng)”關(guān)系。由此,可建立一種{十*}數(shù)與{十}數(shù)的互為映射關(guān)系。由于變換是集到自身上的對應(yīng),所以{十}與{十*}數(shù)是“一一變換”。對于運(yùn)算系統(tǒng)來說,{十}與{十*}數(shù)系統(tǒng)是“自同構(gòu)”。相應(yīng){十}數(shù)的各種運(yùn)算性質(zhì),亦在{十*}數(shù)系統(tǒng)中成立。
應(yīng)當(dāng)指出,顯然,上述對{十}與{十*}的分析,完全相應(yīng)于{Q}與{Q*}的分析,因?yàn)閧十}與{Q}是同構(gòu)的。由此可知①{Q}數(shù)是{Q*}數(shù)的一部份,{Q}數(shù)集是{Q*}數(shù)集的真子集。{Q*}數(shù){Q}數(shù),即{Q*}數(shù)對于{Q}數(shù)有真包含關(guān)系。②{Q}數(shù)與{Q*}數(shù)的關(guān)系是“一多對應(yīng)”,而不是“一一對應(yīng)”。③同時(shí),{Q}中的“一”個(gè)數(shù)與相應(yīng)的{Q*}中的“一”組“連集組數(shù)”,二者之間是“一一對應(yīng)”關(guān)系。④{Q}與{Q*}數(shù)系統(tǒng)是“自同構(gòu)”。相應(yīng){Q}數(shù)系統(tǒng)的各種運(yùn)算性質(zhì),亦在{Q*}數(shù)系統(tǒng)中成立。
以下為增Q進(jìn)制的情況4.《增十進(jìn)制》{十△}與《普通十進(jìn)制》{十}的關(guān)系。
4.1{十△}與{十}數(shù)的轉(zhuǎn)換法這里指整數(shù)的情況,例如{十△}222324={十}221716。{十}數(shù)需經(jīng)表一轉(zhuǎn)換成為{十△}數(shù)。{十△}數(shù)轉(zhuǎn)換成{十}數(shù)。方法有幾種一種是將{十△}數(shù)變?yōu)橐徽回?fù)的二個(gè){十}數(shù)求和。這有好多方式。其中,典型的是將該{十△}數(shù)中各正數(shù)字位及0位作為一正{十}數(shù),而將各負(fù)數(shù)字位作為一負(fù){十}數(shù)。例{十△}222324={十}222020-304=221716。再一種是在該數(shù)的各位上,使正數(shù)不變;負(fù)數(shù)變?yōu)槠浣^對值對10取“補(bǔ)”數(shù),同時(shí)在相鄰的高位減1(即加1)。另一種方法是在該數(shù)的各位上,連續(xù)正數(shù)字(或0)的數(shù)字段照寫不變。如222×2×。但,當(dāng)其不在{十△}數(shù)末尾(個(gè)位)時(shí),則最低位加1;連續(xù)負(fù)數(shù)字的數(shù)字段,則使負(fù)數(shù)字變?yōu)槠浣^對值對9取“補(bǔ)”數(shù),如×××6×5。然后,在其最低位加1。這樣,求得結(jié)果為221716,即為相應(yīng){十}數(shù)。
當(dāng)需轉(zhuǎn)換的{十△}數(shù)首位為負(fù),即該數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí),則將該數(shù)的相反數(shù)轉(zhuǎn)換成{十}數(shù),然后取此{(lán)十}數(shù)的符號為負(fù)即可。
4.2{十△}與{十}對照表及其說明(見表一)說明①{十}數(shù)相應(yīng)的{十△}數(shù)可有重復(fù)數(shù),也可沒有;②凡{十△}數(shù)中有數(shù)字5(正或負(fù))出現(xiàn)時(shí),則相應(yīng)的{十}數(shù)有重復(fù)的{十△}數(shù)。此時(shí),該相應(yīng)的{十}數(shù)中可有數(shù)字5,也可沒有。{十△}數(shù)對{十}數(shù)的重復(fù)數(shù),以5=15及5=15為“主重復(fù)”,即其余重復(fù)數(shù)均可由此推出。
③實(shí)質(zhì)上,由于{十△}的數(shù)元集中既含有5,又含有5才產(chǎn)生相應(yīng)的重復(fù)數(shù)。換句話說,只要{十△}的數(shù)元集中去掉5或5,則不會產(chǎn)生重復(fù)數(shù)。這時(shí),相應(yīng)這種無重復(fù)數(shù)的數(shù)制,稱為Q=10的偏Q進(jìn)制{Q’}。
4.3{十△}與{十}關(guān)系分析
表一 {十△}與{十}數(shù)對照表{十}數(shù)與{十△}數(shù)的關(guān)系是部分“一多對應(yīng)”關(guān)系,而不是“一一對應(yīng)”關(guān)系。正由于此,{十△}就獲得了部分多樣處理的靈活性。這是{十△}運(yùn)算中部分多樣性、快速性的原因。從這一點(diǎn)來說,{十△}具有較強(qiáng)的功能。{十△}數(shù)轉(zhuǎn)換為{十}數(shù),只能化為相應(yīng)唯一的一個(gè)數(shù)。這是因?yàn)?,{十△}數(shù)可經(jīng){十}數(shù)加減直接獲得,而{十}數(shù)加減運(yùn)算后的結(jié)果是唯一的。反之,{十}數(shù)也只能化為相應(yīng)唯一的一組{十△}數(shù)。所以,這種{十}數(shù)的“一”與{十△}數(shù)的“一”組,二者是“一一對應(yīng)”關(guān)系。由此,可建立一種{十△}數(shù)與{十}數(shù)的互為映射關(guān)系。對于運(yùn)算系統(tǒng)來說,{十}與{十△}數(shù)系統(tǒng)“同構(gòu)”。相應(yīng){十}數(shù)的各種基本運(yùn)算性質(zhì),亦在{十△}數(shù)系統(tǒng)中成立。
{十△}中P>Q,因而在該數(shù)制中自然數(shù)有時(shí)會出現(xiàn)多種形態(tài)表達(dá)。這正是該數(shù)制靈活性所在,它使運(yùn)算得以簡便快捷。也可以說{十△}是以部分多樣性來換取了部分靈活性。{十}中P=Q,因而在該數(shù)制中,自然數(shù)是連續(xù)唯一形態(tài)表達(dá)。它沒有這種多樣性,也缺少了這種相應(yīng)的靈活性。
應(yīng)當(dāng)指出,顯然,上述對{十}與{十△}的分析,完全相應(yīng)于{Q}與{Q△}的分析,因?yàn)閧十}與{Q}是同構(gòu)的。由此可知①{Q}數(shù)與{Q△}數(shù)的關(guān)系是部分“一多對應(yīng)”,而不是“一一對應(yīng)”。②同時(shí),{Q}中的“一”個(gè)數(shù)與相應(yīng)的{Q△}中的“一”組數(shù),二者之間是“一一對應(yīng)”關(guān)系。③{Q}與{Q△}數(shù)系統(tǒng)“同構(gòu)”。相應(yīng){Q}數(shù)系統(tǒng)的各種基本運(yùn)算性質(zhì),亦在{Q△}數(shù)系統(tǒng)中成立。
以下為偏Q進(jìn)制的情況4.《偏十進(jìn)制》{十’}與《普通十進(jìn)制》{十}的關(guān)系。
4.1{十’}與{十}數(shù)的轉(zhuǎn)換法這里指整數(shù)的情況,例如{十’}222324={十}221716。{十}數(shù)需經(jīng)表一轉(zhuǎn)換成為{十’}數(shù)。{十’}數(shù)轉(zhuǎn)換成{十}數(shù)。方法有幾種一種是將{十’}數(shù)變?yōu)橐徽回?fù)的二個(gè){十}數(shù)求和。這有好多方式。其中,典型的是將該{十’}數(shù)中各正數(shù)字位及0位作為一正{十}數(shù),而將各負(fù)數(shù)字位作為一負(fù){十}數(shù)。例{十’}222324={十}222020-304=221716。再一種是在該數(shù)的各位上,使正數(shù)不變;負(fù)數(shù)變?yōu)槠浣^對值對10取“補(bǔ)”數(shù),同時(shí)在相鄰的高位減1(即加1)。另一種方法是在該數(shù)的各位上,連續(xù)正數(shù)字(或0)的數(shù)字段照寫不變。如222×2×。但,當(dāng)其不在{十’}數(shù)末尾(個(gè)位)時(shí),則最低位加1;連續(xù)負(fù)數(shù)字的數(shù)字段,則使負(fù)數(shù)字變?yōu)槠浣^對值對9取“補(bǔ)”數(shù),如×××6×5。然后,在其最低位加1。這樣,求得結(jié)果為221716,即為相應(yīng){十}數(shù)。
