專利名稱：偏q進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法的筆算工程技術(shù)方案的制作方法
技術(shù)領(lǐng)域：
本發(fā)明涉及數(shù)字工程方法和筆算工程領(lǐng)域背景技術(shù)數(shù)字工程包括數(shù)控機(jī)床、大中型數(shù)字化設(shè)備和數(shù)字系統(tǒng)工程等等。本發(fā)明中“數(shù)字工程”是專指“數(shù)字計(jì)算系統(tǒng)工程”。它不是解決一個(gè)個(gè)具體的算題、或定理證明、或幾何問(wèn)題、或某種數(shù)學(xué)思想，而是解決四則運(yùn)算法則等計(jì)算系統(tǒng)本身的數(shù)字工程實(shí)現(xiàn)技術(shù)方案。它與具體的計(jì)算工具密切相關(guān)。眾所周知，“計(jì)算”有好多種，除“近似計(jì)算”、“模擬計(jì)算”及“無(wú)工具計(jì)算”(心算、指算、口算等，包括相應(yīng)的口訣、速算、估算)外，則為“采用工具的數(shù)字計(jì)算”?！安捎霉ぞ叩臄?shù)字計(jì)算”歷史上包括筆算、珠算、機(jī)械算、電算，以及籌算等。現(xiàn)代僅剩下三種，這就是數(shù)字電算、珠算、筆算。與此相應(yīng)的數(shù)字計(jì)算系統(tǒng)工程也就僅有三種數(shù)字計(jì)算機(jī)；算盤；采用筆和紙進(jìn)行筆算的數(shù)字計(jì)算系統(tǒng)工程，簡(jiǎn)稱為“筆算工程”。
四則運(yùn)算是數(shù)的最基本運(yùn)算。正如恩格斯所說(shuō)“四則(一切數(shù)學(xué)的要素)?！奔臃ㄓ质撬膭t運(yùn)算的最基本的運(yùn)算。因此，我們理所當(dāng)然應(yīng)當(dāng)對(duì)四則運(yùn)算，尤其是對(duì)加法運(yùn)算給予特別的關(guān)注。當(dāng)前數(shù)字工程方法中的四則運(yùn)算，首先是加法，有許多不盡如人意之處。主要表現(xiàn)為運(yùn)算速度慢；在減法中，未能充分利用負(fù)數(shù)的作用，而且，不能“連減”。尤其在加減聯(lián)合運(yùn)算中，不能一步到位；在乘法中，加法的缺點(diǎn)更加擴(kuò)大嚴(yán)重；在除法中，上述缺點(diǎn)依舊?？傊谧钚〉臄?shù)體——有理數(shù)體中，四則運(yùn)算情況并不滿意。
式一 式二在筆算數(shù)字工程中，對(duì)運(yùn)算的解剖，表明存在一些隱含的操作程序，以至產(chǎn)生“隱患”。以“二數(shù)相加”為例，算式如式一。[文中凡未標(biāo)明數(shù)制的數(shù)，均指普通十進(jìn)制數(shù)。下同。]其中，十位上的和數(shù)3，解剖一下。其微程序操作是 個(gè)位上來(lái)的進(jìn)位(見標(biāo)志) 十位上5、7二數(shù)字與低位進(jìn)位相加，即(5+7+1)。取其和的個(gè)位。 上列(5+7+1)和的進(jìn)位送到高位(見標(biāo)志)。其余各位情況類似。又如例二，設(shè)三數(shù)求和，算式如式二78+297+259＝634。如圖可見，上述情況更為加重。顯然，存在下列缺點(diǎn)a.進(jìn)位標(biāo)示困難。若用小數(shù)字表明，則易混淆且字面積受限。特別是表456789時(shí)就更煩人；若以“.”符寫在數(shù)字間，則易與小數(shù)點(diǎn)混淆且表示456789也不便；若以手指數(shù)數(shù)，則速度慢且不方便；若心算，則費(fèi)腦力且易錯(cuò)?？傊?，比較討厭，易出錯(cuò)。
b.一般二數(shù)相加時(shí)，每一位上要有三個(gè)數(shù)相加二求和。于是，需三重運(yùn)算。三及三以上個(gè)數(shù)相加求和時(shí)，則更不方便。
c.驗(yàn)算困難。一般采用重做一遍，費(fèi)時(shí)費(fèi)力。
減法比加法麻煩。而且不能在同一豎式中“連減”，必須斷開。特別在加減聯(lián)合運(yùn)算時(shí)，不能一步到位。乘除法中，這類情況更為嚴(yán)重。而且，加減乘除運(yùn)算格式不統(tǒng)一，除法時(shí)另起爐灶。
另一方面，在電子計(jì)算機(jī)數(shù)字工程中，同樣有大量的數(shù)值運(yùn)算。這些數(shù)一般均采用普通二進(jìn)制數(shù)來(lái)表示。其負(fù)數(shù)常以原碼、反碼、補(bǔ)碼、移碼之類來(lái)表示。在現(xiàn)有計(jì)算機(jī)中運(yùn)算均以二個(gè)數(shù)運(yùn)算，而無(wú)法實(shí)現(xiàn)“多重運(yùn)算”。所謂“多重運(yùn)算”，是指多于二個(gè)數(shù)同時(shí)進(jìn)行加減。
在采用其他普通Q進(jìn)制等普通數(shù)制的電子計(jì)算機(jī)中，存在相應(yīng)的許多復(fù)雜性。[Q為自然數(shù)。]此外，在算盤數(shù)字工程中，同樣有大量的數(shù)值運(yùn)算。這些數(shù)一般采用普通二進(jìn)制與普通五進(jìn)制的“聯(lián)合Q進(jìn)制”數(shù)。因此，運(yùn)算口訣繁雜，而且存在相應(yīng)的一些復(fù)雜性。

發(fā)明內(nèi)容
本發(fā)明提出一種新的數(shù)字工程方法，顯著提高運(yùn)算速度；同時(shí)加強(qiáng)運(yùn)算正確性的保障，在“筆算工程”中，大大降低筆算的出錯(cuò)率。
本發(fā)明同時(shí)提出了，采用上述“混數(shù)進(jìn)制、進(jìn)位行方法”的“筆算工程”技術(shù)方案。顯著提高運(yùn)算速度；同時(shí)加強(qiáng)運(yùn)算正確性的保障，大大降低筆算的出錯(cuò)率。
根據(jù)本發(fā)明的一個(gè)方面，提供一種偏Q進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法，采用“偏Q進(jìn)制”數(shù)，以“混數(shù)進(jìn)制、進(jìn)位行方法”運(yùn)算。混數(shù)進(jìn)制運(yùn)算可為下列方案之一；方案一(適于計(jì)算機(jī)、筆算工程中)①普通Q進(jìn)制數(shù)編碼或另行轉(zhuǎn)換為混數(shù)進(jìn)制數(shù)；②混數(shù)進(jìn)制運(yùn)算(“對(duì)沖”、“劃Q”、“累加”)；③混數(shù)進(jìn)制數(shù)譯碼或另行轉(zhuǎn)換為普通Q進(jìn)制數(shù)；方案二(適于計(jì)算機(jī)、算盤中；也可用于筆算工程，也可不用；)①普通Q進(jìn)制數(shù)編碼或另行轉(zhuǎn)換為混數(shù)進(jìn)制數(shù)；混數(shù)進(jìn)制數(shù)編碼為“編碼全一進(jìn)制數(shù)”；②“編碼全一進(jìn)制”運(yùn)算(“對(duì)沖”、“劃Q”、“累加”)；③“編碼全一進(jìn)制數(shù)”譯碼為混數(shù)進(jìn)制數(shù)；混數(shù)進(jìn)制數(shù)譯碼或另行轉(zhuǎn)換為普通Q進(jìn)制數(shù)；方案三(適于計(jì)算機(jī)中)①普通Q進(jìn)制數(shù)編碼或另行轉(zhuǎn)換為混數(shù)進(jìn)制數(shù)；混數(shù)進(jìn)制數(shù)編碼或另行轉(zhuǎn)換為{0，±1}二進(jìn)制(其特況為普通二進(jìn)制)數(shù)；②{0，±1}二進(jìn)制運(yùn)算(“對(duì)沖”、“劃Q”、“累加”)；③{0，±1}二進(jìn)制數(shù)譯碼或另行轉(zhuǎn)換為混數(shù)進(jìn)制數(shù)；混數(shù)進(jìn)制數(shù)譯碼或另行轉(zhuǎn)換為普通Q進(jìn)制數(shù)；方案四(適于計(jì)算機(jī)中)①普通Q進(jìn)制數(shù)編碼或另行轉(zhuǎn)換為混數(shù)進(jìn)制數(shù)；混數(shù)進(jìn)制數(shù)編碼或另行轉(zhuǎn)換為“編碼{0，±1}二進(jìn)制數(shù)”；②“編碼{0，±1}二進(jìn)制”運(yùn)算(“對(duì)沖”、“劃Q”、“累加”)；③“編碼{0，±1}二進(jìn)制數(shù)”譯碼或另行轉(zhuǎn)換為混數(shù)進(jìn)制數(shù)；混數(shù)進(jìn)制數(shù)譯碼或另行轉(zhuǎn)換為普通Q進(jìn)制數(shù)；本發(fā)明中，采用方案一、方案二來(lái)展示。包括以下第一種步驟第1步，設(shè)K個(gè)普通Q進(jìn)制數(shù)參予加減運(yùn)算，K為≥2的整數(shù)，Q為自然數(shù)；將這些數(shù)轉(zhuǎn)換成K或2K個(gè)偏Q進(jìn)制數(shù)；(本發(fā)明中，均采用2K個(gè)偏Q進(jìn)制數(shù)來(lái)展示)；第2步，對(duì)K或2K個(gè)數(shù)中的二個(gè)數(shù)，進(jìn)行偏Q進(jìn)制的求和運(yùn)算；從最低位開始或各位同時(shí)按位相加，即在某一位上，取這二個(gè)數(shù)按位相加；采用“對(duì)沖”、“劃Q”、累加，得到這二個(gè)數(shù)該位“按位加”和數(shù)；將此和數(shù)記入下一運(yùn)算層，作為“部份和”數(shù)；同時(shí)所得“偏Q進(jìn)位”，則存放到下一運(yùn)算層或本運(yùn)算層尚未運(yùn)算過(guò)的，任一數(shù)據(jù)行相鄰高位的空位或0位處；第3步，在上述某位的相鄰高位上，重復(fù)第2步的運(yùn)算；如此反復(fù)，直至二數(shù)最高位也已運(yùn)算為止；當(dāng)采用并行運(yùn)算時(shí)，二數(shù)各位同時(shí)進(jìn)行第2步及第3步運(yùn)算，則本步可跳越過(guò)去；第4步，取K或2K個(gè)數(shù)中的另二個(gè)數(shù)，進(jìn)行第2步及第3步運(yùn)算；如此反復(fù)，直至K或2K個(gè)數(shù)或運(yùn)算層中全部數(shù)均取完為止；當(dāng)僅剩下一個(gè)數(shù)時(shí)，則直接移至下一運(yùn)算層作為“部份和”數(shù)；第5步，在下一個(gè)運(yùn)算層中，將上述“按位和”數(shù)及“進(jìn)位”數(shù)進(jìn)行前述第2步、第3步、第4步求和運(yùn)算；如此反復(fù)，直至運(yùn)算層中，運(yùn)算后僅獲得一個(gè)數(shù)為止；則最后所得偏Q進(jìn)制加法運(yùn)算和數(shù)，即為所求K個(gè)普通Q進(jìn)制數(shù)加減運(yùn)算結(jié)果；或者，采用以下第二種步驟
