專利名稱：增/偏q進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法和增/偏q算盤(pán)的制作方法
技術(shù)領(lǐng)域：
本發(fā)明涉及數(shù)字工程方法和算盤(pán)領(lǐng)域。
背景技術(shù)：
數(shù)字工程包括數(shù)控機(jī)床、大中型數(shù)字化設(shè)備和數(shù)字系統(tǒng)工程等等。本發(fā)明中“數(shù)字工程”是專指“數(shù)字計(jì)算系統(tǒng)工程”。它不是解決一個(gè)個(gè)具體的算題、或定理證明、或幾何問(wèn)題、或某種數(shù)學(xué)思想，而是解決四則運(yùn)算法則等計(jì)算系統(tǒng)本身的數(shù)字工程實(shí)現(xiàn)技術(shù)方案。它與具體的計(jì)算工具密切相關(guān)。眾所周知，“計(jì)算”有好多種，除“近似計(jì)算”、“模擬計(jì)算”及“無(wú)工具計(jì)算”(心算、指算、口算，包括口訣、速算、估算)外，則為“采用工具的數(shù)字計(jì)算”?！安捎霉ぞ叩臄?shù)字計(jì)算”歷史上包括筆算、珠算、機(jī)械算、電算，以及籌算等?，F(xiàn)代僅剩下三種，這就是數(shù)字電算、珠算、筆算。與此相應(yīng)的數(shù)字計(jì)算系統(tǒng)工程也就僅有三種數(shù)字計(jì)算機(jī)；算盤(pán)；采用筆和紙進(jìn)行筆算的數(shù)字計(jì)算系統(tǒng)工程，簡(jiǎn)稱為“筆算工程”。
四則運(yùn)算是數(shù)的最基本運(yùn)算。正如恩格斯所說(shuō)“四則(一切數(shù)學(xué)的要素)?！奔臃ㄓ质撬膭t運(yùn)算的最基本的運(yùn)算。因此，我們理所當(dāng)然應(yīng)當(dāng)對(duì)四則運(yùn)算，尤其是對(duì)加法運(yùn)算給予特別的關(guān)注。當(dāng)前數(shù)字工程方法中的四則運(yùn)算，首先是加法，有許多不盡如人意之處。主要表現(xiàn)為運(yùn)算速度慢；在減法中，未能充分利用負(fù)數(shù)的作用，而且，不能“連減”。尤其在加減聯(lián)合運(yùn)算中，不能一步到位；在乘法中，加法的缺點(diǎn)更加擴(kuò)大嚴(yán)重；在除法中，上述缺點(diǎn)依舊。總之，在最小的數(shù)體——有理數(shù)體中，四則運(yùn)算情況并不滿意。
在筆算數(shù)字工程中，對(duì)運(yùn)算的解剖，表明存在一些隱含的操作程序，以至產(chǎn)生“隱患”。以加法為例，例一“兩數(shù)相加”，算式如式一。[文中凡未標(biāo)明數(shù)制的數(shù)，均指普通十進(jìn)制數(shù)。下同。]其中，十位上的和數(shù)3，解剖一下，其微程序操作是 個(gè)位上來(lái)的進(jìn)位(見(jiàn) 式一 式二標(biāo)志) 十位上5、7兩數(shù)字與低位進(jìn)位相加，即(5+7+1)。取其和的個(gè)位。 上列(5+7+1)和的進(jìn)位送到高位(見(jiàn)標(biāo)志)。其余各位情況類似。又如例二，設(shè)三數(shù)求和，算式如式二78+297+259＝634。如圖可見(jiàn)，上述情況更為加重。
顯然，存在下列缺點(diǎn)a.進(jìn)位標(biāo)示困難。若用小數(shù)字表明，則易混淆且字面積受限。特別是表456789時(shí)就更煩人；若以“.”字寫(xiě)在數(shù)字間，則易與小數(shù)點(diǎn)混淆且表示456789也不便；若以手指數(shù)數(shù)，則速度慢且不方便；若心算，則費(fèi)腦力且易錯(cuò)?？傊容^討厭，易出錯(cuò)。
b.一般兩數(shù)相加時(shí)，每一位上要有三個(gè)數(shù)相加求和。于是，需三重運(yùn)算。三及三以上個(gè)數(shù)相加求和時(shí)，則更不方便。
c.驗(yàn)算困難。一般采用重做一遍，費(fèi)時(shí)費(fèi)力。
減法比加法麻煩。而且不能在同一豎式中“連減”，必須斷開(kāi)。特別在加減聯(lián)合運(yùn)算時(shí)，不能一步到位。乘除法中，這類情況更為嚴(yán)重。而且，加減乘除運(yùn)算格式不統(tǒng)一，除法時(shí)另起爐灶。
另一方面，在電子計(jì)算機(jī)的數(shù)字工程中，同樣有大量的數(shù)值運(yùn)算。這些數(shù)一般均采用普通二進(jìn)制數(shù)制來(lái)表示。其負(fù)數(shù)常以原碼、反碼、補(bǔ)碼、移碼之類來(lái)表示。在現(xiàn)有計(jì)算機(jī)中運(yùn)算均以二個(gè)數(shù)運(yùn)算，而無(wú)法實(shí)現(xiàn)“多重運(yùn)算”。所謂“多重運(yùn)算”，是指多于二個(gè)數(shù)同時(shí)進(jìn)行加減。
在采用其他普通Q進(jìn)制等普通數(shù)制的電子計(jì)算機(jī)中，存在相應(yīng)的許多復(fù)雜性。[Q為自然數(shù)。]發(fā)明內(nèi)容本發(fā)明提出又一種新的數(shù)字工程方法，顯著提高運(yùn)算速度；同時(shí)加強(qiáng)運(yùn)算正確性的保障，在“筆算工程”中，大大降低筆算的出錯(cuò)率。
本發(fā)明的另一個(gè)目的是提供又一種新型算盤(pán)，它運(yùn)算的數(shù)是增Q進(jìn)制數(shù)或者偏Q進(jìn)制數(shù)，Q為自然數(shù)。因此，該新型算盤(pán)稱為“增Q算盤(pán)”或者“偏Q算盤(pán)”，統(tǒng)稱為“增/偏Q算盤(pán)”。“增Q算盤(pán)”與“偏Q算盤(pán)”略有區(qū)別，文中均另加說(shuō)明。