當(dāng)需轉(zhuǎn)換的{十’}數(shù)首位為負(fù),即該數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí),則將該數(shù)的相反數(shù)轉(zhuǎn)換成{十}數(shù),然后取此{(lán)十}數(shù)的符號為負(fù)即可。
4.2{十’}與{十}對照表及其說明(見表一)說明表一中相應(yīng)這種無重復(fù)數(shù)的數(shù)制,稱為偏Q進(jìn)制{Q’},Q=10的情況。
4.3{十’}與{十}關(guān)系分析{十’}數(shù)與{十}數(shù)的關(guān)系是“一一對應(yīng)”關(guān)系。{十’}數(shù)轉(zhuǎn)換為{十}數(shù),只
表一 {十’}與{十}數(shù)對照表能化為相應(yīng)唯一的一個(gè)數(shù)。這是因?yàn)?,{十’}數(shù)可經(jīng){十}數(shù)加減直接獲得,而{十}數(shù)加減運(yùn)算后的結(jié)果是唯一的。反之,{十}數(shù)也只能化為相應(yīng)唯一的{十’}數(shù)。由此,可建立一種{十’}數(shù)與{十}數(shù)的互為映射關(guān)系。對于運(yùn)算系統(tǒng)來說,{十}與{十’}數(shù)系統(tǒng)“同構(gòu)”。相應(yīng){十}數(shù)的各種基本運(yùn)算性質(zhì),亦在{十’}數(shù)系統(tǒng)中成立。{十’}中P=Q,因而在該數(shù)制中,自然數(shù)是連續(xù)唯一形態(tài)表達(dá)。它沒有多樣性,也缺少了相應(yīng)的靈活性。
應(yīng)當(dāng)指出,顯然,上述對{十}與{十’}的分析,完全相應(yīng)于{Q}與{Q’}的分析,因?yàn)閧十}與{Q}同構(gòu)。由此可知①{Q}數(shù)與{Q’}數(shù)的關(guān)系是“一一對應(yīng)”。②{Q}與{Q’}數(shù)系統(tǒng)“同構(gòu)”。相應(yīng){Q}數(shù)系統(tǒng)的各種基本運(yùn)算性質(zhì),亦在{Q’}數(shù)系統(tǒng)中成立。
以下為稱Q進(jìn)制的情況4.《稱三進(jìn)制》{三”}與《普通十進(jìn)制》{十}的關(guān)系。
4.1{三”}與{十}數(shù)的轉(zhuǎn)換法這里指整數(shù)的情況。首先,{十}數(shù)轉(zhuǎn)換成{Q}數(shù)。當(dāng)Q=3時(shí),{十}數(shù)轉(zhuǎn)換成{三}數(shù)。例{十}25={三}221。
表一 {十}、{三}及{三”}數(shù)對照表轉(zhuǎn)換方法是將{十}數(shù)連續(xù)除以Q,直至商為0時(shí)停止。這樣,每次均出現(xiàn)一位余數(shù)。從最后一位余數(shù)起,依式中位置從低到高,如箭頭所示列出各位余數(shù)。則所獲數(shù)即為需轉(zhuǎn)換結(jié)果{Q}數(shù)。然后,將{Q}數(shù)轉(zhuǎn)換成{Q”}數(shù)。當(dāng)Q=3時(shí),照表一將{三}數(shù)編碼轉(zhuǎn)換成{三”}數(shù);再將{三”}數(shù)轉(zhuǎn)換成{十}數(shù)。例如{三”}1011={十}25。首先將{Q”}數(shù)轉(zhuǎn)換成{Q}數(shù)。當(dāng)Q=3時(shí),{三”}數(shù)轉(zhuǎn)換成{三}數(shù)。例如{三”}1011={三}221。這可以從表一獲得。然后,再將{Q}數(shù)轉(zhuǎn)換成{十}數(shù)。這可以將{Q}數(shù)各位乘以該位上的權(quán)值,再求和獲得。當(dāng)Q=3時(shí),{三”}數(shù)轉(zhuǎn)換成{三}數(shù),再轉(zhuǎn)換成{十}數(shù)。{三”}1011={三}221={十}25?;蛘撸苯訉Q”}數(shù)轉(zhuǎn)換成{十}數(shù),即將{Q”}數(shù)各位乘以該位上的權(quán)值,再求和獲得。當(dāng)Q=3時(shí),{三”}數(shù)直接轉(zhuǎn)換成{十}數(shù)。
當(dāng)需轉(zhuǎn)換的{三”}數(shù)首位為負(fù),即該數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí),則將該數(shù)的相反數(shù)轉(zhuǎn)換成{十}數(shù),然后取此{(lán)十}數(shù)的符號為負(fù)即可。
4.2{三”}與{十}關(guān)系分析。
{三”}中P=Q,因而在該數(shù)制中,自然數(shù)是連續(xù)唯一形態(tài)表達(dá)。它沒有多樣性,也缺少了相應(yīng)的靈活性。{三”}與{十}數(shù)的關(guān)系是“一一對應(yīng)”關(guān)系。由此,可建立一種{三”}數(shù)與{十}數(shù)的互為映射關(guān)系。對于運(yùn)算系統(tǒng)來說,{十}與{三”}數(shù)系統(tǒng)“同構(gòu)”。相應(yīng){十}數(shù)的各種基本運(yùn)算性質(zhì),亦在{三”}數(shù)系統(tǒng)中成立。又由于{十}數(shù)系統(tǒng)與{Q}數(shù)系統(tǒng)同構(gòu),故{三}與{三”}數(shù)系統(tǒng)同構(gòu)。
應(yīng)當(dāng)指出,顯然,上述對{十}與{十’}的分析,完全相應(yīng)于{Q}與{Q’}的分析。由此可知①{Q}數(shù)與{Q”}數(shù)的關(guān)系是“一一對應(yīng)”。②{Q}與{Q”}數(shù)系統(tǒng)“同構(gòu)”。相應(yīng){Q}數(shù)系統(tǒng)的各種基本運(yùn)算性質(zhì),亦在{Q”}數(shù)系統(tǒng)中成立。
以上分別為混Q進(jìn)制、增Q進(jìn)制、偏Q進(jìn)制、稱Q進(jìn)制的情況5.綜合上述,可有如下簡明結(jié)論混數(shù)進(jìn)制、《混進(jìn)方法HJF》在數(shù)字工程中,可顯著提高運(yùn)算速度,而且大大降低筆算的出錯率。它正是錢學(xué)森指出的數(shù)學(xué)第三層次“直接應(yīng)用的工程技術(shù)”。這種“工程技術(shù)”與數(shù)字計(jì)算工程緊密結(jié)合的方法,稱為“混數(shù)進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法”。
第二部分 混數(shù)進(jìn)制、進(jìn)位行計(jì)算機(jī)混數(shù)進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法的計(jì)算機(jī),又稱為混數(shù)進(jìn)制、進(jìn)位行計(jì)算機(jī),采用“混數(shù)進(jìn)制”數(shù),以“混數(shù)進(jìn)制、進(jìn)位行方法”運(yùn)算。
圖1為本發(fā)明計(jì)算機(jī)相應(yīng)的混數(shù)進(jìn)制計(jì)算機(jī)總邏輯框圖。混數(shù)進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法的計(jì)算機(jī)包括輸入邏輯101、CPU中央處理器102、外存103、輸出邏輯104、控制臺105、輸出轉(zhuǎn)換邏輯108、輸入轉(zhuǎn)換邏輯109組成(混Q進(jìn)制、進(jìn)位行計(jì)算機(jī)中可省略);CPU中央處理器102由內(nèi)存106、混數(shù)運(yùn)算控制邏輯107組成;這些部件的連接關(guān)系是本領(lǐng)域公知的。設(shè)K個(gè)普通Q進(jìn)制數(shù)參予加減運(yùn)算,K為≥2的整數(shù),Q為自然數(shù);普通Q進(jìn)制數(shù)輸入轉(zhuǎn)換邏輯109,將這些數(shù)編碼轉(zhuǎn)換成K或2K個(gè)混數(shù)進(jìn)制數(shù);混數(shù)進(jìn)制數(shù)經(jīng)移位寄存器輸入邏輯101至K或2K重運(yùn)算器202;K或2K重運(yùn)算器202中,混數(shù)進(jìn)制數(shù)經(jīng)K或2K重運(yùn)算獲得混數(shù)進(jìn)制數(shù)的結(jié)果;然后,輸出轉(zhuǎn)換邏輯108以混數(shù)進(jìn)制數(shù)、或普通Q進(jìn)制數(shù)、或普通十進(jìn)制數(shù),通過輸出邏輯104輸出;控制器201協(xié)調(diào)控制整個(gè)運(yùn)算控制器的邏輯。內(nèi)存106及外存103與運(yùn)算控制邏輯107交換數(shù)據(jù),執(zhí)行程序??偛僮饔煽刂婆_105按既定程序控制,以時(shí)鐘脈沖來實(shí)現(xiàn)。