第1步，設(shè)K個(gè)普通Q進(jìn)制數(shù)參予加減運(yùn)算，K為≥2的整數(shù)，Q為自然數(shù)；將這些數(shù)轉(zhuǎn)換成K或2K個(gè)偏Q進(jìn)制數(shù)；(本發(fā)明中，均采用2K個(gè)偏Q進(jìn)制數(shù)來(lái)展示)；第2步，從最低位開始，即在某一位上，取二數(shù)、K或2K個(gè)數(shù)同時(shí)相加；采用“對(duì)沖”、“劃Q”、累加；即在二數(shù)時(shí)，得到二個(gè)數(shù)該位“按位加”和數(shù)；將此和數(shù)記入下一運(yùn)算層，作為“部份和”數(shù)；同時(shí)所得“偏Q進(jìn)位”，則存放到下一運(yùn)算層或本運(yùn)算層尚未運(yùn)算過(guò)的，任一數(shù)據(jù)行相鄰高位的空位或0位處；第3步，在上述某位上，取K或2K個(gè)數(shù)中的另二個(gè)數(shù)，重復(fù)第2步的運(yùn)算；如此反復(fù)，直至K或2K個(gè)數(shù)或運(yùn)算層中全部數(shù)均取完為止；當(dāng)僅剩下一個(gè)數(shù)時(shí)，則直接移至下一運(yùn)算層作為“部份和”數(shù)；當(dāng)采用同一位上各數(shù)同時(shí)運(yùn)算時(shí)，同時(shí)進(jìn)行第2步及第3步運(yùn)算，則本步可跳越過(guò)去；這時(shí)在同一位上，對(duì)n個(gè)和為0的數(shù)先進(jìn)行“對(duì)沖”；然后，對(duì)n個(gè)和為mQ的數(shù)進(jìn)行“劃Q”；n為≥2的整數(shù)，m為整數(shù)；所得“偏Q進(jìn)位”，則存放到下一運(yùn)算層或本運(yùn)算層尚未運(yùn)算過(guò)的，任一數(shù)據(jù)行相鄰高位的空位或0位處；同一位上，余下各數(shù)進(jìn)行“累加”，或者直接移至下一運(yùn)算層；累加采用≥2的“多數(shù)累加”；當(dāng)采用普通二數(shù)“累加”時(shí)，則順序串行累加；第4步，在上述某位的相鄰高位上，重復(fù)第2步及第3步的運(yùn)算；如此反復(fù)，直至K或2K個(gè)數(shù)最高位也已運(yùn)算為止；第5步，在下一個(gè)運(yùn)算層中，對(duì)上述“按位和”數(shù)及“進(jìn)位”數(shù)進(jìn)行前述第2步、第3步、第4步求和運(yùn)算；如此反復(fù)，直至運(yùn)算層中，運(yùn)算后僅獲得一個(gè)數(shù)為止；則最后所得偏Q進(jìn)制加法運(yùn)算和數(shù)，即為所求K個(gè)普通Q進(jìn)制數(shù)加減運(yùn)算結(jié)果；或者，采用以下第三種步驟第1步，設(shè)K個(gè)普通Q進(jìn)制數(shù)參予加減運(yùn)算，K為≥2的整數(shù)，Q為自然數(shù)；將這些數(shù)轉(zhuǎn)換成K或2K個(gè)偏Q進(jìn)制數(shù)；(本發(fā)明中，均采用2K個(gè)偏Q進(jìn)制數(shù)來(lái)展示)；第2步，采用所謂“二維運(yùn)算”；即，在K或2K個(gè)數(shù)的各位上，同時(shí)進(jìn)行運(yùn)算；并且同時(shí)對(duì)每一位上，n個(gè)和為0的數(shù)進(jìn)行“對(duì)沖”；n為≥2的整數(shù)；第3步，采用所謂“二維運(yùn)算”；即，在K或2K個(gè)數(shù)的各位上，同時(shí)進(jìn)行運(yùn)算；并且同時(shí)對(duì)每一位上，n個(gè)和為mQ的數(shù)進(jìn)行“劃Q”；n為≥2的整數(shù)，m為整數(shù)；所得“偏Q進(jìn)位”，則存放到下一運(yùn)算層的，任一數(shù)據(jù)行相鄰高位的空位或0位處；
第4步，采用所謂“二維運(yùn)算”；即，在K或2K個(gè)數(shù)的各位上，同時(shí)進(jìn)行運(yùn)算；并且同時(shí)對(duì)每一位上，余下各數(shù)進(jìn)行“累加”，或者直接移至下一運(yùn)算層；累加采用≥2的“多數(shù)累加”；當(dāng)采用普通二數(shù)“累加”時(shí)，則順序串行累加；第5步，在下一個(gè)運(yùn)算層中，將上述“按位和”數(shù)及“進(jìn)位”數(shù)進(jìn)行前述第2步、第3步、第4步求和運(yùn)算；如此反復(fù)，直至運(yùn)算層中，運(yùn)算后僅獲得一個(gè)數(shù)為止；則最后所得偏Q進(jìn)制加法運(yùn)算和數(shù)，即為所求K個(gè)普通Q進(jìn)制數(shù)加減運(yùn)算結(jié)果。
偏Q進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法，其運(yùn)算為“偏Q進(jìn)制”運(yùn)算；其中，{0，±1，…，±(Q/2-1)，Q/2}Q進(jìn)制，Q為正偶數(shù)，稱為“含0偏對(duì)稱偏Q進(jìn)制”；{±1，…，±(Q-1)/2，(Q+1)/2}Q進(jìn)制，Q為正奇數(shù)，稱為“不含0偏對(duì)稱偏Q進(jìn)制”；當(dāng)不致誤解時(shí)，“偏Q進(jìn)制”即指“含0偏對(duì)稱偏Q進(jìn)制”。
偏Q進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法，其運(yùn)算采用“進(jìn)位行方法”；即在運(yùn)算過(guò)程中，將產(chǎn)生的進(jìn)位存放在相鄰高位“進(jìn)位行”中，然后與“按位和”一起進(jìn)行運(yùn)算。
偏Q進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法，對(duì)K個(gè)數(shù)中的n個(gè)數(shù)進(jìn)行求和運(yùn)算時(shí)，如果在某一位上，其中n個(gè)運(yùn)算數(shù)的按位加和為零，但產(chǎn)生進(jìn)位m(與n個(gè)數(shù)的和數(shù)符號(hào)一致)；n為≥2的整數(shù)，m為整數(shù)；進(jìn)位放入下一運(yùn)算層或本運(yùn)算層尚未運(yùn)算過(guò)的，任一數(shù)據(jù)行相鄰高位的空位或0位處；然后，將n個(gè)運(yùn)算數(shù)的某位均以邏輯方式置“0”，不再參加以后的運(yùn)算；這稱為“劃Q”；“劃Q”中m＝0時(shí)，稱為“對(duì)沖”；或者，不采用“對(duì)沖”及“劃Q”。
偏Q進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法，所述運(yùn)算數(shù)是偏Q進(jìn)制數(shù)，Q為自然數(shù)?？梢圆痪幋a；可以混數(shù)進(jìn)制數(shù)編碼；也可以全一碼來(lái)編碼，即將各個(gè)偏Q進(jìn)制數(shù)的每一位數(shù)S，都以|S|個(gè)1從最低位順序至高位排列來(lái)對(duì)應(yīng)，其余高位均為0，總位數(shù)則為Q/2或(Q+1)/2位；同時(shí)，將S的數(shù)符，即表示該位的數(shù)為正或負(fù)，作為相應(yīng)全一碼中每一位上的數(shù)符(參見第三部分增Q進(jìn)制及全一碼)；當(dāng)采用全一碼來(lái)編碼偏Q進(jìn)制數(shù)時(shí)，n個(gè)數(shù)加法僅為n個(gè)數(shù)中1或1的不重復(fù)排列；其全一碼編譯可以定碼長(zhǎng)或變碼長(zhǎng)。
根據(jù)本發(fā)明的另一個(gè)方面，提供一種偏Q進(jìn)制、進(jìn)位行“筆算工程”技術(shù)方案?；鞌?shù)進(jìn)制運(yùn)算可為前述方案一、方案二。本發(fā)明“筆算工程”技術(shù)方案以方案一來(lái)展示；筆算工程中的數(shù)字工程方法，可采用前述第一種或第二種步驟。這里，采用第二種步驟來(lái)展示。在運(yùn)算過(guò)程中，首先將普通Q進(jìn)制數(shù)換為偏Q進(jìn)制數(shù)一般形式。本發(fā)明中，均采用2K個(gè)偏Q進(jìn)制數(shù)來(lái)展示。然后進(jìn)行偏Q進(jìn)制、進(jìn)位行“偏進(jìn)方法PJF”的求和運(yùn)算。運(yùn)算結(jié)果為“偏Q進(jìn)制”的“偏Q數(shù)”。當(dāng)最終需要時(shí)，再將“偏Q數(shù)”轉(zhuǎn)換為普通Q進(jìn)制數(shù)；或者普通十進(jìn)制數(shù)。
新筆算工程技術(shù)方案中，采用“多重運(yùn)算”。即，多個(gè)數(shù)的加減在一次性運(yùn)算中完成。這樣，就徹底解決了“連減”及“連加減”的困難。同時(shí)，乘法本質(zhì)上就是“連加”，除法本質(zhì)上就是“連減”。因此，在乘除中，亦可運(yùn)用“多重運(yùn)算”來(lái)處理。
偏Q進(jìn)制、進(jìn)位行“筆算工程”中，運(yùn)算數(shù)是偏Q進(jìn)制數(shù)，Q為自然數(shù)。可以不編碼；可以混數(shù)進(jìn)制數(shù)編碼；也可以全一碼來(lái)編碼，即將各個(gè)偏Q進(jìn)制數(shù)的每一位數(shù)S，都以|S|個(gè)1從最低位順序至高位排列來(lái)對(duì)應(yīng)，其余高位均為0。總位數(shù)則為Q/2或(Q+1)/2位；同時(shí)，將S的數(shù)符，即表示該位的數(shù)為正或負(fù)，作為相應(yīng)全一碼中每一位上的數(shù)符；當(dāng)采用全一碼來(lái)編碼偏Q進(jìn)制數(shù)時(shí)，n個(gè)數(shù)加法僅為n個(gè)數(shù)中1或1的不重復(fù)排列；全一碼編譯可以定碼長(zhǎng)或變碼長(zhǎng)；本發(fā)明偏Q進(jìn)制、進(jìn)位行筆算工程中，采用變碼長(zhǎng)來(lái)展示。
技術(shù)方案采用偏Q進(jìn)制、進(jìn)位行方法，對(duì)K個(gè)數(shù)中的n個(gè)數(shù)進(jìn)行求和運(yùn)算時(shí)，如果在某一位上，其中n個(gè)運(yùn)算數(shù)的按位加和為零，但產(chǎn)生進(jìn)位m(與n個(gè)數(shù)的和數(shù)符號(hào)一致)；n為≥2的整數(shù)，m為整數(shù)；進(jìn)位放入下一運(yùn)算層或本運(yùn)算層尚未運(yùn)算過(guò)的，任一數(shù)據(jù)行相鄰高位的空位或0位處；然后，將n個(gè)運(yùn)算數(shù)的某位均以邏輯方式置“0”，不再參加以后的運(yùn)算；這稱為“劃Q”；“劃Q”中m＝0時(shí)，稱為“對(duì)沖”；或者，不采用“對(duì)沖”及“劃Q”。新筆算工程技術(shù)方案中，廣泛運(yùn)用“對(duì)沖”(約混)及“劃Q”運(yùn)算，用以提高運(yùn)算速度并簡(jiǎn)化運(yùn)算畫面。
具體實(shí)施例方式
第一部分偏Q進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法1.《進(jìn)位行方法》1.1進(jìn)位與《進(jìn)位行方法》在電子計(jì)算機(jī)等數(shù)值運(yùn)算中，運(yùn)算速度提高的關(guān)鍵之一，就在于“進(jìn)位”。進(jìn)位的獲得，進(jìn)位的存貯以及進(jìn)位的參予運(yùn)算都是至關(guān)重要的。“進(jìn)位”就是爭(zhēng)“速度”。在筆算工程中，還直接影響到“出錯(cuò)率”。本部分以筆算二程為例。
所謂《進(jìn)位行方法》就是，在運(yùn)算過(guò)程中，將產(chǎn)生的進(jìn)位存放在參予運(yùn)算與“按位和”數(shù)同等的位置上，然后與“按位和”一起進(jìn)行運(yùn)算。通常同運(yùn)算層中二數(shù)相加時(shí)，將各位上的進(jìn)位排列成一行，稱為“進(jìn)位行”。(運(yùn)算層的概念，見下節(jié)。)舉例如下，設(shè)二普通十進(jìn)制數(shù)求和，算式以豎式求和。如式三。
式三式四 式五個(gè)位運(yùn)算(6+8)＝14，其進(jìn)位1寫于下一行的高一位上。依此類推。式中二數(shù)相加時(shí)，各位上不計(jì)進(jìn)位的求和，稱為“按位加”。其和稱為“按位和”。按位和的數(shù)據(jù)行，稱為“行”。行與進(jìn)位行組成“運(yùn)算層”。式中一些“+”號(hào)已省去。以后可以知道，在混數(shù)進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法《混進(jìn)方法HJF》中，除第0運(yùn)算層外，各個(gè)“運(yùn)算層”只存在一種運(yùn)算，這就是“+”。故可以不必在這些運(yùn)算層中寫出“+”號(hào)。