根據(jù)本發(fā)明的一個(gè)方面，提供一種增/偏Q進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法，采用“增/偏Q進(jìn)制”“進(jìn)位行方法”。包括以下步驟第1步，設(shè)K個(gè)普通Q進(jìn)制數(shù)參予運(yùn)算，K為≥2的正整數(shù)，Q為自然數(shù)；將這些數(shù)轉(zhuǎn)換成增/偏Q進(jìn)制數(shù)；第2步，對(duì)K個(gè)數(shù)同時(shí)進(jìn)行增/偏Q進(jìn)制的求和運(yùn)算，從最低位開(kāi)始或各位同時(shí)按位相加，即在某一位上，取K個(gè)數(shù)中的二個(gè)數(shù)按位相加，得到“按位和”為該位這二個(gè)數(shù)相加的和數(shù)，將此和數(shù)記入下一運(yùn)算層，作為“部份和”數(shù)；同時(shí)所得“增/偏Q進(jìn)位”，則存放到下一運(yùn)算層的任一進(jìn)位行中與該位相鄰的高位處；第3步，在該位上取K個(gè)數(shù)中的另二個(gè)數(shù)，進(jìn)行第2步的運(yùn)算，如此反復(fù)，直至K個(gè)數(shù)均取完為止；當(dāng)K個(gè)數(shù)中僅剩下一個(gè)數(shù)時(shí)，則直接移至下一運(yùn)算層的同一位上作為“部份和”數(shù)；第4步，在上述某位的相鄰高位上，重復(fù)第2步及第3步的運(yùn)算，直至K個(gè)運(yùn)算數(shù)的每一位都已全部操作；當(dāng)K個(gè)數(shù)的各位同時(shí)進(jìn)行第2步及第3步運(yùn)算時(shí)，則本步可跳越過(guò)去；第5步，在下一個(gè)運(yùn)算層中，將上述“按位和”數(shù)與進(jìn)位行中的“進(jìn)位數(shù)”進(jìn)行前述第2步、第3步、第4步求和運(yùn)算；第6步，重復(fù)第2步至第5步的運(yùn)算，直至不產(chǎn)生“增/偏Q進(jìn)位”為止，則最后一次“按位加”所得和數(shù)，即為所求增/偏Q進(jìn)制加法運(yùn)算結(jié)果。
上述增/偏Q進(jìn)制數(shù)可以不編碼；或以普通二進(jìn)制數(shù)編碼；或以正負(fù)碼等來(lái)編碼；或以全一碼來(lái)編碼，即將各個(gè)增/偏Q進(jìn)制數(shù)的每一位數(shù)S，都以|S|個(gè)1從最低位順序至高位排列來(lái)對(duì)應(yīng)，其余高位均為0，總位數(shù)則為Q/2位；同時(shí)，將增/偏Q進(jìn)制數(shù)中該位的數(shù)符，即表示該位為正為負(fù)，作為相應(yīng)全一碼中每一位上的數(shù)符。全一碼編碼增/偏Q進(jìn)制數(shù)時(shí)，二數(shù)加法僅為二數(shù)中1的不重復(fù)排列，稱為“排1”。
上述運(yùn)算數(shù)是增/偏Q進(jìn)制數(shù)，Q為自然數(shù)；或者是普通對(duì)稱Q進(jìn)制數(shù)，Q為＞1的整數(shù)；或者是混數(shù)數(shù)制數(shù)。
根據(jù)本發(fā)明的另一個(gè)方面，提供一種增/偏十進(jìn)制算盤(pán)。在盤(pán)狀長(zhǎng)方形機(jī)械框架結(jié)構(gòu)中，如圖1機(jī)械結(jié)構(gòu)示意圖所示，在上下框之間采用15檔豎檔，或多于15檔，或少于15檔。豎檔呈直線型；或者呈 型，分為長(zhǎng)度相等的上中下三段。中段凹下的長(zhǎng)度約為全檔算珠的厚度，其起伏均有圓滑過(guò)渡，以便于算珠推動(dòng)。每根豎檔上貫穿有5只或4只算珠。另外具有一根橫軸，其上有對(duì)應(yīng)每根豎檔的三角塊“轉(zhuǎn)換標(biāo)示”(10)；或者沒(méi)有橫軸，而每根豎檔加一個(gè)“上檔珠”，以一根橫梁隔開(kāi)；三角塊的三面涂以三種不同的顏色。豎檔在橫梁以上部分為直線型；或者同樣為 型，其起伏圓滑過(guò)渡，以利于算珠推動(dòng)。每根豎檔加一個(gè)可扭轉(zhuǎn)的三角塊“轉(zhuǎn)換標(biāo)示”(10)；或者沒(méi)有橫軸，而每根豎檔加一個(gè)“上檔珠”，以一根橫梁隔開(kāi)；或者每根豎檔加一個(gè)“上檔珠(211)”，和一個(gè)“下檔珠(210)”，以“上橫梁(212)”和“下橫梁(213)”隔開(kāi)；上框的水平中線位置上有上框小槽。小槽中有圓型游標(biāo)一只，或者一只以上，或者沒(méi)有。游標(biāo)可以在槽中左右滑動(dòng)，作為參與運(yùn)算及結(jié)果數(shù)的小數(shù)點(diǎn)或其他特定的定位標(biāo)記。


圖1為本發(fā)明混Q算盤(pán)的機(jī)械結(jié)構(gòu)示意圖。圖中標(biāo)有1.算珠，2.左框，3.游標(biāo)1，4.游標(biāo)2，5.上框，6.上框小槽，7.豎檔，8.右框，9.下框，10.可扭轉(zhuǎn)的三角塊“轉(zhuǎn)換標(biāo)示”。豎檔共15根，每根上有5只或4只算珠。算珠的初始位置，均在豎檔的中央部分，而豎檔的上下兩端均為空位。圖2為三角塊“轉(zhuǎn)換標(biāo)示”(10)。圖3為本發(fā)明的另一種形式機(jī)械結(jié)構(gòu)示意圖。圖中標(biāo)有1.算珠，2.左框，3.游標(biāo)1，4.游標(biāo)2，5.上框，6.上框小槽，7.豎檔，8.右框，9.下框，210下檔珠，211上檔珠，212上橫梁，213下橫梁。它與圖1的區(qū)別在于每根豎檔加一個(gè)“上檔珠(211)”，和一個(gè)“下檔珠(210)”，以“上橫梁(212)”和“下橫梁(213)”隔開(kāi)；平常初始位置時(shí)，上面上檔珠(211)緊靠上框(5)，下面下檔珠(210)緊靠下框(9)。無(wú)論上下檔珠均僅有二態(tài)位置。
具體實(shí)施例方式
第一部分 增/偏Q進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法1.《進(jìn)位行方法》1.1進(jìn)位與《進(jìn)位行方法》在電子計(jì)算機(jī)中，運(yùn)算速度提高的關(guān)鍵之一，就在于“進(jìn)位”。進(jìn)位的獲得，進(jìn)位的存貯以及進(jìn)位的參予運(yùn)算都是至關(guān)重要的?！斑M(jìn)位”就是爭(zhēng)“速度”。在筆算工程中，還直接影響到“出錯(cuò)率”。
所謂《進(jìn)位行方法》就是，在運(yùn)算過(guò)程中，將產(chǎn)生的進(jìn)位存放在參予運(yùn)算與“按位和”數(shù)同等的位置上，然后與“按位和”一起進(jìn)行運(yùn)算。通常將同運(yùn)算層中兩數(shù)相加時(shí)，各位上的進(jìn)位排列成一行，稱為“進(jìn)位行”。(運(yùn)算層的概念，見(jiàn)下節(jié))舉例如下，設(shè)兩普通十進(jìn)制數(shù)求和，算式以豎式求和。如式三為簡(jiǎn)化起見(jiàn)，這里將橫豎式合寫(xiě)。個(gè)位運(yùn)算(6+8)＝14，其進(jìn)位1123456+345678＝469134 式三寫(xiě)于下一行的高一位上。依此類推。式中二數(shù)相加時(shí)，各位上不計(jì)進(jìn)位的求和，稱為“按位加”。其和稱為“按位和”。按位和的運(yùn)算行，稱為“行”。
各進(jìn)位排成的行，稱為“進(jìn)位行”。由行與進(jìn)位行組成“運(yùn)算層”。
式中一些“+”號(hào)已省去。以后可以知道，在增/偏Q進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法《增/偏進(jìn)方法ZJF/PJF》中，各個(gè)“運(yùn)算層”只存在一種運(yùn)算，這就是“+”。故可以不必在運(yùn)算層中寫(xiě)出“+”號(hào)。