圖2為混數(shù)進(jìn)制、進(jìn)位行計(jì)算機(jī)(運(yùn)算控制)邏輯框圖,由輸入邏輯101,K或2K重運(yùn)算器202,輸出轉(zhuǎn)換邏輯108及控制器201組成。其中,控制器201和K或2K重運(yùn)算器202組成混數(shù)運(yùn)算控制邏輯107。普通Q進(jìn)制數(shù)經(jīng)過轉(zhuǎn)換邏輯109,編碼轉(zhuǎn)換成混數(shù)進(jìn)制數(shù)。混數(shù)進(jìn)制數(shù)通過輸入邏輯101輸入CPU中央處理器102。當(dāng)采用全一碼編碼時(shí),只要將這些全一碼編碼{Q}數(shù)的正負(fù)符號,分配到相應(yīng)這些數(shù)全一碼的每一位上去。然后,經(jīng)過轉(zhuǎn)換邏輯109,編碼轉(zhuǎn)換成全一碼的混數(shù)進(jìn)制數(shù)。輸入邏輯101為全一碼移位寄存器。混數(shù)進(jìn)制數(shù)送至K或2K重運(yùn)算器202。K或2K重運(yùn)算器202中,混數(shù)進(jìn)制數(shù)經(jīng)K或2K重運(yùn)算獲得混數(shù)進(jìn)制數(shù)的結(jié)果,經(jīng)由譯碼器輸出轉(zhuǎn)換邏輯108以混數(shù)進(jìn)制數(shù)、或普通Q進(jìn)制數(shù)、或普通十進(jìn)制數(shù)通過輸出邏輯104輸出。控制器201協(xié)調(diào)控制整個(gè)運(yùn)算控制器的邏輯。
圖3為K或2K重運(yùn)算器第I位的邏輯框圖,I為序數(shù);混數(shù)進(jìn)制運(yùn)算可為前述方案之一;本發(fā)明計(jì)算機(jī)中,采用方案二來展示;“K或2K重運(yùn)算器”202由304累加器∑i和寄存器網(wǎng)311、對沖網(wǎng)312、劃Q網(wǎng)313組成;i為序數(shù);當(dāng)用于計(jì)算機(jī),特別是電子計(jì)算機(jī)運(yùn)算器中時(shí),數(shù)字工程方法可采用前述第一種或第二種或第三種步驟。這里,采用第三種步驟來展示。
其中寄存器網(wǎng)311由301寄存器1i、302寄存器2i、303寄存器Ki或2Ki等組成;各個(gè)寄存器二二相連;K或2K個(gè)寄存器存放輸入的K或2K個(gè)混數(shù)進(jìn)制數(shù);304累加器∑i為與303寄存器Ki或2Ki相應(yīng)的累加器,用來存放累加和數(shù)。每個(gè)寄存器及304累加器∑i的每一位分配一個(gè)符號位,該符號位為普通二態(tài)觸發(fā)器;符號位也可以放置在專用的符號位寄存器中,在運(yùn)算時(shí)為存放混數(shù)進(jìn)制數(shù)的寄存器或累加器的每一位分配一個(gè)符號。K或2K個(gè)寄存器存放K或2K個(gè)混數(shù)進(jìn)制數(shù)。
在運(yùn)算指令的控制下,K或2K重運(yùn)算器202中采用所謂“二維運(yùn)算”。即,在數(shù)的各位上同時(shí)進(jìn)行運(yùn)算;并且每一位上各數(shù),亦同時(shí)進(jìn)行運(yùn)算。然后,“部份和”數(shù)送至寄存器網(wǎng)311中,替換原存數(shù);進(jìn)位送至寄存器網(wǎng)311中的相鄰高位,替換原存數(shù)。當(dāng)下一個(gè)運(yùn)算層指令到達(dá)時(shí),將進(jìn)位數(shù)與“按位和”數(shù)再進(jìn)行相加;如此重復(fù),直至運(yùn)算層中,運(yùn)算后僅獲得一個(gè)數(shù)為止。最后,再經(jīng)304累加器∑i輸出所求和數(shù)。
本發(fā)明相應(yīng)的計(jì)算機(jī)運(yùn)算器中,除采用一般的累加器運(yùn)算外,為了加速運(yùn)算,可以采用“對沖”及“劃Q”邏輯。對K或2K個(gè)數(shù)中的n個(gè)數(shù)進(jìn)行求和運(yùn)算時(shí),如果在某一位上,其中n個(gè)運(yùn)算數(shù)的“按位和”為零,但產(chǎn)生進(jìn)位m(與n個(gè)數(shù)的和數(shù)符號一致);n為≥2的整數(shù),m為整數(shù);進(jìn)位放入下一運(yùn)算層或本運(yùn)算層尚未運(yùn)算過的,任一數(shù)據(jù)行相鄰高位的空位或0位處;然后,將n個(gè)運(yùn)算數(shù)的某位均以邏輯方式置“0”,不再參加以后的運(yùn)算;這稱為“劃Q”;“劃Q”中m=0時(shí),稱為“對沖”;或者,不采用“對沖”及“劃Q”?!皩_”及“劃Q”邏輯線路在技術(shù)上是簡單成熟的。其中,“對沖”、“劃Q”采用n=2、Q,m=0、±1時(shí)的“劃Q”;這里,計(jì)算機(jī)中元器件采用二值元器件來展示。
“對沖”及“劃Q”可采用對沖網(wǎng)312和劃Q網(wǎng)313。對沖網(wǎng)312由一個(gè)對沖邏輯305巡檢;或由K(K-1)/2或K(2K-1)個(gè)對沖邏輯305、對沖邏輯306、…、對沖邏輯307與寄存器網(wǎng)311中各個(gè)寄存器二二相連組成。劃Q網(wǎng)313由一個(gè)劃Q邏輯308巡檢;或由K(K-1)/2或K(2K-1)個(gè)劃Q邏輯308、劃Q邏輯309、…、劃Q邏輯310與寄存器網(wǎng)311中各個(gè)寄存器二二相連組成。對沖、劃Q邏輯可根據(jù)電路需要來分級、分組。
采用“對沖”及“劃Q”時(shí),由控制器或程序發(fā)出的指令,對各個(gè)運(yùn)算數(shù)的每一位實(shí)施先“對沖”、后“劃Q”運(yùn)算。劃Q產(chǎn)生的“進(jìn)位”(與運(yùn)算和數(shù)同符號),送至下一運(yùn)算層或本運(yùn)算層尚未運(yùn)算過的,任一數(shù)據(jù)行相鄰高位的空位或0位處。即,“進(jìn)位”送至K或2K重運(yùn)算器202中任一寄存器的相鄰高位的空位或0位處置“1”端。然后,進(jìn)行累加運(yùn)算。累加采用≥2的“多數(shù)累加器”;當(dāng)采用普通二數(shù)“累加器”時(shí),則順序串行累加。當(dāng)采用全一碼編碼時(shí),K或2K重運(yùn)算器202中的304累加器∑i,可省略為全一碼移位寄存器。該寄存器專門存放結(jié)果和數(shù),又稱為“和數(shù)寄存器”。這時(shí),加采用上述“二維運(yùn)算”,則稱為“三維運(yùn)算”。相應(yīng)的運(yùn)算器,則稱為“三維運(yùn)算器”。
上述“K或2K重運(yùn)算器”當(dāng)K或2K值較大時(shí),可加以分級、分組放大處理。