1.2《進(jìn)位行方法》分析1.2.1二數(shù)求和的分析采用《進(jìn)位行方法》的加法運(yùn)算由上節(jié)可知①二數(shù)相加時(shí)，每一位上只有二個(gè)數(shù)相加；在進(jìn)位行中直接標(biāo)示進(jìn)位，不存在任何困難；②驗(yàn)算十分方便。
二數(shù)相加時(shí)，任意位上要么有進(jìn)位記為1，要么無(wú)進(jìn)位記為0；[引理二]二數(shù)相加時(shí)，任意位上的和可為0～9之一。但是，當(dāng)該位上有向高位進(jìn)位時(shí)，該位上的和只能為0～8之一，而不能為9。
由[引理一]和[引理二]可得[定理一]二數(shù)相加時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)某位上沒(méi)有向高位進(jìn)位時(shí)，該位上的和才可能出現(xiàn)9。
1.2.2層次概念及運(yùn)算層設(shè)二數(shù)求和。算式為式四、式五。由式四可見，運(yùn)算是分層次進(jìn)行的。運(yùn)算層將一個(gè)運(yùn)算解剖成子運(yùn)算。每一運(yùn)算層中，又將子運(yùn)算解剖成微運(yùn)算。微運(yùn)算僅完成一項(xiàng)簡(jiǎn)單運(yùn)算。這就是運(yùn)算的“層次”概念?！皩哟巍备拍钍菙?shù)學(xué)中的基本概念，《進(jìn)位行方法》正是建立在此基礎(chǔ)上。以往的加法運(yùn)算方法，本質(zhì)上也隱含“層次”概念。因此，《進(jìn)位行方法》中的“層次”，從總體上看并未增加運(yùn)算的復(fù)雜性。反之，以往的方法由于隱含了“層次”，反而進(jìn)一步增加了運(yùn)算的復(fù)雜性。這一點(diǎn)，也進(jìn)一步造成運(yùn)算速度被降低。二者對(duì)比，就會(huì)一清二楚。
在《進(jìn)位行方法》中，二數(shù)相加的各個(gè)運(yùn)算層，除第0運(yùn)算層外，可以合并為一個(gè)運(yùn)算層。如式五。進(jìn)一步分析如下。
1.2.3唯一的運(yùn)算層二數(shù)相加時(shí)，特別情況下會(huì)出現(xiàn)多次運(yùn)算層。各層有如下關(guān)系成立。
二數(shù)相加時(shí)，當(dāng)某位前一運(yùn)算層上有進(jìn)位時(shí)，其后各運(yùn)算層上均不可能出現(xiàn)進(jìn)位。(由引理一、二得)[引理四]二數(shù)相加時(shí)，當(dāng)某位后一運(yùn)算層上有進(jìn)位時(shí)，其前各運(yùn)算層上必?zé)o進(jìn)位。(由引理一、二得)[定理二]二數(shù)相加時(shí)，同一位各運(yùn)算層上，要么都無(wú)進(jìn)位，要么只能有一個(gè)進(jìn)位。(由引理三、四得)[推論]二數(shù)相加時(shí)，可以將全部各層進(jìn)位行合并為一個(gè)進(jìn)位行；除第0運(yùn)算層外，可以將各運(yùn)算層合并為一個(gè)運(yùn)算層。
1.2.4三數(shù)及三數(shù)以上求和分析設(shè)三數(shù)求和，算式為231+786+989＝2006(見式六)。又，設(shè)六數(shù)求和。算式為786+666+575+321+699+999＝4046(見式七)。操作要點(diǎn) 式六 式七①“劃Q”的運(yùn)用；所謂“劃Q”，即Q進(jìn)制的n個(gè)數(shù)在某位上相加時(shí)，其按位加和為零，但該位上產(chǎn)生進(jìn)位m(與n個(gè)數(shù)的和數(shù)符號(hào)一致)。n為≥2的整數(shù)，m為整數(shù)。進(jìn)位放入下一運(yùn)算層或本運(yùn)算層尚未運(yùn)算過(guò)的，任一數(shù)據(jù)行相鄰高位的空位或0位處；同時(shí)在某位上，該n個(gè)數(shù)均不再參加運(yùn)算。即，同一位上n個(gè)數(shù)和為mQ時(shí)，可將n個(gè)數(shù)均劃去，然后在高位空位或0位處補(bǔ)m。在十進(jìn)制時(shí)Q＝10，劃Q即為“劃十”。
②多個(gè)數(shù)相加，可出現(xiàn)二個(gè)及二個(gè)以上的運(yùn)算層。為了減少運(yùn)算層數(shù)，同一位上的同一運(yùn)算層空位或0位中，進(jìn)位及和數(shù)可以任意占位；一個(gè)運(yùn)算層中某位上的進(jìn)位，可以放入下一運(yùn)算層或本運(yùn)算層尚未運(yùn)算過(guò)的，任一數(shù)據(jù)行相鄰高位的空位或0位處；③盡量減少運(yùn)算層。a、較小的數(shù)，直接合并算；b、盡量在“配對(duì)”中進(jìn)位；c、盡量減少在第一運(yùn)算層上相加數(shù)的個(gè)數(shù)，盡量使第二及二以上運(yùn)算層不出現(xiàn)。
④同一位上，各數(shù)進(jìn)行“累加”，或者直接移至下一運(yùn)算層；累加采用≥2的“多數(shù)累加”；當(dāng)采用普通二數(shù)“累加”時(shí)，則順序串行累加；“相同數(shù)”、“連續(xù)數(shù)”等，可直接得“部分和”。
2.混數(shù)及混數(shù)進(jìn)制2.1《數(shù)制理論SZLL》2.1.1按同一種規(guī)則記錄數(shù)，便于用來(lái)在一個(gè)數(shù)系統(tǒng)中進(jìn)行運(yùn)算的數(shù)的制度，稱為“記數(shù)系統(tǒng)的制度”。簡(jiǎn)稱為“數(shù)制”。一個(gè)數(shù)的質(zhì)，首先就是由其所屬的數(shù)制來(lái)決定的。恩格思指出“單個(gè)的數(shù)在記數(shù)法中已經(jīng)得到了某種質(zhì)，而且質(zhì)是依照這種記數(shù)法來(lái)決定的?！薄耙磺袛?shù)的定律都取決于所采用的記數(shù)法，而且被這個(gè)記數(shù)法所決定。”數(shù)制是數(shù)的屬性。不存在沒(méi)有所屬數(shù)制的數(shù)，也不存在沒(méi)有所屬數(shù)的數(shù)制。
《數(shù)制理論SZLL》就是研究數(shù)制的生成、分類、分析、比較、變換、計(jì)算等的科學(xué)。它也是研究數(shù)制在數(shù)論、群論、集合論、博弈論等數(shù)學(xué)其他分支；及其在多值邏輯、Walsh函數(shù)、《狹義及廣義模隨論MSL》等各鄰近學(xué)科；特別是在數(shù)字工程領(lǐng)域的計(jì)算機(jī)、筆算工程及算盤中應(yīng)用的科學(xué)。它是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論之一。數(shù)學(xué)科學(xué)，即“數(shù)”的科學(xué)?！皵?shù)”的基本為“數(shù)制”。因此，《數(shù)制理論SZLL》是“數(shù)論”的基礎(chǔ)，是“核心數(shù)學(xué)”的“核心”之一。
2.1.2位值制數(shù)制設(shè)，構(gòu)造一個(gè)數(shù)系，其中的數(shù)以各不相同位置上的“數(shù)符”來(lái)表示。“數(shù)符”又稱“數(shù)字”。數(shù)字通常從右向左水平排列。對(duì)于每個(gè)數(shù)位上的全部數(shù)字均給定一個(gè)單位值(又稱“位值”)，其值由低(小)到高(大)。以此表示整個(gè)數(shù)系中每一個(gè)數(shù)的數(shù)制，稱為“位值制數(shù)制”。我們以下討論的數(shù)制，都是“位值制數(shù)制”。在不致誤解時(shí)，也直接簡(jiǎn)稱為“數(shù)制”。
2.1.3數(shù)制的三大要素?cái)?shù)位I，數(shù)元集Zi和權(quán)Li。
a、數(shù)位I表示數(shù)制中數(shù)的各位數(shù)字的位置。I為序數(shù)，各位從右自左來(lái)表示。即，i＝1，2，3，…表示該數(shù)的第1，2，3，…位。
b、數(shù)元集Zi，表示第I位上的“數(shù)元”組成的集合。同一數(shù)制系統(tǒng)中，各個(gè)數(shù)同一位上不同符號(hào)的全體，組成一個(gè)該位上的數(shù)符集。該數(shù)符集中的元素，稱為“數(shù)的元素”。簡(jiǎn)稱為“數(shù)元”。因此，該數(shù)符集稱為“數(shù)元集Z”。數(shù)元集Zi可以隨著i的取值不同而不同，也可以相同。當(dāng)各位上的Zi均為相同的Z時(shí)，相應(yīng)的數(shù)制稱為“單一集數(shù)制”或“單一數(shù)制”；當(dāng)各位上的Zi不全相同時(shí)，相應(yīng)的數(shù)制稱為“聯(lián)合集數(shù)制”或“聯(lián)合數(shù)制”。
數(shù)元集Zi中的數(shù)元可為復(fù)數(shù)或其他多種多樣符號(hào)。在《數(shù)制理論》中，以aj來(lái)表示數(shù)元(a1，a2，a3，…)，j為自然數(shù)。以iaj表示第i位上數(shù)元aj。約定，aj＝-A(A為復(fù)數(shù))時(shí)，可表示為aj＝A。數(shù)元集Zi以集合{a1，…，aj，…}來(lái)表示，即Zi＝{a1，…，aj，…}；或者，Zi以文字表明其特征。為便于計(jì)算，通常取數(shù)元aj為整數(shù)，以阿拉伯?dāng)?shù)字來(lái)表示。
數(shù)元集Zi的基數(shù)Pi(Pi為自然數(shù))，表示了集的元素總數(shù)。恩格思指出它“不但決定它自己的質(zhì)，而且也決定其他一切數(shù)的質(zhì)?！盤i的取值不同，標(biāo)示了數(shù)元集Zi的變化。各位上的Pi為相同的P，則稱為“單一基數(shù)”；否則，稱為“聯(lián)合基數(shù)”。
在《數(shù)制理論》的“位值制數(shù)制”中，定義數(shù)中的“空位”表示“無(wú)”，其位值為0，稱為“空位0”?！翱瘴?”是0的一種，是0的一種表達(dá)形式，是一種隱含的0。通常不加以標(biāo)明；在數(shù)元集中，“空位”是一種特殊的數(shù)元，稱為“空位元”。簡(jiǎn)稱為“空元”?！翱赵笔敲恳粋€(gè)“位值制數(shù)制”數(shù)元集均有的數(shù)元，其在數(shù)元集中的表示即為“空位”。通常不加以標(biāo)明?！翱赵笔菙?shù)元集中，唯一通常不計(jì)入數(shù)元aj，也不計(jì)個(gè)數(shù)，即個(gè)數(shù)為0的數(shù)元；另一方面，在特別情況下，為統(tǒng)一表述，則將其計(jì)入數(shù)元，其個(gè)數(shù)計(jì)為1。
c、權(quán)Li，表示第i位上的位值大小。特稱此位值為“權(quán)Li”。Li為實(shí)數(shù)。為便于計(jì)算，通常取權(quán)Li為整數(shù)，特別是自然數(shù)，以阿拉伯?dāng)?shù)字來(lái)表示。不同的Li，就決定了不同的位值。在“編碼理論”中，“編碼”的主要特征就在于權(quán)Li。