1.2《進(jìn)位行方法》分析1.2.1二數(shù)求和的分析采用《進(jìn)位行方法》的加法運(yùn)算由上節(jié)可知①兩數(shù)相加時(shí)，每一位上只有二個(gè)數(shù)相加；在進(jìn)位行中直接標(biāo)示進(jìn)位，不存在任何困難；②驗(yàn)算十分方便。
兩數(shù)相加時(shí)，任意位上要么有進(jìn)位記為1，要么無(wú)進(jìn)位記為0； 式四式五[引理二]兩數(shù)相加時(shí)，任意位上的和可為0～9之一。但是，當(dāng)該位上有向高位進(jìn)位時(shí)，該位上的和只能為0～8之一，而不能為9。
由[引理一]和[引理二]可得[定理一]兩數(shù)相加時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)某位上沒(méi)有向高位進(jìn)位時(shí)，該位上的和才可能出現(xiàn)9。
1.2.2層次概念及運(yùn)算層設(shè)兩數(shù)求和。算式為式四、式五由式四可見(jiàn)，運(yùn)算是分層次進(jìn)行的。運(yùn)算層將一個(gè)運(yùn)算解剖成微運(yùn)算、子運(yùn)算。每一運(yùn)算層，僅完成一項(xiàng)簡(jiǎn)單運(yùn)算。這就是運(yùn)算的“層次”概念?！皩哟巍备拍钍菙?shù)學(xué)中的基本概念，《進(jìn)位行方法》正是建立在此基礎(chǔ)上。以往的加法運(yùn)算方法，本質(zhì)上也隱含“層次”概念。因此，《進(jìn)位行方法》中的“層次”從總體上看，并未增加運(yùn)算的復(fù)雜性。反之，以往的方法由于隱含了“層次”，反而進(jìn)一步增加了運(yùn)算的復(fù)雜性。這一點(diǎn)，也進(jìn)一步造成運(yùn)算速度被降低。兩者對(duì)比，就會(huì)一清二楚。
在《進(jìn)位行方法》中，兩數(shù)相加的各個(gè)運(yùn)算層，可以合并為一個(gè)運(yùn)算層。如式五。請(qǐng)見(jiàn)進(jìn)一步分析。
1.2.3唯一的運(yùn)算層兩數(shù)相加時(shí)，特別情況下會(huì)出現(xiàn)多次運(yùn)算層。各層有如下關(guān)系成立。[引理三]二數(shù)相加，當(dāng)某位前一運(yùn)算層上有進(jìn)位時(shí)，其后各運(yùn)算層上均不可能出現(xiàn)進(jìn)位。(由引理一、二得)[引理四]二數(shù)相加，當(dāng)某位后一運(yùn)算層上有進(jìn)位時(shí)，其前各運(yùn)算層上必?zé)o進(jìn)位。(由引理一、二得)
式六式七[定理二]二數(shù)相加時(shí)，同一位各運(yùn)算層上，要么都無(wú)進(jìn)位，要么只能有一個(gè)進(jìn)位。(由引理三、四得)[推論]可以將全部各層進(jìn)位行合并為一個(gè)進(jìn)位行，各運(yùn)算層合并為一個(gè)運(yùn)算層。
1.2.4三數(shù)及三數(shù)以上求和分析設(shè)三數(shù)求和，算式為231+786+989＝2006(見(jiàn)式六)操作要點(diǎn)①“劃Q”的運(yùn)用；所謂“劃Q”，即Q進(jìn)位的兩數(shù)在某位上相加時(shí)，其按位加和為零，但該位上產(chǎn)生進(jìn)位(與兩數(shù)符號(hào)一致)。進(jìn)位放入進(jìn)位行；同時(shí)，在某位上，該兩數(shù)均不再參加運(yùn)算。在十進(jìn)制時(shí)即為“劃十”。
a、同一位上兩數(shù)和為“十”時(shí)，可在算式中將兩數(shù)字以斜線劃去，然后在高位上補(bǔ)1。
b、同一位上幾數(shù)和為20、30、40……等時(shí)，可將幾數(shù)字均劃去，然后在高位上補(bǔ)2、3、4……等。
又，設(shè)六數(shù)求和。算式為786+666+575+321+699+999＝2046(見(jiàn)式七)。
②多個(gè)數(shù)相加，會(huì)出現(xiàn)二個(gè)及二個(gè)以上的運(yùn)算層。為了減少運(yùn)算層數(shù)，同一位上的同一運(yùn)算層空位中，進(jìn)位及和數(shù)可以任意占位。
③盡量減少運(yùn)算層。a、較小的數(shù)，直接合并算；b、盡量在“配對(duì)”中進(jìn)位；c、盡量減少在第一運(yùn)算層上相加數(shù)的個(gè)數(shù)，盡量使第二及二以上運(yùn)算層不出現(xiàn)。
④同一位上，“相同數(shù)”、“連續(xù)數(shù)”等可直接獲得“部分和”。
2.混數(shù)及混數(shù)數(shù)制
21《數(shù)制理論》2.1.1按同一種規(guī)則記錄數(shù)，便于用來(lái)在一個(gè)數(shù)系統(tǒng)中進(jìn)行運(yùn)算的數(shù)的制度，稱為“記數(shù)系統(tǒng)的制度”。簡(jiǎn)稱為“數(shù)制”。一個(gè)數(shù)的質(zhì)，首先就是由其所屬的數(shù)制來(lái)決定的。恩格思指出“單個(gè)的數(shù)在記數(shù)法中已經(jīng)得到了某種質(zhì)，而且質(zhì)是依照這種記數(shù)法來(lái)決定的?！薄耙磺袛?shù)的定律都取決于所采用的記數(shù)法，而且被這個(gè)記數(shù)法所決定?！薄稊?shù)制理論》就是研究數(shù)制的生成、分類、分析、比較、變換等以及數(shù)制在各鄰近學(xué)科與實(shí)踐中應(yīng)用的科學(xué)。它是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論之一。數(shù)學(xué)科學(xué)，即“數(shù)”的科學(xué)?！皵?shù)”的基本為“數(shù)制”。因此，“數(shù)制理論”是“數(shù)論”的基礎(chǔ)，是“核心數(shù)學(xué)”的“核心”之一。
數(shù)制是數(shù)的屬性。不存在沒(méi)有所屬數(shù)制的數(shù)，也不存在沒(méi)有所屬數(shù)的數(shù)制。
2.1.2位值制數(shù)制設(shè)，構(gòu)造一個(gè)數(shù)系，其中的數(shù)以各不相同位置上的“數(shù)符”來(lái)表示。“數(shù)符”又稱“數(shù)字”。數(shù)字通常從右向左水平排列，對(duì)于每個(gè)數(shù)位上的全部數(shù)字均給定一個(gè)單位值(又稱“位值”)，其值由低(小)到高(大)。以此表示整個(gè)數(shù)系中每一個(gè)數(shù)的數(shù)制，稱為“位值制數(shù)制”。我們以下討論的數(shù)制，都是“位值制數(shù)制”。簡(jiǎn)稱為“數(shù)制”。所討論的數(shù)除特別注明的外，均約定為整數(shù)。