圖4為對沖邏輯(對沖器)的邏輯框圖。其中的對沖邏輯典型組合,由301寄存器1i,302寄存器2i,同邏輯403,異邏輯404及與門405組成;301寄存器1i及302寄存器2i,其前附有符號位,為普通二態(tài)觸發(fā)器;當(dāng)采用全一碼來編碼并采用二值元器件時(shí),對沖采用n=2,m=0;301寄存器1i,全一編碼為401位1i1、1i2、…;302寄存器2i,全一編碼為402位2i1、2i2、…;303寄存器Ki或2Ki,全一編碼為Ki1 Ki2、…或2Ki、2Ki2、…;從1i1、1i2、…及2i1、2i2、…,直至Ki1、Ki2、…或2Ki、2Ki2、…,全一碼編碼的全體中,任取二個(gè)形成組合;例取此中一個(gè)典型組合如下述301寄存器1i第401位1i1,其“1”端連接同邏輯403的輸入,1i1符的“1”端連接異邏輯404輸入;302寄存器2i第402位2i1,其“1”端連接同邏輯403的輸入,2i1符的“1”端連接異邏輯404的輸入;同邏輯403的輸出連接與門405輸入;異邏輯404的輸出連接與門405輸入;與門405的輸出,連接301寄存器1i第401位的1i1、302寄存器2i第402位的2i1的置“0”端;圖5為劃Q邏輯(劃Q器)的邏輯框圖。其中的劃Q邏輯典型組合,由301寄存器1i,302寄存器2i,Q值判定邏輯501,同邏輯502及與門503組成;301寄存器1i及302寄存器2i,其前附有符號位,為普通二態(tài)觸發(fā)器;當(dāng)采用全一碼來編碼并采用二值元器件時(shí),劃Q采用n=Q,m=±1;301寄存器1i,全一編碼為401位1i1、1i2、…;302寄存器2i,全一編碼為402位2i1 、2i2、…;303寄存器Ki或2Ki,全一編碼為Ki1、Ki2、…、或2Ki、2Ki2、…;從1i1、1i2、…及2i1、2i2、…,直至Ki1、Ki2、…或2Ki、2Ki2、…,全一碼編碼的全體中,任取Q個(gè)形成組合;例取此中一個(gè)典型組合如下述401位的1i1“1”端連接Q值判定邏輯501的輸入,1i符的“1”端連接同邏輯502的輸入;402位2i1的“1”端連接Q值判定邏輯501的輸入;2i符的“1”端連接同邏輯502的輸入;如此連接共Q個(gè);Q值判定邏輯501接受共Q個(gè)輸入;Q值判定邏輯501的輸出連接與門503的輸入;同邏輯502接受共Q個(gè)輸入;同邏輯502的輸出連接與門503輸入;與門503輸出進(jìn)位(同符號),送至K或2K重運(yùn)算器202中任一進(jìn)位行寄存器的相鄰高位置“1”端,并置該高位數(shù)符與1i符相同;同時(shí),與門503輸出進(jìn)位,連接301寄存器1i第401位的1i1、302寄存器2i第402位的2i1及組合內(nèi)共Q個(gè)置“0”端。
混數(shù)進(jìn)制、進(jìn)位行計(jì)算機(jī),其中所述運(yùn)算數(shù)是混數(shù)進(jìn)制數(shù),Q為自然數(shù)。以全一碼編碼;或者,以混數(shù)進(jìn)制數(shù)編碼;或者,不編碼;以全一碼來編碼時(shí),即將各個(gè)混數(shù)進(jìn)制數(shù)的每一位數(shù)S,都以|S|個(gè)1從最低位順序至高位排列來對應(yīng),其余高位均為0,總位數(shù)則為Q或(Q-1)或Q/2或(Q+1)/2位;同時(shí),將S的數(shù)符,即表示該位的數(shù)為正或負(fù),作為相應(yīng)全一碼中每一位上的數(shù)符;當(dāng)采用全一碼來編碼混數(shù)進(jìn)制數(shù)時(shí),n個(gè)數(shù)加法僅為n個(gè)數(shù)中1或1的不重復(fù)排列;其全一碼編譯可以定碼長或變碼長;本發(fā)明計(jì)算機(jī)中,采用定碼長來展示。
本發(fā)明計(jì)算機(jī)中所采用的元器件為P值元器件,P是數(shù)元集的基數(shù),P為>1的整數(shù);或者常取二值元器件;或者取三值元器件。以全一碼編碼時(shí),混數(shù)運(yùn)算在運(yùn)算及其控制中,采用{1,0,1}三態(tài)進(jìn)行。故本發(fā)明計(jì)算機(jī)中元器件,應(yīng)采用三值元器件。當(dāng)采用二值元器件時(shí),其中1、1的正負(fù)號以一位{二}數(shù)表示,其權(quán)為0。即,以二位{二}數(shù)編碼{1,0,1}三態(tài)。這時(shí),K或2K重運(yùn)算器202中的304累加器∑i可以省略為全一碼普通移位寄存器。
混數(shù)運(yùn)算時(shí),運(yùn)算器的輸入需要將{Q}數(shù)轉(zhuǎn)換為混數(shù)。另一方面,運(yùn)算器的輸出在一般中間過程,不必要將混數(shù)轉(zhuǎn)換為{Q}數(shù)。只有在需要輸出最終結(jié)果時(shí),才將混數(shù)轉(zhuǎn)換為{Q}數(shù)(實(shí)質(zhì)是僅將純混數(shù)轉(zhuǎn)換為{Q}數(shù))。這時(shí),本發(fā)明相應(yīng)的計(jì)算機(jī),在“運(yùn)算”數(shù)字的輸出界面上,只需加上混數(shù)轉(zhuǎn)換到{Q}譯碼器即可。原則上,本發(fā)明相應(yīng)的計(jì)算機(jī),其外存及輸入輸出端,與現(xiàn)有{Q}電子計(jì)算機(jī)完全一樣(包括程序在內(nèi))。
本發(fā)明相應(yīng)的計(jì)算機(jī)系統(tǒng)中,采用“多重運(yùn)算器”。如,采用“八重運(yùn)算器”。所謂“八重運(yùn)算器”,即將8個(gè)數(shù)放入8個(gè)寄存器中,一次性完成加減運(yùn)算。設(shè)多重?cái)?shù)為K或2K,則K或2K=2t可能較合適(t為自然數(shù))。故K或2K=2、4、8、…。其中,較實(shí)用的可能是K或2K=8、16、256、1024、4096等。同時(shí),乘法本質(zhì)上原來就是連續(xù)加法,除法本質(zhì)上原來就是連續(xù)減法。因此,本發(fā)明計(jì)算機(jī)在乘除中,亦可運(yùn)用多重加減來處理。
特別是當(dāng)采用全一碼編碼時(shí),在混數(shù)計(jì)算機(jī)中,僅僅只需先“對沖”、后“劃Q”,就能獲得混數(shù)運(yùn)算結(jié)果。當(dāng)最終結(jié)果需要輸出時(shí),才將混數(shù)轉(zhuǎn)換成{Q}數(shù),或者轉(zhuǎn)換成{十}數(shù)輸出。
小結(jié)本發(fā)明計(jì)算機(jī)是混數(shù)進(jìn)制的計(jì)算機(jī),是《混進(jìn)方法HJF》計(jì)算機(jī)。
混數(shù)進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法的計(jì)算機(jī)使現(xiàn)代以及未來基于其他原理上的各種計(jì)算機(jī),包括“超導(dǎo)計(jì)算機(jī)”、“量子計(jì)算機(jī)”等的運(yùn)算速度大大提高。以八重運(yùn)算器為例,粗略地估算將使運(yùn)算速度提高五倍。也就是說,原20萬次/s的提高到100萬次/s左右;原20億次/s的提高到100億次/s左右。當(dāng)K或2K增大時(shí),則運(yùn)算速度還將進(jìn)一步提高。
第三部分增Q進(jìn)制及全一碼1.增Q進(jìn)制1.1定義在一個(gè)Q進(jìn)制數(shù)制中,凡P>Q的進(jìn)制,特別是P=Q+1>Q的進(jìn)制,稱為“增強(qiáng)Q進(jìn)制”。Q為自然數(shù)。簡稱為“增Q進(jìn)制”。增Q進(jìn)制中,當(dāng)Q=1時(shí),即為“增一進(jìn)制”。增一進(jìn)制中,主要有二種。其一是{0,1}一進(jìn)制,它亦可表示全部非負(fù)整數(shù)。其元器件為二態(tài)器件。其二是{1,1}一進(jìn)制,它可表示全部整數(shù)。其元器件亦為二態(tài)器件。本文下面所稱“增一進(jìn)制”,除特別注明外,均指{0,1}一進(jìn)制。
1.2{0,1}一進(jìn)制與{Q}的關(guān)系。
1.2.1{0,1}一進(jìn)制數(shù)與{Q}數(shù)的轉(zhuǎn)換法。
{0,1}一進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成{Q}數(shù),可以將{0,1}一進(jìn)制數(shù)中的各位數(shù)字1,以{Q}計(jì)數(shù)即可。所得{Q}計(jì)數(shù)和,即為相應(yīng)的{Q}數(shù)。這就是說,{0,1}一進(jìn)制數(shù)中有幾個(gè)1,則相應(yīng)的{Q}數(shù)即為幾。顯然,這是十分簡單的法則(見表二);{Q}數(shù)轉(zhuǎn)換成{0,1}一進(jìn)制數(shù),可將{Q}數(shù)各位均乘以各位上的權(quán)。然后,將這些積以同樣個(gè)數(shù)的1,分別在所要表達(dá)的{0,1}一進(jìn)制數(shù)位置上,以不重復(fù)的方式列出即可。這就是說,{Q}數(shù)為幾,則{0,1}一進(jìn)制數(shù)中就有幾個(gè)1。顯然,這也是十分簡單的法則。(見表三)