實(shí)際中常見的權(quán)Li采用所謂“冪權(quán)”。即，令Li＝Qi(i-1)，Qi為實(shí)數(shù)。為便于計(jì)算，通常取Qi為自然數(shù)。Qi可以阿拉伯?dāng)?shù)字來(lái)表示，也可以中文小寫數(shù)字來(lái)表示。常見各位Li均為冪權(quán)，而且成等比Q的數(shù)制。Q稱為數(shù)制冪權(quán)的“底數(shù)”或數(shù)制的“底數(shù)”。底數(shù)Q的不同，決定了不同的Li，從而決定了不同的位值。Qi可以隨著i的取值不同而不同，也可以相同。當(dāng)各位上的數(shù)制冪權(quán)Qi，其底數(shù)均為相同的Q時(shí)，相應(yīng)的數(shù)制稱為“單一Q進(jìn)制”。簡(jiǎn)稱為“Q進(jìn)制”或“進(jìn)制”。當(dāng)各位上的數(shù)制冪權(quán)Qi，其底數(shù)不全相同時(shí)，相應(yīng)的數(shù)制稱為“聯(lián)合Q進(jìn)制”。另一種常用的權(quán)Li采用“等權(quán)”，即各位上的權(quán)L相同。
根據(jù)上述數(shù)制的三大要素，數(shù)制可以有無(wú)窮無(wú)盡的種類。
2.2混數(shù)及混數(shù)進(jìn)制當(dāng)數(shù)元集Zi中，含數(shù)元0時(shí)，該相應(yīng)數(shù)制被稱為“含0數(shù)制”。對(duì)于進(jìn)制，則稱為“含0進(jìn)制”；當(dāng)數(shù)元集Zi中，不含數(shù)元0時(shí)，該相應(yīng)數(shù)制被稱為“不含0數(shù)制”。對(duì)于進(jìn)制，則稱為“不含0進(jìn)制”。
當(dāng)數(shù)元集Zi中，既有正數(shù)元，又有負(fù)數(shù)元時(shí)，相應(yīng)數(shù)制被稱為“混數(shù)數(shù)制”。對(duì)于進(jìn)制，則稱為“混數(shù)進(jìn)制”；混數(shù)數(shù)制中的數(shù)，稱為“混數(shù)”?！盎鞌?shù)”中既有正數(shù)元又有負(fù)數(shù)元的數(shù)，稱“純混數(shù)”。當(dāng)數(shù)元集Zi中，正負(fù)數(shù)元是相反數(shù)時(shí)，相應(yīng)數(shù)制稱為“對(duì)稱數(shù)制”。對(duì)于進(jìn)制，則稱為“對(duì)稱進(jìn)制”。
當(dāng)數(shù)元集Zi中，全部數(shù)元為連續(xù)整數(shù)成為“整數(shù)段”時(shí)，該相應(yīng)數(shù)制被稱為“整數(shù)段數(shù)制”。對(duì)于進(jìn)制，則稱為“整數(shù)段進(jìn)制”恩格斯指出“零比其他一切數(shù)都有更豐富的內(nèi)容。”鑒于“0”的這種特殊重要性，在《數(shù)制理論》中，含0整數(shù)段去掉0時(shí)，仍作為一種特殊的整數(shù)段。
2.3偏Q進(jìn)制{Q’}在《數(shù)制理論》中建立了“代數(shù)數(shù)制系統(tǒng)”。一個(gè)數(shù)制的名稱采用“Zi Li”。對(duì)Q進(jìn)制，則為ZiQi；單一數(shù)制時(shí)，則為ZLi；單一數(shù)制中聯(lián)合Q進(jìn)制時(shí)，則為ZQi。單一數(shù)制中Q進(jìn)制時(shí)，則為ZQ。其中，Q以中文小寫數(shù)來(lái)表示。
對(duì)于含0的普通Q進(jìn)制，Z＝{0，1，…，(Q-1)}。故ZQ＝{0，1，…，(Q-1)}Q，Q為＞1的整數(shù)，稱為“含0普通Q進(jìn)制”。符號(hào)表示為{含0，Q}；對(duì)于不含0的{1，2，…，Q}Q，Q為自然數(shù)，稱為“不含0普通Q進(jìn)制”。符號(hào)表示為{不含0，Q}。
含0和不含0的普通Q進(jìn)制，合起來(lái)統(tǒng)稱為“普通Q進(jìn)制”，Q為自然數(shù)。符號(hào)表示為{Q}。當(dāng)不致誤解時(shí)，“含0普通Q進(jìn)制”亦可稱為“普通Q進(jìn)制”，亦以符號(hào){Q}來(lái)表示。故可以符號(hào){二}及{十}來(lái)表示普通二進(jìn)制及普通十進(jìn)制。
在任一個(gè)具有整數(shù)段數(shù)元集的Q進(jìn)制數(shù)制中，當(dāng)P＝Q時(shí)，自然數(shù)在該數(shù)制中可以連續(xù)唯一的形態(tài)表達(dá)，稱為“連續(xù)數(shù)制”，又稱“普通數(shù)制”；
當(dāng)P＞Q時(shí)，自然數(shù)在該數(shù)制中可以連續(xù)，但有時(shí)以多種形態(tài)表達(dá)，稱為“重復(fù)數(shù)制”，或“增強(qiáng)數(shù)制”。對(duì)于Q進(jìn)制，又稱為“增強(qiáng)Q進(jìn)制”，簡(jiǎn)稱為“增Q進(jìn)制”；當(dāng)P＜Q時(shí)，自然數(shù)在該數(shù)制中只能斷續(xù)的形態(tài)表達(dá)，稱為“斷續(xù)數(shù)制”，或“減弱數(shù)制”。對(duì)于Q進(jìn)制，又稱為“減弱Q進(jìn)制”，簡(jiǎn)稱為“減Q進(jìn)制”。
本文中的混數(shù)進(jìn)制主要為以下幾類。
對(duì)于含0的{0，±1，…，±(Q/2-1)，Q/2}Q進(jìn)制，Q為正偶數(shù)，稱為“含0偏Q進(jìn)制”。符號(hào)表示為{含0，Q’}；對(duì)于不含0的{±1，±2，…，±(Q-1)/2，(Q+1)/2}Q，Q為正奇數(shù)，稱為“不含0偏Q進(jìn)制”。符號(hào)表示為{不含0，Q’}。
含0和不含0的偏Q進(jìn)制，合起來(lái)統(tǒng)稱為“偏Q進(jìn)制”，Q為自然數(shù)。符號(hào)表示為{Q’}。當(dāng)不致誤解時(shí)，“含0偏Q進(jìn)制”亦可稱為“偏Q進(jìn)制”，亦以符號(hào){Q’}來(lái)表示。故可以符號(hào){十’}及{二’}來(lái)表示“偏十進(jìn)制”及“偏二進(jìn)制”。在《數(shù)制理論》中，{十’}的名稱是“單一基數(shù)P＝11，含0，整數(shù)段，對(duì)稱的十進(jìn)制”?？蓪憺閧十一，含0，整數(shù)段，對(duì)稱}十進(jìn)制，或者寫為{0，±1，±2，…，±5}十進(jìn)制。一般情況下，進(jìn)一步符號(hào)表示為{十’}，稱為“偏十進(jìn)制”；{二’}的名稱是“單一基數(shù)P＝3，含0，整數(shù)段，對(duì)稱的二進(jìn)制”?？蓪憺閧三，含0，整數(shù)段，對(duì)稱}二進(jìn)制，或者寫為{0，±1}二進(jìn)制。一般情況下，進(jìn)一步符號(hào)表示為{二’}，稱為“偏二進(jìn)制”。
2.4混數(shù)編碼當(dāng)A進(jìn)制數(shù)元以B進(jìn)制數(shù)等來(lái)編碼時(shí)，A進(jìn)制數(shù)按位排列成相應(yīng)的B進(jìn)制數(shù)等。這稱為“以B進(jìn)制數(shù)等編碼的A進(jìn)制數(shù)”，簡(jiǎn)稱為“B編碼的A數(shù)”，或“編碼B數(shù)”，或“編碼數(shù)”。例，{十}328＝{二}101001000；其“編碼{二}數(shù)”為0011，0010，1000。如上述“編碼{0，±1}二進(jìn)制數(shù)”，即指以{0，±1}二進(jìn)制(其特況為普通二進(jìn)制)數(shù)來(lái)編碼的“編碼數(shù)”。所謂“編碼B數(shù)”的運(yùn)算，即為“編碼B進(jìn)制”運(yùn)算。這時(shí)，A進(jìn)制數(shù)的位與位間為A進(jìn)制運(yùn)算，但每位中則為B進(jìn)制運(yùn)算。A進(jìn)制數(shù)元以B進(jìn)制數(shù)等來(lái)編碼時(shí)，所需B進(jìn)制數(shù)的最多位數(shù)，稱為“碼長(zhǎng)”。固定的“碼長(zhǎng)”，稱為“定碼長(zhǎng)”；如最高位0不加以標(biāo)明，使之成為“空位0”時(shí)，相應(yīng)“碼長(zhǎng)”是變化的，稱為“變碼長(zhǎng)”。
偏Q進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法，所述運(yùn)算數(shù)是偏Q進(jìn)制數(shù)，Q為自然數(shù)?？梢圆痪幋a；可以混數(shù)進(jìn)制數(shù)編碼；也可以全一碼來(lái)編碼，即將各個(gè)偏Q進(jìn)制數(shù)的每一位數(shù)S，都以|S|個(gè)1從最低位順序至高位排列來(lái)對(duì)應(yīng)，其余高位均為0，總位數(shù)則為Q/2或(Q+1)/2位；同時(shí)，將S的數(shù)符，即表示該位的數(shù)為正或負(fù)，作為相應(yīng)全一碼中每一位上的數(shù)符；當(dāng)采用全一碼來(lái)編碼偏Q進(jìn)制數(shù)時(shí)，n個(gè)數(shù)加法僅為n個(gè)數(shù)中1或1的不重復(fù)排列；其全一碼編譯可以定碼長(zhǎng)或變碼長(zhǎng)。
3.《偏進(jìn)方法PJF》及其偏十進(jìn)制{十’}四則運(yùn)算。
采用混數(shù)進(jìn)制和《進(jìn)位行方法》來(lái)進(jìn)行有理數(shù)運(yùn)算的方法，稱為《混數(shù)進(jìn)制、進(jìn)位行方法》，簡(jiǎn)稱為《混進(jìn)方法HJF》。采用偏Q進(jìn)制和《進(jìn)位行方法》來(lái)進(jìn)行有理數(shù)運(yùn)算的方法，稱為《偏Q進(jìn)制、進(jìn)位行方法》；簡(jiǎn)稱為《偏進(jìn)方法PJF》。當(dāng)用于算盤或筆算數(shù)字工程，采用的是{十’}偏十進(jìn)制等的偏進(jìn)方法PJF》。當(dāng)用于處理器，特別是電子計(jì)算機(jī)中時(shí)，采用的是{二’}偏二進(jìn)制以及{十’}偏十進(jìn)制等的《偏進(jìn)方法PJF》。設(shè)K個(gè)普通Q進(jìn)制數(shù)參予加減運(yùn)算，K為≥2的整數(shù)，Q為自然數(shù)；將這些數(shù)轉(zhuǎn)換成K或2K個(gè)偏Q進(jìn)制數(shù)；混數(shù)進(jìn)制運(yùn)算可為前述方案之一；本發(fā)明中，《混進(jìn)方法HJF》采用方案一，以筆算工程來(lái)展示；可采用前述第一種或第二種步驟。這里，采用第二種步驟。
首先，將K個(gè){Q}數(shù)轉(zhuǎn)換為K或2K個(gè){Q’}數(shù)。
(一)以含0的{Q}→{Q’}數(shù)轉(zhuǎn)換為例{Q}＝{0，1，…，(Q-1)}Q，Q為＞1的整數(shù)……①{Q’}＝{0，±1，…，±(Q/2-1)，Q/2}Q。Q為正偶數(shù)……②由①及②可知，Q為≥2的偶數(shù)。
Q≥2，2Q≥2+Q，Q≥Q/2+1，∴(Q-1)≥Q/2當(dāng)Q＝2時(shí)，(Q-1)＝Q/2，即以絕對(duì)值而言，{二}最大數(shù)元所表示{二}數(shù)，等于{二’}最大數(shù)元所表示{二}數(shù)；當(dāng)Q為＞2的偶數(shù)時(shí)，(Q-1)＞Q/2，即以絕對(duì)值而言，{Q}最大數(shù)元所表示{Q}數(shù)，總是大于{Q’}最大數(shù)元所表示{Q}數(shù)。這時(shí){Q}數(shù)元(Q-1)＝{Q’}11。即，{Q}數(shù)元(Q-1)轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的{Q’}數(shù)，為兩位數(shù)11。其中，高位實(shí)質(zhì)是“進(jìn)位”。