2.1.3數(shù)制的三大要素?cái)?shù)位I，數(shù)元集Zi和權(quán)Li。
a、數(shù)位I，表示數(shù)制中數(shù)的各位數(shù)字的位置。以I(序數(shù))從右自左來(lái)表示。即，i＝1，2，3，……表示該數(shù)的第1，2，3，……位。
b、數(shù)元集Zi，表示第I位上的“數(shù)元”組成的集合。同一數(shù)制系統(tǒng)中，各個(gè)數(shù)同一位上不同符號(hào)的全體，組成一個(gè)該位上的數(shù)符集。該數(shù)符集中的元素，稱為“數(shù)的元素”。簡(jiǎn)稱為“數(shù)元”。因此，該數(shù)符集稱為“數(shù)元集”。數(shù)元集Zi可以隨著i的取值不同而不同，也可以相同。當(dāng)各位上的Zi均為相同的Z時(shí)，相應(yīng)的數(shù)制稱為“單一數(shù)制”；當(dāng)各位上的Zi不全相同時(shí)，相應(yīng)的數(shù)制稱為“聯(lián)合數(shù)制”。單一數(shù)制為Q進(jìn)制時(shí)，稱為“單一進(jìn)制”；聯(lián)合數(shù)制均屬Q(mào)進(jìn)制時(shí)，稱為“聯(lián)合進(jìn)制”。(Q進(jìn)制定義見(jiàn)本節(jié)后述。)數(shù)元集Zi中的數(shù)元可為復(fù)數(shù)或其他多種多樣符號(hào)。在《數(shù)制理論》中，以aj來(lái)表示數(shù)元(a1，a2，a3，……)，j為自然數(shù)。以iaj表示第i位上數(shù)元aj。約定，aj＝-A(A為實(shí)數(shù))時(shí)，可表示為aj＝A。數(shù)元集Zi以集合{a1，…，aj，…}來(lái)表示，即Zi＝{a1，…，aj，…}。或者Zi以文字表明其特征。
數(shù)元集Zi的基數(shù)Pi(Pi為自然數(shù))表示了集的元素總數(shù)。恩格思指出它“不但決定它自己的質(zhì)，而且也決定其他一切數(shù)的質(zhì)?！盤(pán)i的取值不同，標(biāo)示了數(shù)元集Zi的變化。各位上的Pi為相同的P，則稱為“單一基數(shù)”；否則，稱為“聯(lián)合基數(shù)”。
在《數(shù)制理論》的“位值制數(shù)制”中，定義數(shù)中的空位表示0，具有隱含的“空位0”；在數(shù)元集中，“空位”是一種特殊的數(shù)元，稱為“空位元”。簡(jiǎn)稱為“空元”。“空元”是每一個(gè)“位值制數(shù)制”數(shù)元集均有的數(shù)元，其在數(shù)元集中的表示即為“空位”。另一方面，“空元”是數(shù)元集中唯一通常不計(jì)入數(shù)元aj，也不計(jì)個(gè)數(shù)，即個(gè)數(shù)為0的數(shù)元；在特別情況下，則對(duì)“空元”加以注明將其計(jì)入數(shù)元，其個(gè)數(shù)計(jì)為1。
c、權(quán)Li，表示第i位上的位值大小。特稱此位值為“權(quán)Li”。
Li為實(shí)數(shù)(由于復(fù)數(shù)集非有序體，故不采用)。不同的Li，就決定了不同的位值。在“編碼理論”中，“編碼”的主要特征就在于權(quán)Li。
實(shí)際中常見(jiàn)的權(quán)Li采用所謂“冪權(quán)”。即，令Li＝Qi(i-1)，Qi為實(shí)數(shù)。為便于計(jì)算，通常取Qi為自然數(shù)。常見(jiàn)各位Li均為冪權(quán)，而且成等比Q的數(shù)制。Q稱為數(shù)制冪權(quán)的“底數(shù)”或數(shù)制的“底數(shù)”。底數(shù)Q的不同，決定了不同的Li，從而決定了不同的位值。這種數(shù)制稱為“Q進(jìn)制”。簡(jiǎn)稱為“進(jìn)制”。Qi可以阿拉伯?dāng)?shù)字來(lái)表示，也可以中文小寫(xiě)數(shù)字來(lái)表示。當(dāng)Q＝2，3，10等時(shí)，相應(yīng)的進(jìn)制就被稱為“二進(jìn)制”、“三進(jìn)制”、“十進(jìn)制”等。
另一種常用的權(quán)Li采用“等權(quán)”，即各位上的權(quán)L相同。
在任一個(gè)Q進(jìn)制數(shù)制中，當(dāng)P＝Q時(shí)，自然數(shù)在該數(shù)制中可以連續(xù)唯一的形態(tài)表達(dá)，稱為“連續(xù)數(shù)制”，又稱“普通數(shù)制”；當(dāng)P＞Q時(shí)，自然數(shù)在該數(shù)制中可以連續(xù)，但有時(shí)以多種形態(tài)表達(dá)，稱為“重復(fù)數(shù)制”；當(dāng)P＜Q時(shí)，自然數(shù)在該數(shù)制中只能斷續(xù)的形態(tài)表達(dá)，稱為“斷續(xù)數(shù)制”。
根據(jù)上述數(shù)制的三大要素，數(shù)制可以有無(wú)窮無(wú)盡的種類。
2.2混數(shù)及混數(shù)數(shù)制當(dāng)數(shù)元集Zi中，含數(shù)元0時(shí)，該相應(yīng)數(shù)制被稱為“含0數(shù)制”；當(dāng)數(shù)元集Zi中，不含數(shù)元0時(shí)，該相應(yīng)數(shù)制被稱為“不含0數(shù)制”。
當(dāng)數(shù)元集Zi中，既有正數(shù)元，又有負(fù)數(shù)元時(shí)，相應(yīng)數(shù)制被稱為“混數(shù)數(shù)制”；混數(shù)數(shù)制中的數(shù)，稱為“混數(shù)”。“混數(shù)”中既有正數(shù)元又有負(fù)數(shù)元的數(shù)，稱“純混數(shù)”。在{Q△}數(shù)中，既有正數(shù)元又有負(fù)數(shù)元的數(shù)，稱為“純{Q△}數(shù)”。({Q△}定義見(jiàn)下一節(jié)。)當(dāng)數(shù)元集Zi中，全部數(shù)元為連續(xù)整數(shù)成為“整數(shù)段”時(shí)，該相應(yīng)數(shù)制被稱為“整數(shù)段數(shù)制”；恩格斯指出“零比其他一切數(shù)都有更豐富的內(nèi)容。”鑒于“0”的這種特殊重要性，在《數(shù)制理論》中，含0整數(shù)段去掉0時(shí)，仍作為一種特殊的整數(shù)段。
當(dāng)數(shù)元集Zi中，正負(fù)數(shù)元是相反數(shù)時(shí)，相應(yīng)數(shù)制稱為“對(duì)稱數(shù)制”；顯然，“對(duì)稱數(shù)制”是“混數(shù)數(shù)制”的一種。