表二 表三1.2.2{0,1}一進(jìn)制數(shù)與{Q}數(shù)對照表及其說明說明①{0,1}一進(jìn)制數(shù)可表示全部{Q}數(shù)②有較多的重復(fù)數(shù),以4位{0,1}一進(jìn)制數(shù)為例,除0及4唯一外,其余均有重復(fù)數(shù)。其中,1有4個(gè);2有6個(gè);3有4個(gè)。于是,從0~4的重復(fù)數(shù)分別為1,4,6,4,1個(gè)。這與二項(xiàng)式展開系數(shù)CKn是一致的。位數(shù)n為自然數(shù),K為0~n。
③表中
表示形式為“連續(xù)非負(fù)整數(shù)個(gè)0”的全體的縮寫。即
可為0個(gè)0,可為1個(gè)0,可為00,可為000,…等形式。這種形式表示的集合,稱為“連集”。顯然,“連集”為無限集。設(shè)E為整數(shù),則
為E的“連集”,簡稱為“連E”。讀作“E點(diǎn)”。以“連集”形式表示的一組無窮個(gè)數(shù),稱為“連集數(shù)組”或“連集組數(shù)”。
1.2.3{0,1}一進(jìn)制與{Q}關(guān)系分析。
(1)Q1,Q為自然數(shù);1為最小的自然數(shù),也是最基本的自然數(shù)單元。Q真包含1,這使得相應(yīng)的{Q}與{0,1}一進(jìn)制之間存在自然的聯(lián)系。
(2){Q}數(shù)與{0,1}一進(jìn)制數(shù)的關(guān)系是“一多對應(yīng)”關(guān)系,而不是“一一對應(yīng)”關(guān)系。{0,1}一進(jìn)制中P=Q+1>Q,因而在該數(shù)制中,自然數(shù)有時(shí)會出現(xiàn)多種形態(tài)表達(dá),這正是該數(shù)制靈活性所在。也可以說,{0,1}一進(jìn)制是以多樣性來換取了靈活性。{Q}中P=Q,因而在該類數(shù)中,自然數(shù)是連續(xù)唯一形態(tài)表達(dá)。它沒有這種多樣性,也缺少了這種相應(yīng)的靈活性。
(3){0,1}一進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為{Q}數(shù),只能化為相應(yīng)唯一的一個(gè)數(shù)。這是因?yàn)椋瑊0,1}一進(jìn)制數(shù)可經(jīng){Q}數(shù)加減直接獲得,而{Q}數(shù)加減運(yùn)算后的結(jié)果是唯一的。反之,{Q}數(shù)也只能化為相應(yīng)唯一的一組{0,1}一進(jìn)制“連集組數(shù)”。所以,這種{Q}數(shù)的“一”與{0,1}一進(jìn)制“連集組數(shù)”的“一”組,二者是“一一對應(yīng)”關(guān)系。由此,可建立一種{0,1}一進(jìn)制數(shù)與{Q}數(shù)的互為映射關(guān)系。對于運(yùn)算系統(tǒng)來說,{Q}與{0,1}一進(jìn)制數(shù)系統(tǒng)“同構(gòu)”。相應(yīng){Q}數(shù)的各種基本運(yùn)算性質(zhì),亦在{0,1}一進(jìn)制數(shù)系統(tǒng)中成立。
1.3{0,1}一進(jìn)制的應(yīng)用{0,1}一進(jìn)制由于以么元1配以0構(gòu)造數(shù),而且權(quán)為1,故其“運(yùn)算”常以“傳送”來實(shí)現(xiàn)。這是{0,1}一進(jìn)制數(shù)運(yùn)算快速原因之一。{0,1}一進(jìn)制數(shù)運(yùn)算中的“進(jìn)位”,也以二數(shù)當(dāng)前位的按位加和為0,而進(jìn)位為Q的“劃Q”邏輯實(shí)現(xiàn)。這種“傳送”及“劃Q”的邏輯實(shí)現(xiàn),結(jié)構(gòu)簡單,速度卻快。這是{0,1}一進(jìn)制數(shù)運(yùn)算快速原因之二。當(dāng){0,1}一進(jìn)制數(shù)與各種混數(shù)進(jìn)制數(shù)結(jié)合運(yùn)算時(shí),又補(bǔ)充了“對沖”這一結(jié)構(gòu)更為簡單、速度更為快速的邏輯。這是{0,1}一進(jìn)制數(shù)運(yùn)算快速原因之三。
2.全一進(jìn)制及全一編碼2.1全一進(jìn)制和全一數(shù){0,1}一進(jìn)制數(shù)的多樣性就獲得了多樣處理的靈活性。但是,由于{0,1}一進(jìn)制數(shù)“連集”形式有且僅有一種 而且具有極端的多樣,在同一個(gè)數(shù)中可出現(xiàn)一次以上的“連集”形式。由此造成同一個(gè)數(shù)的形式過于多樣,難以把握,不便于控制,勢必增加設(shè)備并且影響運(yùn)算速度。因此,在一般情況下,有必要對{0,1}一進(jìn)制數(shù)加以某種約束條件。這就產(chǎn)生了“全一進(jìn)制”。
在{0,1}一進(jìn)制的正整數(shù)中,限定每一組“連集組數(shù)”只選取自個(gè)位開始,從右向左連續(xù)排列么元1的唯一的一種形態(tài)表達(dá);高位上均為0,或以空位表示。例如{十}數(shù)3={0,1}一進(jìn)制數(shù) (“/”表“或者”),限定為{十}3={0,1}一進(jìn)制111。這樣,每一組“連集組數(shù)”中的重復(fù)數(shù)均被刪除,只剩下一個(gè)全是1的唯一形態(tài),稱為“全一數(shù)”。表達(dá)“全一數(shù)”的進(jìn)制稱之為“全一進(jìn)制”。表三中,{0,1}一進(jìn)制數(shù)最左邊的形態(tài),即為“全一進(jìn)制”數(shù)。因此,“全一進(jìn)制”可以是加特定約束條件的{0,1}一進(jìn)制。
在《數(shù)制理論SZLL》的“位值制數(shù)制”中,定義數(shù)中的空位表示具有隱含的“空位0”;在其數(shù)元集中,“空位”是一種特殊的數(shù)元,稱為“空位元”。簡稱為“空元”。因此,“全一進(jìn)制”可以從不含0普通Q進(jìn)制{不含0,Q}中的{1}一進(jìn)制獲得;故可以定義“全一進(jìn)制”為{1}一進(jìn)制,以符號{一}來表示。當(dāng)考慮到正負(fù)整數(shù)時(shí),可以將該全一進(jìn)制數(shù)的正負(fù)符號,分配到該數(shù)的各位上去,從而構(gòu)造各位均帶相同符號的全一進(jìn)制數(shù)。本發(fā)明中除特別注明外,均指此種“全一進(jìn)制”,亦以符號{一}來表示。
“全一進(jìn)制”也可以從不含0混Q進(jìn)制{不含0,Q*}中的“{1,1}一進(jìn)制”,加約束條件獲得。約束條件為該進(jìn)制數(shù),必須各位上符號均相同;還可以從不含0增一進(jìn)制中的“{1,1}一進(jìn)制”,加上述同樣約束條件獲得;此外,還可以從其它混數(shù)進(jìn)制獲得。
2.2全一碼全一進(jìn)制顯然具有如下優(yōu)缺點(diǎn)。優(yōu)點(diǎn)①運(yùn)算速度快。“傳送”代替了“翻轉(zhuǎn)”。②多重運(yùn)算時(shí),不需要二二求和,只需要先“對沖”后“劃Q”即可得結(jié)果。這就大大加快了總體運(yùn)算速度。③與{Q}轉(zhuǎn)換方便;缺點(diǎn)①“字長”太長,位數(shù)多。(當(dāng)取可變字長時(shí),其平均字長僅為一半。)②荷載信息量較小。因此,根據(jù)全一進(jìn)制的優(yōu)缺點(diǎn),揚(yáng)長避短,以全一進(jìn)制數(shù)來編碼各種混數(shù)進(jìn)制數(shù)是合適的。以“全一進(jìn)制”數(shù)來編碼,稱為“全一編碼”?!叭痪幋a”中采用的“全一數(shù)”,稱為“全一碼”。全一碼一位編碼的{二}數(shù),即為{二}數(shù)本身。全一碼九位編碼的{十}數(shù),碼長增加至9倍。(當(dāng)取可變碼長時(shí),其平均碼長僅為5倍。)例如{十}23=全一碼=≡。
2.3全一碼的計(jì)算。
全一碼的計(jì)算非常簡單。n個(gè)數(shù)加法僅為n個(gè)數(shù)中1或1的不重復(fù)排列,稱為“排1”。以二數(shù)加法為例,如 11+111=11111。特別是,在各種混數(shù)進(jìn)制的數(shù)字工程中,僅僅只需先“對沖”后“劃Q”,就能獲得各種混數(shù)進(jìn)制數(shù)的運(yùn)算結(jié)果。當(dāng)最終結(jié)果需要輸出時(shí),才將以全一碼編碼的各種混數(shù)進(jìn)制數(shù),轉(zhuǎn)換成混數(shù)進(jìn)制數(shù)或{Q}或{十}數(shù)輸出。