由此可知，一個(gè){Q}數(shù)轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的{Q’}數(shù)，當(dāng)Q＝2時(shí)，仍為一個(gè){Q’}數(shù)；當(dāng)Q為＞2的偶數(shù)時(shí)，可統(tǒng)一成為二個(gè){Q’}數(shù)之和。其中一個(gè){Q’}數(shù)，即為“進(jìn)位行”數(shù)。K個(gè){Q}數(shù)轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的{Q’}數(shù)，當(dāng)Q＝2時(shí)，仍為K個(gè){Q’}數(shù)；當(dāng)Q為＞2的偶數(shù)時(shí)，可統(tǒng)一成為2K個(gè){Q’}數(shù)之和。
(二)對(duì)于不含0的情況，Q為正奇數(shù)?？梢宰C明，有類似的結(jié)論。
(三)如已經(jīng)將一個(gè){Q}數(shù)，另行轉(zhuǎn)換為一個(gè){Q’}數(shù)，則K個(gè){Q}數(shù)轉(zhuǎn)換為K個(gè){Q’}數(shù)。
本發(fā)明中，均采用2K個(gè)偏Q進(jìn)制數(shù)來(lái)展示。
3.1{十’}的加法例123+344＝433 (見式八)式中求得和為433。當(dāng)需要轉(zhuǎn)化為普通十進(jìn)制{十}數(shù)時(shí)，和為427。一般來(lái)說(shuō)，所求和433不必轉(zhuǎn)化(特別是作為計(jì)算過(guò)程中間結(jié)果時(shí))。確需轉(zhuǎn)化時(shí)，方法見4.1轉(zhuǎn)換法則。
式八 式九式十3.2{十’}的減法3.2.1例123-344＝123+344＝341例112+144-32-125+133-54＝132(見式九)首先減法化為加法來(lái)運(yùn)算。這一來(lái)實(shí)際計(jì)算中，加減就合并為加法了。這就消除了通常連加減的困難，這是由于混數(shù)的特性所決定。
3.2.2“約混”。這是指同一位上的n個(gè)數(shù)求和時(shí)，若和數(shù)為零，則這n個(gè)數(shù)可以消去?！凹s混”也可稱為“對(duì)消”或“對(duì)沖”。即，“劃Q”中m＝0時(shí)，稱為“對(duì)沖”。在算式中，該位上的這n個(gè)數(shù)，可以斜線劃去，不再參加以后的運(yùn)算。在實(shí)際運(yùn)算中，采用先“對(duì)沖”、后“劃Q”、再“累加”，來(lái)獲得偏Q數(shù)的結(jié)果。
3.3{十’}的乘法例242×131＝11502(見式十)3.4{十’}的除法例14332÷23＝251……1要點(diǎn)①式十一采用原普通除法，現(xiàn)采用四則統(tǒng)一算式。如式十二。
②式十二中由于采用混數(shù)，可使除法中的“減”過(guò)程變?yōu)椤凹印边^(guò)程。
為了進(jìn)一步去掉“減”過(guò)程的思路，進(jìn)一步還可以令被除數(shù)變號(hào)；然后，整個(gè)“減”過(guò)程完全變成“加”過(guò)程。這可使整個(gè)運(yùn)算的復(fù)雜性進(jìn)一步降低。以后，除法就以此來(lái)進(jìn)行。應(yīng)該注意，此時(shí)若出現(xiàn)余數(shù)，則要將該余數(shù)變號(hào)后，才是最終運(yùn)算結(jié)果的余數(shù)。
式十一 式十二 式十三3.4{十’}的除法例14332÷23＝251……1要點(diǎn)①式十一采用原普通除法，現(xiàn)采用四則統(tǒng)一算式。如式十二。
②式十二中由于采用混數(shù)，可使除法中的“減”過(guò)程變?yōu)椤凹印边^(guò)程。
為了進(jìn)一步去掉“減”過(guò)程的思路，進(jìn)一步還可以令被除數(shù)變號(hào)；然后，整個(gè)“減”過(guò)程完全變成“加”過(guò)程。這可使整個(gè)運(yùn)算的復(fù)雜性進(jìn)一步降低。以后，除法就以此來(lái)進(jìn)行。應(yīng)該注意，此時(shí)若出現(xiàn)余數(shù)，則要將該余數(shù)變號(hào)后，才是最終運(yùn)算結(jié)果的余數(shù)。
3.5四則運(yùn)算的特點(diǎn)①加減法合并為加法。
②乘除方法簡(jiǎn)單；除法中的“減”過(guò)程可變?yōu)椤凹印边^(guò)程；除法中的試商過(guò)程，可變?yōu)橛柘仍O(shè)定的迭代過(guò)程。
③四則運(yùn)算加減乘除，均可全面地顯著提高運(yùn)算速度。
④加強(qiáng)運(yùn)算正確性的保障，在“筆算工程”中，大大降低筆算的出錯(cuò)率。
4.《偏十進(jìn)制》{十’}與《普通十進(jìn)制》{十}的關(guān)系。
4.1{十’}與{十}數(shù)的轉(zhuǎn)換法這里指整數(shù)的情況，例如{十’}222324＝{十}221716(式十三)。{十}數(shù)需經(jīng)表一轉(zhuǎn)換成為{十’}數(shù)。
{十’}數(shù)轉(zhuǎn)換成{十}數(shù)。方法有幾種一種是將{十’}數(shù)變?yōu)橐徽回?fù)的二個(gè){十}數(shù)求和。這有好多方式。其中，典型的是將該{十’}數(shù)中各正數(shù)字位及0位作為一正{十}數(shù)，而將各負(fù)數(shù)字位作為一負(fù){十}數(shù)。例{十’}222324＝{十}222020-304＝221716；再一種是在該數(shù)的各位上，使正數(shù)不變；負(fù)數(shù)變?yōu)槠浣^對(duì)值對(duì)10取“補(bǔ)”數(shù)，同時(shí)在相鄰的高位減1(即加1)。另一種方法是在該數(shù)的各位上，連續(xù)正數(shù)字(或0)的數(shù)字段照寫不變。如222×2×。但，當(dāng)其不在{十’}數(shù)末尾(個(gè)位)時(shí)，則最低位加1；連續(xù)負(fù)數(shù)字的數(shù)字段，則使負(fù)數(shù)字變?yōu)槠浣^對(duì)值對(duì)9取“補(bǔ)”數(shù)，如×××6×5。然后，在其最低位加1。這樣，求得結(jié)果為221716，即為相應(yīng){十}數(shù)。
當(dāng)需轉(zhuǎn)換的{十’}數(shù)首位為負(fù)，即該數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，則將該數(shù)的相反數(shù)轉(zhuǎn)換成{十}數(shù)，然后取此{(lán)十}數(shù)的符號(hào)為負(fù)即可。
4.2{十’}與{十}對(duì)照表及其說(shuō)明(見表一)說(shuō)明表一中相應(yīng)無(wú)重復(fù)數(shù)的數(shù)制稱為偏Q進(jìn)制{Q’}，Q＝10的情況。
4.3{十’}與{十}關(guān)系分析4.3.1{十}數(shù)與{十’}數(shù)的關(guān)系是“一一對(duì)應(yīng)”關(guān)系。{十’}數(shù)轉(zhuǎn)換為{十}數(shù)，只能化為相應(yīng)唯一的一個(gè)數(shù)。這是因?yàn)?，{十’}數(shù)可經(jīng){十}數(shù)加減直接獲得，而{十}數(shù)加減運(yùn)算后的結(jié)果是唯一的。反之，{十}數(shù)也只能化為相應(yīng)唯一的{十’}數(shù)。

表一{十’}與{十}數(shù)對(duì)照表4.3.2由此，可建立一種{十’}數(shù)與{十}數(shù)的互為映射關(guān)系。對(duì)于運(yùn)算系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，{十}與{十’}數(shù)系統(tǒng)“同構(gòu)”。相應(yīng){十}數(shù)的各種基本運(yùn)算性質(zhì)，亦在{十’}數(shù)系統(tǒng)中成立。
4.3.3{十’}中P＝Q，因而在該數(shù)制中，自然數(shù)是連續(xù)唯一形態(tài)表達(dá)。它沒(méi)有多樣性，也缺少了相應(yīng)的靈活性。
4.3.4應(yīng)當(dāng)指出，顯然，上述對(duì){十}與{十’}的分析，完全相應(yīng)于{Q}與{Q’}的分析，因?yàn)?十}與{Q}是同構(gòu)的。由此可知①{Q}數(shù)與{Q’}數(shù)的關(guān)系是“一一對(duì)應(yīng)”。②{Q}與{Q’}數(shù)系統(tǒng)“同構(gòu)”。相應(yīng){Q}數(shù)系統(tǒng)的各種基本運(yùn)算性質(zhì)，亦在{Q’}數(shù)系統(tǒng)中成立。
5.綜合上述，可有如下簡(jiǎn)明結(jié)論偏Q進(jìn)制{Q’}及《偏進(jìn)方法PJF》在數(shù)字工程中，可顯著提高運(yùn)算速度，而且大大降低筆算的出錯(cuò)率。它正是錢學(xué)森指出的數(shù)學(xué)第三層次“直接應(yīng)用的工程技術(shù)”。這種“工程技術(shù)”與數(shù)字計(jì)算工程緊密結(jié)合的方法，稱為“偏Q進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法”。
第二部分偏Q進(jìn)制、進(jìn)位行筆算工程技術(shù)方案(一)筆算工程中，數(shù)值運(yùn)算在原理正確的前提下，最重要的有二點(diǎn)一點(diǎn)是盡可能不出錯(cuò)，一點(diǎn)是希望運(yùn)算速度盡可能快。然而，在實(shí)踐中，這二點(diǎn)又常常處于對(duì)立矛盾狀態(tài)。因?yàn)橐怀鲥e(cuò)，常常只好降低運(yùn)算速度。反之，要快速又常常出錯(cuò)。
制約上述二點(diǎn)的要害在哪兒？要害就在于“進(jìn)退位”。運(yùn)用前述偏Q進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法的筆算工程，可以在數(shù)值運(yùn)算過(guò)程中，使得各運(yùn)算層次上的概念更簡(jiǎn)單、更基本、更清晰。同時(shí)，相應(yīng)的操作可以更方便。這就使數(shù)值運(yùn)算的易錯(cuò)性明顯減少，而且運(yùn)算速度得以明顯提高。
(二)由于人類最常用的數(shù)是普通十進(jìn)制數(shù)，因此，基礎(chǔ)數(shù)學(xué)都是應(yīng)用普通十進(jìn)制數(shù)。新筆算工程技術(shù)方案采用了偏Q進(jìn)制{Q’}中的偏十進(jìn)制{十’}，來(lái)代替普通十進(jìn)制{十}進(jìn)行運(yùn)算。筆算工程技術(shù)方案，又進(jìn)一步采用偏十進(jìn)制{十’}的《偏進(jìn)方法PJF》。混數(shù)方法與進(jìn)位行方法的結(jié)合，使二者正好互補(bǔ)，互相促進(jìn)。因此，在《偏進(jìn)方法PJF》中，運(yùn)算速度大大提高；同時(shí)，在筆算工程中，還使出錯(cuò)率大大降低。本發(fā)明中，均采用2K個(gè)偏Q進(jìn)制數(shù)來(lái)展示?；鞌?shù)進(jìn)制運(yùn)算可為前述方案一、方案二。本發(fā)明“筆算工程”技術(shù)方案以方案一來(lái)展示；筆算工程中的數(shù)字工程方法，可采用前述第一種或第二種步驟。這里，采用第二種步驟來(lái)展示。
(三)新筆算工程技術(shù)方案中，普遍采用“多重運(yùn)算”。即，多個(gè)數(shù)的加減在一次性運(yùn)算中完成。這樣，就徹底解決了“連減”及“連加減”的困難。同時(shí)，乘法本質(zhì)上就是“連加”，除法本質(zhì)上就是“連減”。因此，在乘除中，亦可運(yùn)用“多重運(yùn)算”來(lái)處理。