2.3增Q進(jìn)制{Q△}在《數(shù)制理論》中，建立了“代數(shù)數(shù)制”。一個(gè)數(shù)制的名稱采用“Zi Li”。對(duì)Q進(jìn)制，則為ZiQi；單一進(jìn)制時(shí)，則為ZQ。其中，Qi以中文小寫(xiě)數(shù)來(lái)表示。例如{0，1，2}三進(jìn)制。
對(duì)于含0的普通Q進(jìn)制，Z＝{0，1，…，(Q-1)}。故ZQ＝{0，1，…，(Q-1)}Q，Q為＞1的整數(shù)，稱為“含0普通Q進(jìn)制”。符號(hào)表示為{含0，Q}；對(duì)于不含0的{1，2，…，Q}Q，Q為自然數(shù)，稱為“不含0普通Q進(jìn)制”。符號(hào)表示為{不含0，Q}。
含0和不含0的普通Q進(jìn)制，合起來(lái)統(tǒng)稱為“普通Q進(jìn)制”，Q為自然數(shù)。符號(hào)表示為{Q}。當(dāng)不致誤解時(shí)，“含0普通Q進(jìn)制”亦可稱為“普通Q進(jìn)制”，亦以符號(hào){Q}來(lái)表示。故可以符號(hào){二}及{十}來(lái)表示普通二進(jìn)制及普通十進(jìn)制。
本文中的混數(shù)數(shù)制主要為以下幾類。
對(duì)于含0的{0，±1，…，±Q/2}Q進(jìn)制，Q為正偶數(shù)，稱為“含0增Q進(jìn)制”。符號(hào)表示為{含0，Q△}；對(duì)于不含0的{±1，±2，…，±(Q+1)/2}Q進(jìn)制，Q為正奇數(shù)，稱為“不含0增Q進(jìn)制”。符號(hào)表示為{不含0，Q△}。
含0和不含0的增Q進(jìn)制，合起來(lái)統(tǒng)稱為“增Q進(jìn)制”，Q為自然數(shù)。符號(hào)表示為{Q△}。當(dāng)不致誤解時(shí)，“含0增Q進(jìn)制”亦可稱為“增Q進(jìn)制”，亦以符號(hào){Q△}來(lái)表示。故可以符號(hào){十△}及{二△}來(lái)表示“增十進(jìn)制”及“增二進(jìn)制”。在《數(shù)制理論》中，{十△}的名稱是“單一基數(shù)P＝11，含0，整數(shù)段，對(duì)稱的十進(jìn)制”。可寫(xiě)為{十一，含0，整數(shù)段，對(duì)稱}十進(jìn)制，或者寫(xiě)為{0，±1，±2，…，±5}十進(jìn)制。一般情況下，進(jìn)一步符號(hào)表示為{十△}，稱為《增十進(jìn)制》；{二△}的名稱是“單一基數(shù)P＝3，含0，整數(shù)段，對(duì)稱的二進(jìn)制”。可寫(xiě)為{三，含0，整數(shù)段，對(duì)稱}二進(jìn)制，或者寫(xiě)為{0，±1}二進(jìn)制。一般情況下，進(jìn)一步符號(hào)表示為{二△}，稱為《增二進(jìn)制》。
在混數(shù)數(shù)制中，另一類為普通對(duì)稱含0的{0，±1，…，±(Q-1)/2}Q進(jìn)制，Q為＞1的奇數(shù)，稱為“含0普通對(duì)稱Q進(jìn)制”。符號(hào)表示為{含0，稱Q}；對(duì)不含0的{±1，…，±Q/2}Q進(jìn)制，Q為正偶數(shù)，稱為“不含0普通對(duì)稱Q進(jìn)制”。符號(hào)表示為{不含0，稱Q}。
含0和不含0的普通對(duì)稱Q進(jìn)制，合起來(lái)統(tǒng)稱為“普通對(duì)稱Q進(jìn)制”。Q為＞1的整數(shù)。符號(hào)表示為{稱Q}。當(dāng)不致誤解時(shí)，“含0普通對(duì)稱Q進(jìn)制”，亦可稱為“普通對(duì)稱Q進(jìn)制”，亦以符號(hào){稱Q}來(lái)表示。
3.《增進(jìn)方法ZJF》及其增十進(jìn)制{十△}四則運(yùn)算。
采用增Q進(jìn)制和《進(jìn)位行方法》來(lái)進(jìn)行有理數(shù)運(yùn)算的方法，稱為《增Q進(jìn)制、進(jìn)位行方法》，簡(jiǎn)稱為《增進(jìn)方法ZJF》。當(dāng)用于算盤(pán)或筆算數(shù)字工程，采用的是{十△}增十進(jìn)制等的《增進(jìn)方法ZJF》。當(dāng)用于電子計(jì)算機(jī)等之中時(shí)，采用的是{二△}增二進(jìn)制以及{十△}增十進(jìn)制等的《增進(jìn)方法ZJF》。
3.1{十△}的加法例123+344＝433 (見(jiàn)式八) 式八式中求得和為433。當(dāng)需要轉(zhuǎn)化為普通十進(jìn)制{十}數(shù)時(shí)，和為427。一般來(lái)說(shuō)，所求和433不必轉(zhuǎn)化(特別是作為計(jì)算過(guò)程中間結(jié)果時(shí))。確需轉(zhuǎn)化時(shí)，方法見(jiàn)4.1轉(zhuǎn)換法則。
3.2{十△}的減法3.2.1例123-344＝123+3 4 4＝341例112+14 4-32-125+13 3-54＝132(見(jiàn)式九)首先減法化為加法來(lái)運(yùn)算，這是由于混數(shù)的特性所決定。這一來(lái)，實(shí)際計(jì)算中，加減就合并為加法了。這就消除了通常連加減的困難。
3.2.2約混。這是指二數(shù)求和時(shí)，同一位上的相反數(shù)可以消去，也可稱為“對(duì)消”或“對(duì)沖”。在算式中，可以斜線劃去。也就是說(shuō)，所謂“對(duì)沖”，即兩相反數(shù)，其和為零。該位上的兩數(shù)不再參加以后的運(yùn)算。在實(shí)際運(yùn)算中，采用先“對(duì)沖”后“劃Q”來(lái)獲得增Q數(shù)的結(jié)果。
式九 式十3.3{十△}的乘法例242×131＝11502 (見(jiàn)式十)3.4{十△}的除法 式十一 式十二 式十三例14 332+23＝251……1要點(diǎn)①式十一采用原普通除法，現(xiàn)采用四則統(tǒng)一算式如式十二。
②式十二中由于采用混數(shù)可使除法中的“減”過(guò)程變?yōu)椤凹印钡倪^(guò)程。其余同此。
我們?yōu)榱巳サ簟皽p”過(guò)程的思路，可以令被除數(shù)變號(hào)，然后，整個(gè)“減”過(guò)程完全變成“加”過(guò)程。這可使整個(gè)運(yùn)算的復(fù)雜性進(jìn)一步降低。以后，我們的除法就以此來(lái)進(jìn)行。應(yīng)該注意，此時(shí)若出現(xiàn)余數(shù)，則要將該余數(shù)變號(hào)后，才是最終運(yùn)算結(jié)果的余數(shù)。
4.《增十進(jìn)制》{十△}與《普通十進(jìn)制》{十}的關(guān)系。
4.1{十△}與{十}數(shù)的轉(zhuǎn)換法這里指整數(shù)的情況，例如{十△}222324＝{十}221716(式十三)。