2.4 全一碼的應(yīng)用。
全一碼主要應(yīng)用于對{Q}數(shù)及各種混數(shù)進(jìn)制數(shù)進(jìn)行編碼。特別是,①采用全一碼九位編碼{十}數(shù),可以實(shí)現(xiàn)普通十進(jìn)制{十}、全一碼、進(jìn)位行處理器及其相應(yīng)的計(jì)算機(jī)和筆算工程及算盤。
②采用全一碼編碼混數(shù)進(jìn)制的十進(jìn)制數(shù),可以實(shí)現(xiàn)混數(shù)進(jìn)制的十進(jìn)制、全一碼、進(jìn)位行處理器及其相應(yīng)的計(jì)算機(jī)和筆算工程及算盤。
③采用全一碼編碼各種混數(shù)進(jìn)制數(shù),可以實(shí)現(xiàn)各種混數(shù)進(jìn)制、全一碼、進(jìn)位行處理器及其相應(yīng)的計(jì)算機(jī)和筆算工程及算盤。
權(quán)利要求
1.一種混數(shù)進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法的計(jì)算機(jī)技術(shù)方案,采用Q進(jìn)制數(shù),以Q進(jìn)制運(yùn)算;Q為自然數(shù);其特征在于,采用“混數(shù)進(jìn)制”數(shù),以“混數(shù)進(jìn)制、進(jìn)位行方法”運(yùn)算。
2.如權(quán)利要求1混數(shù)進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法的計(jì)算機(jī)技術(shù)方案,其特征在于,“混數(shù)進(jìn)制、進(jìn)位行方法”運(yùn)算可為下列方案之一;方案一(適于計(jì)算機(jī)、筆算工程中)①普通Q進(jìn)制數(shù)編碼或另行轉(zhuǎn)換為混數(shù)進(jìn)制數(shù);②混數(shù)進(jìn)制運(yùn)算(“對沖”、“劃Q”、“累加”);③混數(shù)進(jìn)制數(shù)譯碼或另行轉(zhuǎn)換為普通Q進(jìn)制數(shù);方案二(適于計(jì)算機(jī)、算盤中;也可用于筆算工程,也可不用;)①普通Q進(jìn)制數(shù)編碼或另行轉(zhuǎn)換為混數(shù)進(jìn)制數(shù);混數(shù)進(jìn)制數(shù)編碼為“編碼全一進(jìn)制數(shù)”;②“編碼全一進(jìn)制數(shù)”運(yùn)算(“對沖”、“劃Q”、“累加”);③“編碼全一進(jìn)制數(shù)”譯碼為混數(shù)進(jìn)制數(shù);混數(shù)進(jìn)制數(shù)譯碼或另行轉(zhuǎn)換為普通Q進(jìn)制數(shù);方案三(適于計(jì)算機(jī)中)①普通Q進(jìn)制數(shù)編碼或另行轉(zhuǎn)換為混數(shù)進(jìn)制數(shù);混數(shù)進(jìn)制數(shù)編碼或另行轉(zhuǎn)換為{0,±1}二進(jìn)制數(shù)(其特況為“普通二進(jìn)制數(shù)”);②{0,±1}二進(jìn)制運(yùn)算(“對沖”、“劃Q”、“累加”);③{0,±1}二進(jìn)制數(shù)譯碼或另行轉(zhuǎn)換為混數(shù)進(jìn)制數(shù);混數(shù)進(jìn)制數(shù)譯碼或另行轉(zhuǎn)換為普通Q進(jìn)制數(shù);方案四(適于計(jì)算機(jī)中)①普通Q進(jìn)制數(shù)編碼或另行轉(zhuǎn)換為混數(shù)進(jìn)制數(shù);混數(shù)進(jìn)制數(shù)編碼或另行轉(zhuǎn)換為“編碼{0,±1}二進(jìn)制數(shù)”(其特況為“編碼普通二進(jìn)制數(shù)”);②“編碼{0,±1}二進(jìn)制數(shù)”運(yùn)算(“對沖”、“劃Q”、“累加”);③“編碼{0,±1}二進(jìn)制數(shù)”譯碼或另行轉(zhuǎn)換為混數(shù)進(jìn)制數(shù);混數(shù)進(jìn)制數(shù)譯碼或另行轉(zhuǎn)換為普通Q進(jìn)制數(shù);本發(fā)明中,采用方案一、方案二來展示。
3.如權(quán)利要求1-2混數(shù)進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法的計(jì)算機(jī)技術(shù)方案,其特征在于,其中“混數(shù)進(jìn)制、進(jìn)位行方法”包括以下第一種步驟第1步,設(shè)K個(gè)普通Q進(jìn)制數(shù)參予加減運(yùn)算,K為≥2的整數(shù),Q為自然數(shù);將這些數(shù)轉(zhuǎn)換成K或2K個(gè)混數(shù)進(jìn)制數(shù);第2步,對K或2K個(gè)數(shù)中的二個(gè)數(shù),進(jìn)行混數(shù)進(jìn)制的求和運(yùn)算;從最低位開始,即在某一位上,取這二個(gè)數(shù)按位相加;采用“對沖”、“劃Q”、累加,得到這二個(gè)數(shù)該位“按位加”和數(shù);將此和數(shù)記入下一運(yùn)算層,作為“部份和”數(shù);同時(shí)所得“混數(shù)進(jìn)位”,則存放到下一運(yùn)算層或本運(yùn)算層尚未運(yùn)算過的,任一數(shù)據(jù)行相鄰高位的空位或0位處;第3步,在上述某位的相鄰高位上,重復(fù)第2步的運(yùn)算;如此反復(fù),直至二數(shù)最高位也已運(yùn)算為止;當(dāng)采用并行運(yùn)算時(shí),二數(shù)各位同時(shí)進(jìn)行第2步及第3步運(yùn)算,則本步可跳越過去;當(dāng)采用串并行運(yùn)算時(shí),則類似處理;第4步,取K或2K個(gè)數(shù)中的另二個(gè)數(shù),進(jìn)行第2步及第3步運(yùn)算;如此反復(fù),直至K或2K個(gè)數(shù)或運(yùn)算層中全部數(shù)均取完為止;當(dāng)僅剩下一個(gè)數(shù)時(shí),則直接移至下一運(yùn)算層作為“部份和”數(shù);第5步,在下一個(gè)運(yùn)算層中,將上述“按位和”數(shù)及“進(jìn)位”數(shù)進(jìn)行前述第2步、第3步、第4步求和運(yùn)算;如此反復(fù),直至運(yùn)算層中,運(yùn)算后僅獲得一個(gè)數(shù)為止;則最后所得混數(shù)進(jìn)制加法運(yùn)算和數(shù),即為所求K個(gè)普通Q進(jìn)制數(shù)加減運(yùn)算結(jié)果;或者,采用以下第二種步驟第1步,設(shè)K個(gè)普通Q進(jìn)制數(shù)參予加減運(yùn)算,K為≥2的整數(shù),Q為自然數(shù);將這些數(shù)轉(zhuǎn)換成K或2K個(gè)混數(shù)進(jìn)制數(shù);第2步,從最低位開始,即在某一位上,取二數(shù)采用“對沖”、“劃Q”、累加;即在二數(shù)時(shí),得到二個(gè)數(shù)該位“按位加”和數(shù);將此和數(shù)記入下一運(yùn)算層,作為“部份和”數(shù);同時(shí)所得“混數(shù)進(jìn)位”,則存放到下一運(yùn)算層或本運(yùn)算層尚未運(yùn)算過的,任一數(shù)據(jù)行相鄰高位的空位或0位處;第3步,在上述某位上,取K或2K個(gè)數(shù)中的另二個(gè)數(shù),重復(fù)第2步的運(yùn)算;如此反復(fù),直至K或2K個(gè)數(shù)或運(yùn)算層中全部數(shù)均取完為止;當(dāng)僅剩下一個(gè)數(shù)時(shí),則直接移至下一運(yùn)算層作為“部份和”數(shù);當(dāng)采用同一位上各數(shù)同時(shí)運(yùn)算時(shí),同時(shí)進(jìn)行第2步及第3步運(yùn)算,則本步可跳越過去;這時(shí)在同一位上,對n個(gè)和為0的數(shù)先進(jìn)行“對沖”;然后,對n個(gè)和為mQ的數(shù)進(jìn)行“劃Q”;n為≥2的整數(shù),m為整數(shù);所得“混數(shù)進(jìn)位”,則存放到下一運(yùn)算層或本運(yùn)算層尚未運(yùn)算過的,任一數(shù)據(jù)行相鄰高位的空位或0位處;同一位上,余下各數(shù)進(jìn)行“累加”,或者直接移至下一運(yùn)算層;累加采用≥2的“多數(shù)累加”;當(dāng)采用普通二數(shù)“累加”時(shí),則順序串行累加;第4步,在上述某位的相鄰高位上,重復(fù)第2步及第3步的運(yùn)算;如此反復(fù),直至K或2K個(gè)數(shù)最高位也已運(yùn)算為止;第5步,在下一個(gè)運(yùn)算層中,對上述“按位和”數(shù)及“進(jìn)位”數(shù)進(jìn)行前述第2步、第3步、第4步求和運(yùn)算;如此反復(fù),直至運(yùn)算層中,運(yùn)算后僅獲得一個(gè)數(shù)為止;則最后所得混數(shù)進(jìn)制加法運(yùn)算和數(shù),即為所求K個(gè)普通Q進(jìn)制數(shù)加減運(yùn)算結(jié)果;或者,采用以下第三種步驟第1步,設(shè)K個(gè)普通Q進(jìn)制數(shù)參予加減運(yùn)算,K為≥2的整數(shù),Q為自然數(shù);將這些數(shù)轉(zhuǎn)換成K或2K個(gè)混數(shù)進(jìn)制數(shù);第2步,采用所謂“二維運(yùn)算”;即,在K或2K個(gè)數(shù)的各位上,同時(shí)進(jìn)行運(yùn)算;對每一位上,n個(gè)和為0的數(shù)進(jìn)行“對沖”;n為≥2的整數(shù);第3步,采用所謂“二維運(yùn)算”;即,在K或2K個(gè)數(shù)的各位上,同時(shí)進(jìn)行運(yùn)算;對每一位上,n個(gè)和為mQ的數(shù)進(jìn)行“劃Q”;n為≥2的整數(shù),m為整數(shù);所得“混數(shù)進(jìn)位”,則存放到下一運(yùn)算層的,任一數(shù)據(jù)行相鄰高位的空位或0位處;第4步,采用所謂“二維運(yùn)算”;即,在K或2K個(gè)數(shù)的各位上,同時(shí)進(jìn)行運(yùn)算;對每一位上,余下各數(shù)進(jìn)行“累加”,或者直接移至下一運(yùn)算層;累加采用≥2的“多數(shù)累加”;當(dāng)采用普通二數(shù)“累加”時(shí),則順序串行累加;第5步,在下一個(gè)運(yùn)算層中,將上述“按位和”數(shù)及“進(jìn)位”數(shù)進(jìn)行前述第2步、第3步、第4步求和運(yùn)算;如此反復(fù),直至運(yùn)算層中,運(yùn)算后僅獲得一個(gè)數(shù)為止;則最后所得混數(shù)進(jìn)制加法運(yùn)算和數(shù),即為所求K個(gè)普通Q進(jìn)制數(shù)加減運(yùn)算結(jié)果。
4.如權(quán)利要求1-3混數(shù)進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法的計(jì)算機(jī)技術(shù)方案,其特征在于,“混數(shù)進(jìn)制、進(jìn)位行方法”對K或2K個(gè)混數(shù)進(jìn)制數(shù),或運(yùn)算層中全部數(shù)中的n個(gè)數(shù)進(jìn)行求和運(yùn)算時(shí),如果在某一位上,其中n個(gè)運(yùn)算數(shù)的“按位和”為零,但產(chǎn)生進(jìn)位m(與n個(gè)數(shù)該位上的和數(shù)符號一致);n為≥2的整數(shù),m為整數(shù);進(jìn)位放入下一運(yùn)算層或本運(yùn)算層尚未運(yùn)算過的,任一數(shù)據(jù)行相鄰高位的空位或0位處;然后,將n個(gè)運(yùn)算數(shù)的某位均以邏輯方式置“0”,不再參加以后的運(yùn)算;這稱為“劃Q”;“劃Q”中m=0時(shí),稱為“對沖”;或者,不采用“對沖”及“劃Q”。
5.如權(quán)利要求1-4混數(shù)進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法的計(jì)算機(jī)技術(shù)方案,其特征在于,“混數(shù)進(jìn)制、進(jìn)位行方法”其中所述運(yùn)算數(shù)是混數(shù)進(jìn)制數(shù),特別是“混/增/偏/稱Q進(jìn)制”數(shù),Q為自然數(shù);可以不編碼;可以混數(shù)進(jìn)制數(shù)編碼;也可以全一碼來編碼,即將各個(gè)混數(shù)進(jìn)制數(shù)的每一位數(shù)S,都以|S|個(gè)1從最低位順序至高位排列來對應(yīng),其余高位均為0,總位數(shù)則為Q或(Q-1)或Q/2或(Q+1)/2位;同時(shí),將S的數(shù)符,即表示該位的數(shù)為正或負(fù),作為相應(yīng)全一碼中每一位上的數(shù)符;當(dāng)采用全一碼來編碼混數(shù)進(jìn)制數(shù)時(shí),n個(gè)數(shù)加法僅為n個(gè)數(shù)中1或1的不重復(fù)排列;其全一碼編譯可以定碼長或變碼長;當(dāng)采用全一碼編碼時(shí),上述“二維運(yùn)算”則為“三維運(yùn)算”。
6.如權(quán)利要求1-5混數(shù)進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法的計(jì)算機(jī)技術(shù)方案,其特征在于,混數(shù)進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法的計(jì)算機(jī)包括輸入邏輯(101)、CPU中央處理器(102)、外存(103)、輸出邏輯(104)、控制臺(105)、輸出轉(zhuǎn)換邏輯(108)、輸入轉(zhuǎn)換邏輯(109)組成(混Q進(jìn)制、進(jìn)位行計(jì)算機(jī)中可省略);CPU中央處理器(102)由內(nèi)存(106)、混數(shù)運(yùn)算控制邏輯(107)組成;設(shè)K個(gè)普通Q進(jìn)制數(shù)參予加減運(yùn)算,K為≥2的整數(shù),Q為自然數(shù);普通Q進(jìn)制數(shù)輸入轉(zhuǎn)換邏輯(109),將這些數(shù)轉(zhuǎn)換成K或2K個(gè)混數(shù)進(jìn)制數(shù);混數(shù)進(jìn)制數(shù)經(jīng)移位寄存器輸入邏輯(101)至K或2K重運(yùn)算器(202);K或2K重運(yùn)算器(202)中,混數(shù)進(jìn)制數(shù)經(jīng)K或2K重運(yùn)算獲得混數(shù)進(jìn)制數(shù)的結(jié)果;然后,輸出轉(zhuǎn)換邏輯(108)以混數(shù)進(jìn)制數(shù)、或普通Q進(jìn)制數(shù)、或普通十進(jìn)制數(shù),通過輸出邏輯(104)輸出;控制器(201)協(xié)調(diào)控制整個(gè)運(yùn)算控制器的邏輯。
7.如權(quán)利要求1-6混數(shù)進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法的計(jì)算機(jī)技術(shù)方案,其特征在于,混數(shù)進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法的計(jì)算機(jī),采用“混數(shù)進(jìn)制、進(jìn)位行方法”運(yùn)算,Q為自然數(shù);混數(shù)進(jìn)制運(yùn)算可為前述方案之一;本發(fā)明計(jì)算機(jī)中,采用方案二來展示;進(jìn)一步包含“K或2K重運(yùn)算器”(202)由累加器∑i(304)和寄存器網(wǎng)(311)、對沖網(wǎng)(312)、劃Q網(wǎng)(313)組成;i為序數(shù);或者,不采用對沖網(wǎng)(312)和劃Q網(wǎng)(313);當(dāng)用于計(jì)算機(jī),特別是電子計(jì)算機(jī)運(yùn)算器中時(shí),數(shù)字工程方法可采用前述第一種或第二種或第三種步驟;這里,采用第三種步驟來展示;K或2K重運(yùn)算器(202)中采用“二維運(yùn)算”;即,在數(shù)的各位上同時(shí)進(jìn)行運(yùn)算;并且每一位上各數(shù),亦同時(shí)進(jìn)行先“對沖”、后“劃Q”、再“累加”;當(dāng)下一個(gè)運(yùn)算層指令到達(dá)時(shí),將進(jìn)位數(shù)與“按位和”數(shù)再進(jìn)行相加;如此重復(fù),直至運(yùn)算層中,運(yùn)算后僅獲得一個(gè)數(shù)為止;最后,再經(jīng)累加器∑i(304)輸出所求和數(shù);當(dāng)采用全一碼編碼時(shí),上述“二維運(yùn)算”則為“三維運(yùn)算”;當(dāng)采用“對沖”及“劃Q”時(shí),由控制器或程序發(fā)出的指令,在數(shù)的各位上同時(shí)進(jìn)行運(yùn)算;并且每一位上各數(shù),亦同時(shí)進(jìn)行先“對沖”、后“劃Q”;然后,將n個(gè)運(yùn)算數(shù)的某位均以邏輯方式置“0”,不再參加以后的運(yùn)算;然后再“累加”;累加采用≥2的“多數(shù)累加器”;當(dāng)采用普通二數(shù)“累加器”時(shí),則順序串行累加;其中累加器∑i(304)為每一位帶有一個(gè)符號位的,與Ki或2Ki寄存器(303)相應(yīng)的累加器;當(dāng)采用全一碼編碼時(shí),K或2K重運(yùn)算器(202)中的累加器∑i(304)可以省略為全一碼移位寄存器;上述K或2K值較大時(shí),可以進(jìn)行分級、分組放大。