(四)新筆算工程技術(shù)方案中，廣泛運(yùn)用“對(duì)沖”(約混)及“劃Q”運(yùn)算，用以提高運(yùn)算速度并簡(jiǎn)化運(yùn)算畫面。對(duì)K個(gè)偏Q進(jìn)制數(shù)中的n個(gè)數(shù)進(jìn)行求和運(yùn)算時(shí)，如果在某一位上，其中n個(gè)運(yùn)算數(shù)的“按位和”為零，但產(chǎn)生進(jìn)位m(與n個(gè)數(shù)該位上的和數(shù)符號(hào)一致)；n為≥2的整數(shù)，m為整數(shù)；進(jìn)位放入下一運(yùn)算層或本運(yùn)算層尚未運(yùn)算過(guò)的，任一數(shù)據(jù)行相鄰高位的空位或0位處；然后，將n個(gè)運(yùn)算數(shù)的某位均以邏輯方式置“0”，不再參加以后的運(yùn)算；這稱為“劃Q”；“劃Q”中m＝0時(shí)，稱為“對(duì)沖”。
(五)偏Q進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法中，運(yùn)算數(shù)是偏Q進(jìn)制數(shù)，Q為自然數(shù)。常采用全一碼編碼，廣泛運(yùn)用“對(duì)沖”。全一碼編譯可以定碼長(zhǎng)或變碼長(zhǎng)；本發(fā)明偏Q進(jìn)制、進(jìn)位行筆算工程中，采用變碼長(zhǎng)來(lái)展示。但是，在筆算工程的應(yīng)用中，由于全一碼編碼數(shù)的字長(zhǎng)較長(zhǎng)，故雖可用全一碼來(lái)編碼，亦可不另行編碼。
理論和實(shí)踐證明，偏Q進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法的筆算工程是一種優(yōu)異的筆算工程技術(shù)方案。從根本上來(lái)講，它使+-×÷四則運(yùn)算，也就是有理數(shù)運(yùn)算，全面、系統(tǒng)地改觀。它方便易行，即使對(duì)于初學(xué)者，加減運(yùn)算也可一下子擴(kuò)大到任意多個(gè)數(shù)，并且每個(gè)數(shù)可擴(kuò)大到任意多位，根本無(wú)需加以特別的限制。它的低出錯(cuò)率和快速，順利地實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)計(jì)算及其教育的快樂(lè)原則。它的誕生有利于千秋萬(wàn)代的數(shù)學(xué)及教育基業(yè)。
小結(jié)偏Q進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法用于筆算工程，是切實(shí)可行的。筆算工程新技術(shù)方案可以大大提高運(yùn)算速度，同時(shí)大大降低出錯(cuò)率。偏Q進(jìn)制特別是偏十進(jìn)制{十’}，在筆算工程中的應(yīng)用，相對(duì)于普通十進(jìn)制{十}在筆算工程中的應(yīng)用是一場(chǎng)革命。
這種筆算工程新技術(shù)方案在人腦筆算中，特別是在教科書中具有科教上的重大意義。考慮到今天以及未來(lái)，基礎(chǔ)數(shù)學(xué)及其教育，在人類生活、生產(chǎn)、教學(xué)等等領(lǐng)域中的廣泛應(yīng)用及重大意義，那么，筆算工程新技術(shù)方案的用途和價(jià)值就是不言而喻的了。
第三部分增Q進(jìn)制及全一碼1.增Q進(jìn)制1.1定義及符號(hào)在一個(gè)Q進(jìn)制數(shù)制中，凡P＞Q的進(jìn)制，特別是P＝Q+1＞Q的進(jìn)制，稱為“增強(qiáng)Q進(jìn)制”。Q為自然數(shù)。簡(jiǎn)稱為“增Q進(jìn)制”。其中，含0整數(shù)段、不對(duì)稱增Q進(jìn)制稱為“含0不對(duì)稱增Q進(jìn)制”。顯然，{0，1，2}二進(jìn)制，即為“含0不對(duì)稱增二進(jìn)制”；{1，0，1}二進(jìn)制即為“含0對(duì)稱增二進(jìn)制”。此外，還有其他增二進(jìn)制。
1.2{0，1}一進(jìn)制及其運(yùn)算增Q進(jìn)制中，當(dāng)Q＝1時(shí)，即為增一進(jìn)制。增一進(jìn)制中，主要有二種。其一是{0，1}一進(jìn)制，它可表示全部非負(fù)整數(shù)。其元器件為二態(tài)器件。其二是{1，1}一進(jìn)制，它可表示全部整數(shù)。其元器件亦為二態(tài)器件。本文下面所稱“增一進(jìn)制”，除特別注明外，均指{0，1}一進(jìn)制。
{0，1}一進(jìn)制的運(yùn)算。這里列出加法運(yùn)算，例如{十}4+3+2＝9＝{0，1}一進(jìn)制110101+1011+101＝11001100010101011＝…。
1.3{0，1}一進(jìn)制與{Q}的關(guān)系。
1.3.1{0，1}一進(jìn)制數(shù)與{Q}數(shù)的轉(zhuǎn)換法。
{0，1}一進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成{Q}數(shù)，可以將{0，1}一進(jìn)制數(shù)中的各位數(shù)字1，以{Q}計(jì)數(shù)即可。所得{Q}計(jì)數(shù)和，即為相應(yīng)的{Q}數(shù)。這就是說(shuō)，{0，1}一進(jìn)制數(shù)中有幾個(gè)1，則相應(yīng)的{Q}數(shù)即為幾。顯然，這是十分簡(jiǎn)單的法則。(表二){Q}數(shù)轉(zhuǎn)換成{0，1}一進(jìn)制數(shù)，可將{Q}數(shù)各位均乘以各位上的權(quán)，然后將這些積以同樣個(gè)數(shù)的1，分別在所要表達(dá)的{0，1}一進(jìn)制數(shù)位置上，以不重復(fù)的方式列出即可。這就是說(shuō)，{Q}數(shù)為幾，則{0，1}一進(jìn)制數(shù)中就有幾個(gè)1。顯然，這也是十分簡(jiǎn)單的法則。(見表三)


表二 表三1.3.2{0，1}一進(jìn)制數(shù)與{Q}數(shù)對(duì)照表及其說(shuō)明說(shuō)明①{0，1}一進(jìn)制數(shù)可表示全部{Q}數(shù)②有較多的重復(fù)數(shù)，以4位{0，1)一進(jìn)制數(shù)為例，除0及4唯一外，其余均有重復(fù)數(shù)。其中，1有4個(gè)；2有6個(gè)；3有4個(gè)。于是，從0～4的重復(fù)數(shù)分別為1，4，6，4，1個(gè)。這與二項(xiàng)式展開系數(shù)Ckn是一致的。位數(shù)n為自然數(shù)．K為0～n。(表四揚(yáng)輝三角形。)③表中

表示形式為“連續(xù)非負(fù)整數(shù)個(gè)0”的全體的縮寫。即

可為0個(gè)0，可為1個(gè)0，可為00，可為000，…等形式。這種形式表示的集合，稱為“連集”。顯然，“連集”為無(wú)限集。設(shè)E為整數(shù)，則

為E的“連集”，簡(jiǎn)稱為“連E”。讀作“E點(diǎn)”。以“連集”形式表示的一組無(wú)窮個(gè)數(shù)，稱為“連集數(shù)組”或“連集組數(shù)”。
11 1 楊1 2 1 輝1 3 3 1三1 4 6 4 1 角 形表四1.3.3{0，1}一進(jìn)制與{Q}關(guān)系分析。
(1)Q1，Q為自然數(shù)；1為最小的自然數(shù)，也是最基本的自然數(shù)單元。Q真包含1，這使得相應(yīng)的{Q}與{0，1}一進(jìn)制之間存在自然的聯(lián)系。
(2){Q}數(shù)與{0，1}一進(jìn)制數(shù)的關(guān)系是“一多對(duì)應(yīng)”關(guān)系，而不是“一一對(duì)應(yīng)”關(guān)系。{0，1}一進(jìn)制中P＝Q+1＞Q，因而在該數(shù)制中，自然數(shù)有時(shí)會(huì)出現(xiàn)多種形態(tài)表達(dá)，這正是該數(shù)制靈活性所在。也可以說(shuō)，{0，1}一進(jìn)制是以多樣性來(lái)?yè)Q取了靈活性。{Q}中P＝Q，因而在該類數(shù)中，自然數(shù)是連續(xù)唯一形態(tài)表達(dá)。它沒(méi)有這種多樣性，也缺少了這種相應(yīng)的靈活性。
(3){0，1}一進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為{Q}數(shù)，只能化為相應(yīng)唯一的一個(gè)數(shù)。這是因?yàn)?，{0，1}一進(jìn)制數(shù)可經(jīng){Q}數(shù)加減直接獲得，而{Q}數(shù)加減運(yùn)算后的結(jié)果是唯一的。反之，{Q}數(shù)也只能化為相應(yīng)唯一的一組{0，1}一進(jìn)制“連集組數(shù)”。所以，這種{Q}數(shù)的“一”與{0，1}一進(jìn)制“連集組數(shù)”的“一”組，二者是“一一對(duì)應(yīng)”關(guān)系。由此，可建立一種{0，1}一進(jìn)制數(shù)與{Q}數(shù)的互為映射關(guān)系。對(duì)于運(yùn)算系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，{Q}與{0，1}一進(jìn)制數(shù)系統(tǒng)“同構(gòu)”。相應(yīng){Q}數(shù)的各種基本運(yùn)算性質(zhì)，亦在{0，1}一進(jìn)制數(shù)系統(tǒng)中成立。
1.4{0，1}一進(jìn)制的應(yīng)用{0，1}一進(jìn)制由于以么元1配以0構(gòu)造數(shù)，而且權(quán)為1，故其“運(yùn)算”常以“傳送”來(lái)實(shí)現(xiàn)。這是{0，1}一進(jìn)制數(shù)運(yùn)算快速原因之一。{0，1}一進(jìn)制數(shù)運(yùn)算中的“進(jìn)位”，也以二數(shù)當(dāng)前位的按位加和為0，而進(jìn)位為Q的“劃Q”邏輯實(shí)現(xiàn)。這種“傳送”及“劃Q”的邏輯實(shí)現(xiàn)，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，速度卻快。這是{0，1}一進(jìn)制數(shù)運(yùn)算快速原因之二。當(dāng){0，1}一進(jìn)制數(shù)與各種混數(shù)進(jìn)制數(shù)結(jié)合運(yùn)算時(shí)，又補(bǔ)充了“對(duì)沖”這一結(jié)構(gòu)更為簡(jiǎn)單、速度更為快速的邏輯。這是{0，1}一進(jìn)制數(shù)運(yùn)算快速原因之三。
上述{0，1}一進(jìn)制與各種混數(shù)進(jìn)制相結(jié)合，使得功能更加增強(qiáng)。考慮到{0，1}一進(jìn)制→{Q}→各種混數(shù)進(jìn)制，這其中有著內(nèi)在的聯(lián)系。顯然，這一切均在預(yù)料之中。
2.全一進(jìn)制及全一編碼2.1全一進(jìn)制和全一數(shù){0，1}一進(jìn)制數(shù)的多樣性就獲得了多樣處理的靈活性。但是，由于{0，1}一進(jìn)制數(shù)“連集”形式有且僅有一種 而且具有極端的多樣，在同一個(gè)數(shù)中可出現(xiàn)一次以上的“連集”形式。由此造成同一個(gè)數(shù)的形式過(guò)于多樣，難以把握，不便于控制，勢(shì)必增加設(shè)備并且影響運(yùn)算速度。因此，在一般情況下，有必要對(duì){0，1}一進(jìn)制數(shù)加以某種約束條件。這就產(chǎn)生了“全一進(jìn)制”。