4.1.1{十}數(shù)需經(jīng)表一轉(zhuǎn)換成為{十△}數(shù)。
4.1.2{十△}數(shù)轉(zhuǎn)換成{十}。方法有幾種一種是將{十△}數(shù)變?yōu)橐徽回?fù)的兩個(gè){十}數(shù)求和。這有好多方式。其中，典型的是將該{十△}數(shù)中各正數(shù)字位及0位作為一正{十}數(shù)，而將各負(fù)數(shù)字位作為一負(fù){十}數(shù)。例{十△}222324＝{十}222020-304＝221716再一種是在該數(shù)的各位上，使正數(shù)不變；負(fù)數(shù)變?yōu)槠浣^對(duì)值對(duì)10取“補(bǔ)”數(shù)，同時(shí)在相鄰的高位減1(即加1)。

表一{十△}與{十}數(shù)對(duì)照表另一種方法是式十四{十△}數(shù)中，連續(xù)正數(shù)字(或0)的數(shù)字段照寫(xiě)不變。如222×2×。但，當(dāng)其不在{十△}數(shù)末尾(個(gè)位)時(shí)，則最低位加1；連續(xù)負(fù)數(shù)字的數(shù)字段，則使負(fù)數(shù)字變?yōu)槠浣^對(duì)值對(duì)9取“補(bǔ)”數(shù)，如×××6×5。然后，在其最低位加1。
這樣，求得結(jié)果為221716，即為相應(yīng){十}數(shù)。
4.2{十△}與{十}對(duì)照表及其說(shuō)明(對(duì)照表見(jiàn)表一)說(shuō)明①{十}數(shù)相應(yīng)的{十△}數(shù)可有重復(fù)數(shù)，也可沒(méi)有；②凡{十△}數(shù)中有數(shù)字5(正或負(fù))出現(xiàn)時(shí)，則相應(yīng)的{十}數(shù)有重復(fù)的{十△}數(shù)。此時(shí)，該相應(yīng)的{十}數(shù)中可有數(shù)字5，也可沒(méi)有。實(shí)質(zhì)上，由于{十△}的數(shù)元集中既含有5，又含有5才產(chǎn)生相應(yīng)的重復(fù)數(shù)。換句話說(shuō)，只要{十△}的數(shù)元集中去掉5或5，則不會(huì)產(chǎn)生重復(fù)數(shù)。這時(shí)，相應(yīng)這種無(wú)重復(fù)數(shù)的數(shù)制稱為偏Q進(jìn)制{Q’}，Q＝10的情況。
③{十△}數(shù)對(duì){十}數(shù)的重復(fù)數(shù)，以5＝15及5＝15為“主重復(fù)”，即其余重復(fù)數(shù)均可由此推出。
4.3{十△}與{十}關(guān)系分析4.3.1{十}數(shù)與{十△}數(shù)的關(guān)系是部分“一多對(duì)應(yīng)”關(guān)系，而不是“一一對(duì)應(yīng)”關(guān)系。正由于此，{十△}就獲得了部分多樣處理的靈活性。這是{十△}運(yùn)算中部分多樣性、快速性的原因。從這一點(diǎn)來(lái)說(shuō)，{十△}具有較強(qiáng)的功能。
4.3.2{十△}數(shù)轉(zhuǎn)換為{十}數(shù)，只能化為相應(yīng)唯一的一個(gè)數(shù)。這是因?yàn)?，{十△}數(shù)可經(jīng){十}數(shù)加減直接獲得，而{十}數(shù)加減運(yùn)算后的結(jié)果是唯一的。反之，{十}數(shù)也只能化為相應(yīng)唯一的一組{十△}數(shù)。所以，這種{十}數(shù)的“一”與{十△}數(shù)的“一”組，兩者是“一一對(duì)應(yīng)”關(guān)系。
由此，可建立一種{十△}數(shù)與{十}數(shù)的互為映射關(guān)系。對(duì)于運(yùn)算系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，{十}與{十△}數(shù)系統(tǒng)“同構(gòu)”。相應(yīng){十}數(shù)的各種基本運(yùn)算性質(zhì)，亦在{十△}數(shù)系統(tǒng)中成立。
4.3.3{十△}中P＞Q，因而在該數(shù)制中自然數(shù)有時(shí)會(huì)出現(xiàn)多種形態(tài)表達(dá)。這正是該數(shù)制靈活性所在，它使運(yùn)算得以簡(jiǎn)便快捷。也可以說(shuō){十△}是以部分多樣性來(lái)?yè)Q取了部分靈活性。{十}中P＝Q，因而在該數(shù)制中，自然數(shù)是連續(xù)唯一形態(tài)表達(dá)。它沒(méi)有這種多樣性，也缺少了這種相應(yīng)的靈活性。有了它，才有了《增進(jìn)方法ZJF》，才有了“筆算工程”的又一個(gè)新技術(shù)方案。有了它，也才有了處理器及其相應(yīng)電子計(jì)算機(jī)的又一個(gè)新技術(shù)方案。
4.3.4應(yīng)當(dāng)指出，顯然，上述對(duì){十}與{十△}的分析，完全相應(yīng)于{Q}與{Q△}的分析，因?yàn)閧十}與{Q}是同構(gòu)的。由此可知，①{Q}數(shù)與{Q△}數(shù)的關(guān)系是部分“一多對(duì)應(yīng)”，而不是“一一對(duì)應(yīng)”。②同時(shí)，{Q}中的“一”個(gè)數(shù)與相應(yīng)的{Q△}中的“一”組數(shù)，兩者之間是“一一對(duì)應(yīng)”關(guān)系。③{Q}與{Q△}數(shù)系統(tǒng)“同構(gòu)”。相應(yīng){Q}數(shù)系統(tǒng)的各種基本運(yùn)算性質(zhì)，亦在{Q△}數(shù)系統(tǒng)中成立。
以下2.3節(jié)到4.節(jié)為偏Q進(jìn)制的情況〖2.3偏Q進(jìn)制{Q’}在《數(shù)制理論》中，建立了“代數(shù)數(shù)制”。一個(gè)數(shù)制的名稱采用“Zi Li”。對(duì)Q進(jìn)制，則為ZiQi；單一進(jìn)制時(shí)，則為ZQ。其中，Qi以中文小寫(xiě)數(shù)來(lái)表示。例如{0，1，2}三進(jìn)制。
對(duì)于含0的普通Q進(jìn)制，Z＝{0，1，…，(Q-1)}。故ZQ＝{0，1，…，(Q-1)}Q進(jìn)制，Q為＞1的整數(shù)，稱為“含0普通Q進(jìn)制”。符號(hào)表示為{含0，Q}；對(duì)于不含0的{1，2，…，Q}Q，Q為自然數(shù)，稱為“不含0普通Q進(jìn)制”。符號(hào)表示為{不含0，Q}。
含0和不含0的普通Q進(jìn)制，合起來(lái)統(tǒng)稱為“普通Q進(jìn)制”，Q為自然數(shù)。符號(hào)表示為{Q}。當(dāng)不致誤解時(shí)，“含0普通Q進(jìn)制”亦可稱為“普通Q進(jìn)制”，-亦以符號(hào){Q}來(lái)表示。故可以符號(hào){二}及{十}來(lái)表示普通二進(jìn)制及普通十進(jìn)制。