8.如權(quán)利要求1-7混數(shù)進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法的計(jì)算機(jī)技術(shù)方案,其特征在于,混數(shù)進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法的計(jì)算機(jī),其中寄存器網(wǎng)(311)由(301)寄存器1i、(302)寄存器2i、(303)寄存器Ki或2Ki等組成;各個(gè)寄存器二二相連;K或2K個(gè)寄存器存放輸入的K或2K個(gè)混數(shù)進(jìn)制數(shù);(304)累加器∑i為與(303)寄存器Ki或2Ki相應(yīng)的累加器,用來存放累加和數(shù);每個(gè)寄存器及(304)累加器∑i的每一位分配一個(gè)符號位,該符號位為普通二態(tài)觸發(fā)器;符號位也可以放置在專用的符號位寄存器中,在運(yùn)算時(shí)為存放混數(shù)進(jìn)制數(shù)的寄存器或累加器的每一位分配一個(gè)符號;K或2K個(gè)寄存器存放K或2K個(gè)混數(shù)進(jìn)制數(shù);其中的對沖網(wǎng)(312)由一個(gè)對沖邏輯(305)巡檢;也可由K(K-1)/2或K(2K-1)個(gè)對沖邏輯(305、306、…、307)與寄存器網(wǎng)(311)中各個(gè)寄存器二二相連組成;其中的劃Q網(wǎng)(313)由一個(gè)劃Q邏輯(308)巡檢;也可由K(K-1)/2或K(2K-1)個(gè)劃Q邏輯(308、309、…、310)與寄存器網(wǎng)(311)中各個(gè)寄存器二二相連組成;對沖、劃Q邏輯可根據(jù)電路需要來分級、分組。
9.如權(quán)利要求1-8混數(shù)進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法的計(jì)算機(jī)技術(shù)方案,其特征在于,混數(shù)進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法的計(jì)算機(jī),其中的對沖邏輯典型組合,由(301)寄存器1i,(302)寄存器2i,同邏輯(403),異邏輯(404)及與門(405)組成;(301)寄存器1i及(302)寄存器2i,其前附有符號位,為普通二態(tài)觸發(fā)器;當(dāng)采用全一碼來編碼并采用二值元器件時(shí),對沖采用n=2,m=0;(301)寄存器1i,全一編碼為(401)位1i1、1i2、…;(302)寄存器2i,全一編碼為(402)位2i1、2i2、…;(303)寄存器Ki或2Ki,全一編碼為Ki1、Ki2、…或2Ki、2Ki2、…;從1i1、1i2、…及2i1、2i2、…,直至Ki1、Ki2、…或2Ki、2Ki2、…,全一碼編碼的全體中,任取二個(gè)形成組合;例取此中一個(gè)典型組合如下述(301)寄存器1i第(401)位1i1,其“1”端連接同邏輯(403)的輸入,1i1符的“1”端連接異邏輯(404)輸入;(302)寄存器2i第(402)位2i1,其“1”端連接同邏輯(403)的輸入,2i1符的“1”端連接異邏輯(404)的輸入;同邏輯(403)的輸出連接與門(405)輸入;異邏輯(404)的輸出連接與門(405)輸入;與門(405)的輸出,連接(301)寄存器1i第(401)位的1i1、(302)寄存器2i第(402)位的2i1的置“0”端;其中的劃Q邏輯典型組合,由(301)寄存器1i,(302)寄存器2i,Q值判定邏輯(501),同邏輯(502)及與門(503)組成;(301)寄存器1i及(302)寄存器2i,其前附有符號位,為普通二態(tài)觸發(fā)器;當(dāng)采用全一碼來編碼并采用二值元器件時(shí),劃Q采用n=Q,m=±1;(301)寄存器1i,全一編碼為(401)位1i1、1i2、…;(302)寄存器2i,全一編碼為(402)位2i1、2i2、…;(303)寄存器Ki或2Ki,全一編碼為Ki1、Ki2、…、或2Ki、2Ki2、…;從1i1、1i2、…及2i1、2i2、…,直至Ki1、Ki2、…或2Ki、2Ki2、…,全一碼編碼的全體中,任取Q個(gè)形成組合;例取此中一個(gè)典型組合如下述(401)位的1i1“1”端連接Q值判定邏輯(501)的輸入,1i符的“1”端連接同邏輯(502)的輸入;(402)位2i1的“1”端連接Q值判定邏輯(501)的輸入;2i符的“1”端連接同邏輯(502)的輸入;如此連接共Q個(gè);Q值判定邏輯(501)接受共Q個(gè)輸入;Q值判定邏輯(501)的輸出連接與門(503)的輸入;同邏輯(502)接受共Q個(gè)輸入;同邏輯(502)的輸出連接與門(503)輸入;與門(503)輸出進(jìn)位(同符號),送至K或2K重運(yùn)算器(202)中任一進(jìn)位行寄存器的相鄰高位置“1”端,并置該高位數(shù)符與1i符相同;同時(shí),與門(503)輸出進(jìn)位,連接(301)寄存器1i第(401)位的1i1、(302)寄存器2i第(402)位的2i1及組合內(nèi)共Q個(gè)置“0”端。
10.如權(quán)利要求1-9混數(shù)進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法的計(jì)算機(jī)技術(shù)方案,其特征在于,混數(shù)進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法的計(jì)算機(jī),其中所采用的元器件為P值元器件,P是數(shù)元集的基數(shù),P為>1的整數(shù);或者常取二值元器件;或者取三值元器件。
全文摘要
本發(fā)明涉及數(shù)字工程方法和計(jì)算機(jī)領(lǐng)域,提出又一種新的數(shù)字工程方法,顯著提高運(yùn)算速度,而且大大降低筆算的出錯率。本發(fā)明采用“混數(shù)進(jìn)制、進(jìn)位行方法”將參與加減運(yùn)算的K個(gè)普通Q進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成K或2K個(gè)混數(shù)進(jìn)制數(shù)。然后對K或2K個(gè)數(shù)進(jìn)行混數(shù)進(jìn)制求和。從最低位開始或各位同時(shí)“按位加”,和數(shù)記入下一運(yùn)算層;同時(shí)所得“混數(shù)進(jìn)位”,則存放到下一運(yùn)算層或本運(yùn)算層尚未運(yùn)算過的,任一數(shù)據(jù)行相鄰高位的空位或0位處。經(jīng)過如此反復(fù)運(yùn)算,直至運(yùn)算層中,運(yùn)算后僅獲得一個(gè)數(shù)為止。則最后所得數(shù),即為所求混數(shù)進(jìn)制加法和數(shù)。本發(fā)明同時(shí)提供了混數(shù)進(jìn)制、進(jìn)位行計(jì)算機(jī)技術(shù)方案。
文檔編號G06F15/76GK1782986SQ20051011981
公開日2006年6月7日 申請日期2005年11月7日 優(yōu)先權(quán)日2004年11月8日
發(fā)明者李志中, 徐菊園 申請人:李志中