在{0，1}一進(jìn)制的正整數(shù)中，限定每一組“連集組數(shù)”只選取自個(gè)位開始，從右向左連續(xù)排列么元1的唯一的一種形態(tài)表達(dá)；高位上均為0，或以空位表示。例如{十}數(shù)3＝{0，1}一進(jìn)制數(shù) 表“或者”)，限定為{十}3＝{0，1}一進(jìn)制111。這樣，每一組“連集組數(shù)”中的重復(fù)數(shù)均被刪除，只剩下一個(gè)全是1的唯一形態(tài)，我們稱為“全一數(shù)”。表達(dá)“全一數(shù)”的進(jìn)制稱之為“全一進(jìn)制”。表三中，{0，1}一進(jìn)制數(shù)最左邊的形態(tài)，即為“全一進(jìn)制”數(shù)。因此，“全一進(jìn)制”可以是加特定約束條件的{0，1}一進(jìn)制。
在《數(shù)制理論》的“位值制數(shù)制”中，定義數(shù)中的空位表示具有隱含的“空位0”；在其數(shù)元集中，“空位”是一種特殊的數(shù)元，稱為“空位元”。簡(jiǎn)稱為“空元”。因此，“全一進(jìn)制”可以從不含0普通Q進(jìn)制{不含0，Q}中的{1}一進(jìn)制獲得；故可以定義“全一進(jìn)制”為{1}一進(jìn)制，以符號(hào){一}來(lái)表示。當(dāng)考慮到正負(fù)整數(shù)時(shí)，可以將該全一進(jìn)制數(shù)的正負(fù)符號(hào)，分配到該數(shù)的各位上去，從而構(gòu)造各位均帶相同符號(hào)的全一進(jìn)制數(shù)。本發(fā)明中除特別注明外，均指此種“全一進(jìn)制”，亦以符號(hào){一}來(lái)表示。
“全一進(jìn)制”還可以從不含0增一進(jìn)制中的“{1，1}一進(jìn)制”，加約束條件獲得。約束條件為該進(jìn)制數(shù)，必須各位上符號(hào)均相同；此外，還可以從其它混數(shù)進(jìn)制獲得。
2.2全一碼全一進(jìn)制顯然具有如下優(yōu)缺點(diǎn)。優(yōu)點(diǎn)①運(yùn)算速度快?！皞魉汀贝媪恕胺D(zhuǎn)”。②多重運(yùn)算時(shí)，不需要二二求和，只需要先“對(duì)沖”后“劃Q”即可得結(jié)果。這就大大加快了總體運(yùn)算速度。③與{Q}轉(zhuǎn)換方便；缺點(diǎn)①“字長(zhǎng)”太長(zhǎng)，位數(shù)多。(當(dāng)取可變字長(zhǎng)時(shí)，其平均字長(zhǎng)僅為一半。)②荷載信息量較小。因此，根據(jù)全一進(jìn)制的優(yōu)缺點(diǎn)，揚(yáng)長(zhǎng)避短，以全一進(jìn)制數(shù)來(lái)編-位全-碼 {二} 九位全-碼 {十}0 000…0 01 100…1 100…11 2表五 111111111 9表六碼各種混數(shù)進(jìn)制數(shù)是合適的。以“全一進(jìn)制”數(shù)來(lái)編碼，稱為“全一編碼”?！叭痪幋a”中采用的“全一數(shù)”，稱為“全一碼”。表五顯示出全一碼一位，編碼{二}數(shù)元的情況。由表五可見，全一碼一位編碼的{二}數(shù)，即為{二}數(shù)本身。表六，顯示出以全一碼九位，編碼{十}數(shù)元的情況。由表六可見，全一碼九位編碼的{十}數(shù)，碼長(zhǎng)增加至9倍。(當(dāng)取可變碼長(zhǎng)時(shí)，其平均碼長(zhǎng)僅為5倍。)例如{十}23＝全一碼＝≡。對(duì)于各種混數(shù)進(jìn)制數(shù)，均可以全一碼來(lái)編碼。
2.3全一碼的計(jì)算。
全一碼的計(jì)算非常簡(jiǎn)單。n個(gè)數(shù)加法僅為n個(gè)數(shù)中1或1的不重復(fù)排列，稱為“排1”。以二數(shù)加法為例，如11+111＝11111。特別是，在各種混數(shù)進(jìn)制的數(shù)字工程中，僅僅只需先“對(duì)沖”后“劃Q”，就能獲得各種混數(shù)進(jìn)制數(shù)的運(yùn)算結(jié)果。當(dāng)最終結(jié)果需要輸出時(shí)，才將以全一碼編碼的各種混數(shù)進(jìn)制數(shù)，轉(zhuǎn)換成{Q}或{十}數(shù)輸出。
2.4全一碼的應(yīng)用。
全一碼主要應(yīng)用于對(duì){Q}數(shù)及各種混數(shù)進(jìn)制數(shù)進(jìn)行編碼。特別是，①采用全一碼九位編碼{十}數(shù)，可以實(shí)現(xiàn)普通十進(jìn)制{十}、全一碼、進(jìn)位行處理器和筆算工程及算盤。
②采用全一碼五位編碼{十’}數(shù)，可以實(shí)現(xiàn)偏十進(jìn)制{十’}、全一碼、進(jìn)位行處理器和筆算工程及算盤。
③采用全一碼編碼各種混數(shù)進(jìn)制數(shù)，可以實(shí)現(xiàn)各種混數(shù)進(jìn)制、全一碼、進(jìn)位行處理器和筆算工程及算盤。
④采用全一碼來(lái)編碼{十}或{十’}數(shù)或各種混數(shù)進(jìn)制數(shù)，再以“正負(fù)碼”來(lái)二次編碼，可以實(shí)現(xiàn)又一種算盤的新技術(shù)方案。
權(quán)利要求
1.一種偏Q進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法的筆算工程技術(shù)方案，采用Q進(jìn)制數(shù)，以Q進(jìn)制運(yùn)算；Q為自然數(shù)；其特征在于，采用“偏Q進(jìn)制”數(shù)，以“混數(shù)進(jìn)制、進(jìn)位行方法”運(yùn)算。
2..如權(quán)利要求1偏Q進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法的筆算工程技術(shù)方案，其特征在于，“混數(shù)進(jìn)制、進(jìn)位行方法”運(yùn)算可為下列方案之一；方案一(適于計(jì)算機(jī)、筆算工程中)①普通Q進(jìn)制數(shù)編碼或另行轉(zhuǎn)換為混數(shù)進(jìn)制數(shù)；②混數(shù)進(jìn)制運(yùn)算(“對(duì)沖”、“劃Q”、“累加”)；③混數(shù)進(jìn)制數(shù)譯碼或另行轉(zhuǎn)換為普通Q進(jìn)制數(shù)；方案二(適于計(jì)算機(jī)、算盤中；也可用于筆算工程，也可不用；)①普通Q進(jìn)制數(shù)編碼或另行轉(zhuǎn)換為混數(shù)進(jìn)制數(shù)；混數(shù)進(jìn)制數(shù)編碼為“編碼全一進(jìn)制數(shù)”；②“編碼全一進(jìn)制數(shù)”運(yùn)算(“對(duì)沖”、“劃Q”、“累加”)；③“編碼全一進(jìn)制數(shù)”譯碼為混數(shù)進(jìn)制數(shù)；混數(shù)進(jìn)制數(shù)譯碼或另行轉(zhuǎn)換為普通Q進(jìn)制數(shù)；方案三(適于計(jì)算機(jī)中)①普通Q進(jìn)制數(shù)編碼或另行轉(zhuǎn)換為混數(shù)進(jìn)制數(shù)；混數(shù)進(jìn)制數(shù)編碼或另行轉(zhuǎn)換為{0，±1}二進(jìn)制數(shù)(其特況為“普通二進(jìn)制數(shù)”)；②{0，±1}二進(jìn)制運(yùn)算(“對(duì)沖”、“劃Q”、“累加”)；③{0，±1}二進(jìn)制數(shù)譯碼或另行轉(zhuǎn)換為混數(shù)進(jìn)制數(shù)；混數(shù)進(jìn)制數(shù)譯碼或另行轉(zhuǎn)換為普通Q進(jìn)制數(shù)；方案四(適于計(jì)算機(jī)中)①普通Q進(jìn)制數(shù)編碼或另行轉(zhuǎn)換為混數(shù)進(jìn)制數(shù)；混數(shù)進(jìn)制數(shù)編碼或另行轉(zhuǎn)換為“編碼{0，±1}二進(jìn)制數(shù)”(其特況為“編碼普通二進(jìn)制數(shù)”)；②“編碼{0，±1}二進(jìn)制數(shù)”運(yùn)算(“對(duì)沖”、“劃Q”、“累加”)；③“編碼{0，±1}二進(jìn)制數(shù)”譯碼或另行轉(zhuǎn)換為混數(shù)進(jìn)制數(shù)；混數(shù)進(jìn)制數(shù)譯碼或另行轉(zhuǎn)換為普通Q進(jìn)制數(shù)；本發(fā)明中，采用方案一、方案二來(lái)展示。
3.如權(quán)利要求1-2偏Q進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法的筆算工程技術(shù)方案，其特征在于，其中“混數(shù)進(jìn)制、進(jìn)位行方法”包括以下第一種步驟第1步，設(shè)K個(gè)普通Q進(jìn)制數(shù)參予加減運(yùn)算，K為≥2的整數(shù)，Q為自然數(shù)；將這些數(shù)轉(zhuǎn)換成K或2K個(gè)偏Q進(jìn)制數(shù)；(本發(fā)明中，均采用2K個(gè)偏Q進(jìn)制數(shù)來(lái)展示)；第2步，對(duì)K或2K個(gè)數(shù)中的二個(gè)數(shù)，進(jìn)行偏Q進(jìn)制的求和運(yùn)算；從最低位開始或各位同時(shí)按位相加，即在某一位上，取這二個(gè)數(shù)按位相加；采用“對(duì)沖”、“劃Q”、累加，得到這二個(gè)數(shù)該位“按位加”和數(shù)；將此和數(shù)記入下一運(yùn)算層，作為“部份和”數(shù)；同時(shí)所得“偏Q進(jìn)位”，則存放到下一運(yùn)算層或本運(yùn)算層尚未運(yùn)算過(guò)的，任一數(shù)據(jù)行相鄰高位的空位或0位處；第3步，在上述某位的相鄰高位上，重復(fù)第2步的運(yùn)算；如此反復(fù)，直至二數(shù)最高位也己運(yùn)算為止；當(dāng)采用并行運(yùn)算時(shí)，二數(shù)各位同時(shí)進(jìn)行第2步及第3步運(yùn)算，則本步可跳越過(guò)去；第4步，取K或2K個(gè)數(shù)中的另二個(gè)數(shù)，進(jìn)行第2步及第3步運(yùn)算；如此反復(fù)，直至K或2K個(gè)數(shù)或運(yùn)算層中全部數(shù)均取完為止；當(dāng)僅剩下一個(gè)數(shù)時(shí)，則直接移至下一運(yùn)算層作為“部份和”數(shù)；第5步，在下一個(gè)運(yùn)算層中，將上述“按位和”數(shù)及“進(jìn)位”數(shù)進(jìn)行前述第2步、第3步、第4步求和運(yùn)算；如此反復(fù)，直至運(yùn)算層中，運(yùn)算后僅獲得一個(gè)數(shù)為止；則最后所得偏Q進(jìn)制加法運(yùn)算和數(shù)，即為所求K個(gè)普通Q進(jìn)制數(shù)加減運(yùn)算結(jié)果；或者，采用以下第二種步驟第1步，設(shè)K個(gè)普通Q進(jìn)制數(shù)參予加減運(yùn)算，K為≥2的整數(shù)，Q為自然數(shù)；將這些數(shù)轉(zhuǎn)換成K或2K個(gè)偏Q進(jìn)制數(shù)；(本發(fā)明中，均采用2K個(gè)偏Q進(jìn)制數(shù)來(lái)展示)；第2步，從最低位開始，即在某一位上，取二數(shù)、K或2K個(gè)數(shù)同時(shí)相加；采用“對(duì)沖”、“劃Q”、累加；即在二數(shù)時(shí)，得到二個(gè)數(shù)該位“按位加”和數(shù)；將此和數(shù)記入下一運(yùn)算層，作為“部份和”數(shù)；同時(shí)所得“偏Q進(jìn)位”，則存放到下一運(yùn)算層或本運(yùn)算層尚未運(yùn)算過(guò)的，任一數(shù)據(jù)行相鄰高位的空位或0位處；第3步，在上述某位上，取K或2