本文中的混數(shù)數(shù)制主要為以下幾類。
對(duì)于含0的{0，±1，…，±Q/2-1，Q/2}Q進(jìn)制，Q為正偶數(shù)，稱為“含0偏Q進(jìn)制”。符號(hào)表示為{含0，Q’}；對(duì)于不含0的{±1，±2，…，±(Q-1)/2，(Q+1)/2}Q，Q為＞1的奇數(shù)，稱為“不含0偏Q進(jìn)制”。符號(hào)表示為{不含0，Q’}。
含0和不含0的偏Q進(jìn)制，合起來(lái)統(tǒng)稱為“偏Q進(jìn)制”，Q為＞1的整數(shù)。符號(hào)表示為{Q’}。當(dāng)不致誤解時(shí)，“含0偏Q進(jìn)制”亦可稱為“偏Q進(jìn)制”，亦以符號(hào){Q’}來(lái)表示。故可以符號(hào){十’}及{二’}來(lái)表示“偏十進(jìn)制”及“偏二進(jìn)制”。在《數(shù)制理論》中，{十’}的名稱是“單一基數(shù)P＝10，含0，整數(shù)段，偏對(duì)稱的十進(jìn)制”。可寫(xiě)為{十，含0，整數(shù)段，偏對(duì)稱}十進(jìn)制，或者寫(xiě)為{0，±1，±2，…，±4，5}十進(jìn)制。一般情況下，進(jìn)一步符號(hào)表示為{十’}，稱為《偏十進(jìn)制》；{二’}的名稱是“單一基數(shù)P＝2，含0，整數(shù)段，偏對(duì)稱的二進(jìn)制”?？蓪?xiě)為{二，含0，整數(shù)段，偏對(duì)稱}二進(jìn)制，或者寫(xiě)為{0，1}二進(jìn)制。一般情況下，進(jìn)一步符號(hào)表示為{二’}，稱為《偏二進(jìn)制》。
在混數(shù)數(shù)制中，另一類為普通對(duì)稱含0的{0，±1，…，±(Q-1)/2}Q進(jìn)制，Q為＞1的奇數(shù)，稱為“含0普通對(duì)稱Q進(jìn)制”。符號(hào)表示為{含0，稱Q}；-對(duì)不含0的{±1，…，±Q/2}Q進(jìn)制，Q為正偶數(shù)，稱為“不含0普通對(duì)稱Q進(jìn)制”。符號(hào)表示為{不含0，稱Q}。
含0和不含0的普通對(duì)稱Q進(jìn)制，合起來(lái)統(tǒng)稱為“普通對(duì)稱Q進(jìn)制”。Q為＞1的整數(shù)。符號(hào)表示為{稱Q}。當(dāng)不致誤解時(shí)，“含0普通對(duì)稱Q進(jìn)制”，亦可稱為“普通對(duì)稱Q進(jìn)制”，亦以符號(hào){稱Q}來(lái)表示。
3.《偏進(jìn)方法PJF》及其偏十進(jìn)制{十’}四則運(yùn)算。
采用偏Q進(jìn)制和《進(jìn)位行方法》來(lái)進(jìn)行有理數(shù)運(yùn)算的方法，稱為《偏Q進(jìn)制、進(jìn)位行方法》，簡(jiǎn)稱為《偏進(jìn)方法PJF》。當(dāng)用于算盤(pán)或筆算數(shù)字工程，采用的是{十’}偏十進(jìn)制等的《偏進(jìn)方法PJF》。當(dāng)用于電子計(jì)算機(jī)等之中時(shí)，采用的是{二’}偏二進(jìn)制以及{十’}偏十進(jìn)制等的《偏進(jìn)方法PJF》。
3.1{十’}的加法例123+344＝433(見(jiàn)式八) 式八式中求得和為433。當(dāng)需要轉(zhuǎn)化為普通十進(jìn)制{十}數(shù)時(shí)，和為427。一般來(lái)說(shuō)，所求和433不必轉(zhuǎn)化(特別是作為計(jì)算過(guò)程中間結(jié)果時(shí))。確需轉(zhuǎn)化時(shí)，方法見(jiàn)4.1轉(zhuǎn)換法則。
3.2{十’}的減法3.2.1例123-344＝123+3 4 4＝341例112+14 4+3 2+115+133+154＝132(見(jiàn)式九)首先減法化為加法來(lái)運(yùn)算，這是由于混數(shù)的特性所決定。這一來(lái)，實(shí)際計(jì)算中，加減就合并為加法了。這就消除了通常連加減的困難。
3.2.2約混。這是指二數(shù)求和時(shí)，同一位上的相反數(shù)可以消去，也可稱為“對(duì)消”或“對(duì)沖”。在算式中，可以斜線劃去。也就是說(shuō)，所謂“對(duì)沖”，即兩相反數(shù)，其和為零。該位上的兩數(shù)不再參加以后的運(yùn)算。在實(shí)際運(yùn)算中，采用先“對(duì)沖”后“劃Q”來(lái)獲得偏Q數(shù)的結(jié)果。

3.3{十’}的乘法例242×131＝11502 (見(jiàn)式十)3.4{十’}的除法 式十一 式十二 式十三例14 332÷23＝251……1要點(diǎn)①式十一采用原普通除法，現(xiàn)采用四則統(tǒng)一算式如式十二。
②式十二中由于采用混數(shù)可使除法中的“減”過(guò)程變?yōu)椤凹印钡倪^(guò)程。其余同此。
我們?yōu)榱巳サ簟皽p”過(guò)程的思路，可以令被除數(shù)變號(hào)，然后，整個(gè)“減”過(guò)程完全變成“加”過(guò)程。這可使整個(gè)運(yùn)算的復(fù)雜性進(jìn)一步降低。以后，我們的除法就以此來(lái)進(jìn)行。應(yīng)該注意，此時(shí)若出現(xiàn)余數(shù)則要將該余數(shù)變號(hào)后，才是最終運(yùn)算結(jié)果的余數(shù)。
4.《偏十進(jìn)制》{十’}與《普通十進(jìn)制》{十}的關(guān)系。
4.1{十’}與{十}數(shù)的轉(zhuǎn)換法這里指整數(shù)的情況，例如{十’}222324＝{十}221716(式十三)。
4.1.1{十}數(shù)需經(jīng)表一轉(zhuǎn)換成為{十’}數(shù)。
4.1.2{十’}數(shù)轉(zhuǎn)換成{十}。方法有幾種一種是將{十’}數(shù)變?yōu)橐徽回?fù)的兩個(gè){十}數(shù)求和。這有好多方式。其中，典型的是將該{十’}數(shù)中各正數(shù)字位及0位作為一正{十}數(shù)，而將各負(fù)數(shù)字位作為一負(fù){十}數(shù)。例{十’}222324＝{十}222020-304＝221716再一種是在該數(shù)的各位上，使正數(shù)不變；負(fù)數(shù)變?yōu)槠浣^對(duì)值對(duì)10取“補(bǔ)”數(shù)，同時(shí)在相鄰的高位減1(即加1)。
另一種方法是式十四{十’}數(shù)中，連續(xù)正數(shù)字(或0)的數(shù)字段照寫(xiě)不變。如222×2×。但，當(dāng)其不在{十’}數(shù)末尾(個(gè)位)時(shí)，