K個(gè)數(shù)中的另二個(gè)數(shù)，重復(fù)第2步的運(yùn)算；如此反復(fù)，直至K或2K個(gè)數(shù)或運(yùn)算層中全部數(shù)均取完為止；當(dāng)僅剩下一個(gè)數(shù)時(shí)，則直接移至下一運(yùn)算層作為“部份和”數(shù)；當(dāng)采用同一位上各數(shù)同時(shí)運(yùn)算時(shí)，同時(shí)進(jìn)行第2步及第3步運(yùn)算，則本步可跳越過(guò)去；這時(shí)在同一位上，對(duì)n個(gè)和為0的數(shù)先進(jìn)行“對(duì)沖”；然后，對(duì)n個(gè)和為mQ的數(shù)進(jìn)行“劃Q”；n為≥2的整數(shù)，m為整數(shù)；所得“偏Q進(jìn)位”，則存放到下一運(yùn)算層或本運(yùn)算層尚未運(yùn)算過(guò)的，任一數(shù)據(jù)行相鄰高位的空位或0位處；同一位上，余下各數(shù)進(jìn)行“累加”，或者直接移至下一運(yùn)算層；累加采用≥2的“多數(shù)累加”；當(dāng)采用普通二數(shù)“累加”時(shí)，則順序串行累加；第4步，在上述某位的相鄰高位上，重復(fù)第2步及第3步的運(yùn)算；如此反復(fù)，直至K或2K個(gè)數(shù)最高位也已運(yùn)算為止；第5步，在下一個(gè)運(yùn)算層中，對(duì)上述“按位和”數(shù)及“進(jìn)位”數(shù)進(jìn)行前述第2步、第3步、第4步求和運(yùn)算；如此反復(fù)，直至運(yùn)算層中，運(yùn)算后僅獲得一個(gè)數(shù)為止；則最后所得偏Q進(jìn)制加法運(yùn)算和數(shù)，即為所求K個(gè)普通Q進(jìn)制數(shù)加減運(yùn)算結(jié)果；或者，采用以下第三種步驟第1步，設(shè)K個(gè)普通Q進(jìn)制數(shù)參予加減運(yùn)算，K為≥2的整數(shù)，Q為自然數(shù)；將這些數(shù)轉(zhuǎn)換成K或2K個(gè)偏Q進(jìn)制數(shù)；(本發(fā)明中，均采用2K個(gè)偏Q進(jìn)制數(shù)來(lái)展示)；第2步，采用所謂“二維運(yùn)算”；即，在K或2K個(gè)數(shù)的各位上，同時(shí)進(jìn)行運(yùn)算；并且同時(shí)對(duì)每一位上，n個(gè)和為0的數(shù)進(jìn)行“對(duì)沖”；n為≥2的整數(shù)；第3步，采用所謂“二維運(yùn)算”；即，在K或2K個(gè)數(shù)的各位上，同時(shí)進(jìn)行運(yùn)算；并且同時(shí)對(duì)每一位上，n個(gè)和為mQ的數(shù)進(jìn)行“劃Q”；n為≥2的整數(shù)，m為整數(shù)；所得“偏Q進(jìn)位”，則存放到下一運(yùn)算層的，任一數(shù)據(jù)行相鄰高位的空位或0位處；第4步，采用所謂“二維運(yùn)算”；即，在K或2K個(gè)數(shù)的各位上，同時(shí)進(jìn)行運(yùn)算；并且同時(shí)對(duì)每一位上，余下各數(shù)進(jìn)行“累加”，或者直接移至下一運(yùn)算層；累加采用≥2的“多數(shù)累加”；當(dāng)采用普通二數(shù)“累加”時(shí)，則順序串行累加；第5步，在下一個(gè)運(yùn)算層中，將上述“按位和”數(shù)及“進(jìn)位”數(shù)進(jìn)行前述第2步、第3步、第4步求和運(yùn)算；如此反復(fù)，直至運(yùn)算層中，運(yùn)算后僅獲得一個(gè)數(shù)為止；則最后所得偏Q進(jìn)制加法運(yùn)算和數(shù)，即為所求K個(gè)普通Q進(jìn)制數(shù)加減運(yùn)算結(jié)果。
4.如權(quán)利要求1-3偏Q進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法的筆算工程技術(shù)方案，其特征在于，運(yùn)算采用“混數(shù)進(jìn)制、進(jìn)位行方法”；在運(yùn)算過(guò)程中，將產(chǎn)生的進(jìn)位存放在相鄰高位“進(jìn)位行”中，然后與“按位和”一起進(jìn)行運(yùn)算。
5.如權(quán)利要求1-4偏Q進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法的筆算工程技術(shù)方案，其特征在于，“混數(shù)進(jìn)制、進(jìn)位行方法”對(duì)K個(gè)數(shù)中的n個(gè)數(shù)進(jìn)行求和運(yùn)算時(shí)，如果在某一位上，其中n個(gè)運(yùn)算數(shù)的按位加和為零，但產(chǎn)生進(jìn)位m(與n個(gè)數(shù)的和數(shù)符號(hào)一致)；n為≥2的整數(shù)，m為整數(shù)；進(jìn)位放入下一運(yùn)算層或本運(yùn)算層尚未運(yùn)算過(guò)的，任一數(shù)據(jù)行相鄰高位的空位或0位處；然后，將n個(gè)運(yùn)算數(shù)的某位均以邏輯方式置“0”，不再參加以后的運(yùn)算；這稱為“劃Q”；“劃Q”中m＝0時(shí)，稱為“對(duì)沖”；或者，不采用“對(duì)沖”及“劃Q”。
6.如權(quán)利要求1-5偏Q進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法的筆算工程技術(shù)方案，其特征在于，“混數(shù)進(jìn)制、進(jìn)位行方法”可以不編碼；可以混數(shù)進(jìn)制數(shù)編碼；也可以全一碼來(lái)編碼，即將各個(gè)偏Q進(jìn)制數(shù)的每一位數(shù)S，都以|S|個(gè)1從最低位順序至高位排列來(lái)對(duì)應(yīng)，其余高位均為0，總位數(shù)則為Q/2或(Q+1)/2位；同時(shí)，將S的數(shù)符，即表示該位的數(shù)為正或負(fù)，作為相應(yīng)全一碼中每一位上的數(shù)符；當(dāng)采用全一碼來(lái)編碼偏Q進(jìn)制數(shù)時(shí)，n個(gè)數(shù)加法僅為n個(gè)數(shù)中1或1的不重復(fù)排列；其全一碼編譯可以定碼長(zhǎng)或變碼長(zhǎng)。
7.如權(quán)利要求1-6偏Q進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法的筆算工程技術(shù)方案，其特征是偏Q進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法的筆算工程，采用“偏Q進(jìn)制、進(jìn)位行方法”運(yùn)算，Q為自然數(shù)；混數(shù)進(jìn)制運(yùn)算可為前述方案一或方案二；現(xiàn)采用方案一來(lái)展示；設(shè)K個(gè)普通Q進(jìn)制數(shù)參予加減運(yùn)算，K為≥2的整數(shù)，Q為自然數(shù)；將這些數(shù)轉(zhuǎn)換成K或2K個(gè)偏Q進(jìn)制數(shù)；(本發(fā)明中，均采用2K個(gè)偏Q進(jìn)制數(shù)來(lái)展示)；筆算工程中的數(shù)字工程方法，可采用前述第一種或第二種步驟；這里，采用第二種步驟來(lái)展示。
8.根據(jù)權(quán)利要求1-7偏Q進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法的筆算工程技術(shù)方案，其特征是偏Q進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法的筆算工程，對(duì)K個(gè)數(shù)中的n個(gè)數(shù)進(jìn)行求和運(yùn)算時(shí)，如果在某一位上，其中n個(gè)運(yùn)算數(shù)的按位加和為零，但產(chǎn)生進(jìn)位m(與n個(gè)數(shù)的和數(shù)符號(hào)一致)；n為≥2的整數(shù)，m為整數(shù)；進(jìn)位放入下一運(yùn)算層或本運(yùn)算層尚未運(yùn)算過(guò)的，任一數(shù)據(jù)行相鄰高位的空位或0位處；然后，將n個(gè)運(yùn)算數(shù)的某位均以邏輯方式置“0”，不再參加以后的運(yùn)算；這稱為“劃Q”；“劃Q”中m＝0時(shí)，稱為“對(duì)沖”；或者，不采用“對(duì)沖”及“劃Q”。
9.根據(jù)權(quán)利要求1-8偏Q進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法的筆算工程技術(shù)方案，其特征是偏Q進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法的筆算工程，所述運(yùn)算數(shù)可以不編碼；可以混數(shù)進(jìn)制數(shù)編碼；也可以全一碼來(lái)編碼，即將各個(gè)偏Q進(jìn)制數(shù)的每一位數(shù)S，都以|S|個(gè)1從最低位順序至高位排列來(lái)對(duì)應(yīng)，其余高位均為0，總位數(shù)則為Q/2或(Q+1)/2位；同時(shí)，將S的數(shù)符，即表示該位的數(shù)為正或負(fù)，作為相應(yīng)全一碼中每一位上的數(shù)符；當(dāng)采用全一碼來(lái)編碼偏Q進(jìn)制數(shù)時(shí)，n個(gè)數(shù)加法僅為n個(gè)數(shù)中1或1的不重復(fù)排列；全一碼編譯可以定碼長(zhǎng)或變碼長(zhǎng)；本發(fā)明偏Q進(jìn)制、進(jìn)位行筆算工程中，采用變碼長(zhǎng)來(lái)展示，
10.根據(jù)權(quán)利要求1-9偏Q進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法的筆算工程技術(shù)方案，其特征是偏Q進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法的筆算工程，其中所述運(yùn)算數(shù)是偏Q進(jìn)制數(shù)，Q為自然數(shù)。
全文摘要
本發(fā)明涉及數(shù)字工程方法和筆算工程領(lǐng)域，提出又一種新的數(shù)字工程方法，顯著提高運(yùn)算速度，而且大大降低筆算的出錯(cuò)率。本發(fā)明采用“偏Q進(jìn)制、進(jìn)位行方法”將參與加減運(yùn)算的K個(gè)普通Q進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成K或2K個(gè)偏Q進(jìn)制數(shù)。然后對(duì)K或2K個(gè)數(shù)進(jìn)行偏Q進(jìn)制求和。從最低位開始或各位同時(shí)“按位加”，和數(shù)記入下一運(yùn)算層；同時(shí)所得“偏Q進(jìn)位”，則存放到下一運(yùn)算層或本運(yùn)算層尚未運(yùn)算過(guò)的，任一數(shù)據(jù)行相鄰高位的空位或0位處。經(jīng)過(guò)如此反復(fù)運(yùn)算，直至運(yùn)算層中，運(yùn)算后僅獲得一個(gè)數(shù)為止。則最后所得數(shù)，即為所求偏Q進(jìn)制加法和數(shù)。本發(fā)明同時(shí)提供了偏Q進(jìn)制、進(jìn)位行筆算工程技術(shù)方案。
文檔編號(hào)G06F15/76GK1760824SQ20051010611
公開日2006年4月19日 申請(qǐng)日期2005年9月30日 優(yōu)先權(quán)日2004年9月30日
發(fā)明者李志中, 徐菊?qǐng)@ 申請(qǐng)人:李志中