表一 {十’}與{十}數(shù)對(duì)照表則最低位加1；連續(xù)負(fù)數(shù)字的數(shù)字段，則使負(fù)數(shù)字變?yōu)槠浣^對(duì)值對(duì)9取“補(bǔ)”數(shù)，如×××6×5。然后，在其最低位加1。這樣，求得結(jié)果為221716，即為相應(yīng){十}數(shù)。
4.2{十’}與{十}對(duì)照表及其說(shuō)明(對(duì)照表見(jiàn)表一)說(shuō)明表一中相應(yīng)這種無(wú)重復(fù)數(shù)的數(shù)制稱為偏Q進(jìn)制{Q’}，Q＝10的情況。
4.3{十’}與{十}關(guān)系分析4.3.1{十}數(shù)與{十’}數(shù)的關(guān)系是“一一對(duì)應(yīng)”關(guān)系。{十’}數(shù)轉(zhuǎn)換為{十}數(shù)，只能化為相應(yīng)唯一的一個(gè)數(shù)。這是因?yàn)?，{十’}數(shù)可經(jīng){十}數(shù)加減直接獲得，而{十}數(shù)加減運(yùn)算后的結(jié)果是唯一的。反之，{十}數(shù)也只能化為相應(yīng)唯一的{十’}數(shù)。所以，這種{十}數(shù)的“一”個(gè)數(shù)與{十’}數(shù)的“一”個(gè)數(shù)，兩者是“一一對(duì)應(yīng)”關(guān)系。
4.3.2由此，可建立一種{十’}數(shù)與{十}數(shù)的互為映射關(guān)系。對(duì)于運(yùn)算系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，{十}與{十’}數(shù)系統(tǒng)“同構(gòu)”。相應(yīng){十}數(shù)的各種基本運(yùn)算性質(zhì)，亦在{十’}數(shù)系統(tǒng)中成立。
4.3.3{十’}中P＝Q，因而在該數(shù)制中，自然數(shù)是連續(xù)唯一形態(tài)表達(dá)。它沒(méi)有多樣性，也缺少了相應(yīng)的靈活性。
有了它，才有了《偏進(jìn)方法PJF》，才有了“筆算工程”的又一個(gè)新技術(shù)方案。有了它，也才有了處理器及其相應(yīng)電子計(jì)算機(jī)的又一個(gè)新技術(shù)方案。
4.3.4應(yīng)當(dāng)指出，顯然，上述對(duì){十}與{十’}的分析，完全相應(yīng)于{Q}與{Q’}的分析，因?yàn)閧十}與{Q}同構(gòu)。由此可知，①{Q}數(shù)與{Q’}數(shù)的關(guān)系是“一一對(duì)應(yīng)”。②{Q}與{Q’}數(shù)系統(tǒng)“同構(gòu)”。相應(yīng){Q}數(shù)系統(tǒng)的各種基本運(yùn)算性質(zhì)，亦在{Q’}數(shù)系統(tǒng)中成立。〗5.綜合上述，可有如下簡(jiǎn)明結(jié)論增/偏Q進(jìn)制及《增/偏進(jìn)方法ZJF/PJF》在數(shù)字工程中，可顯著提高運(yùn)算速度，而且大大降低筆算的出錯(cuò)率。它正是錢(qián)學(xué)森指出的數(shù)學(xué)第三層次“直接應(yīng)用的工程技術(shù)”。這種“工程技術(shù)”與數(shù)字計(jì)算工程緊密結(jié)合的方法，稱為“增/偏Q進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法”。
第二部分 混Q算盤(pán)圖1為正負(fù)碼編碼的增/偏Q算盤(pán)機(jī)械結(jié)構(gòu)示意圖。以四則運(yùn)算的加法為例，被加數(shù)布珠在豎檔(7)上，其個(gè)位在右邊為被加數(shù)小數(shù)點(diǎn)的豎檔(7)。游標(biāo)1(3)在上框小槽(6)中滑動(dòng)到指定的被加數(shù)小數(shù)點(diǎn)位置。參加運(yùn)算的數(shù)為增/偏Q進(jìn)制數(shù)，簡(jiǎn)稱“增/偏Q數(shù)”。當(dāng)Q＝10時(shí)，則為增/偏十進(jìn)制數(shù)，簡(jiǎn)稱為“增/偏十?dāng)?shù)”。
在運(yùn)算時(shí)，依加法口訣執(zhí)行。設(shè)該加數(shù)的某位為正數(shù)，則將位于豎檔(7)中央的算珠(1)(稱為中珠或“零珠”)，上撥依次緊靠上框(6)(稱為“上珠”或“正珠”)；某位為負(fù)數(shù)時(shí)，則將位于豎檔(7)中央的算珠(1)，下?lián)芤来尉o靠下框(9)(稱為“下珠”或“負(fù)珠”)。布珠及運(yùn)算照口訣。和數(shù)以增/偏Q數(shù)呈現(xiàn)于豎檔(7)上。在運(yùn)算過(guò)程中，當(dāng)算珠從下位移到中位，或從中位移到上位，則為“加”；反之，當(dāng)算珠從上位移到中位，或從中位移到下位，則為“減”或“加”負(fù)值。運(yùn)算中可充分運(yùn)用“對(duì)沖”及“劃Q”，用來(lái)提高運(yùn)算速度。
當(dāng)最終結(jié)果需要轉(zhuǎn)換為普通十進(jìn)制數(shù)時(shí)，則照前述轉(zhuǎn)換法則即可。
在豎檔上的運(yùn)算格式如下 加法、乘法珠算口訣<1>一下九上一，二下八上一，三下七上一，四下六上一，五下五上一，六下四上一，七下三上一，八下二上一，九下一上一，五下下上一，(其中9＝8和1，7和2，6和3，5和4；8＝7和1，6和2，5和3，4和4；7＝6和1，5和2，4和3，；6＝5和1，4和2，3和3；5＝4和1，3和2；4＝3和1，2和2；3＝2和1；2＝1和1；1＝1；)<2>加“負(fù)數(shù)”時(shí)——將上述口訣變?yōu)槭讛?shù)為負(fù)，“上”與“下”互相替換。例如，六上四下一。這里，由于口訣與上述“對(duì)稱”，故未增加復(fù)雜性。
<3>“對(duì)沖”及“劃Q”(Q＝10時(shí)為“劃十”)<4>與{十}數(shù)轉(zhuǎn)換口訣——①需轉(zhuǎn)換的增/偏Q進(jìn)制數(shù)首位為負(fù)時(shí)，表示該數(shù)為負(fù)數(shù)。則將該數(shù)變號(hào)，即各位變?yōu)橄喾磾?shù)，然后再轉(zhuǎn)換。
②固定該數(shù)的正數(shù)元不變。
③將負(fù)數(shù)元轉(zhuǎn)換為正數(shù)元，口訣為上述加負(fù)數(shù)的口訣中，“上”變?yōu)椤稗D(zhuǎn)”即可。也就是使負(fù)數(shù)元?dú)w0，然后替換為對(duì)十取補(bǔ)的相應(yīng)正數(shù)元。當(dāng)需要時(shí)，則配以表示值為(0，±5)的“轉(zhuǎn)換標(biāo)示”。例如4→歸零→四上六下一，取4對(duì)10的補(bǔ)數(shù)6→(1+轉(zhuǎn)換標(biāo)示5)。
圖2為三角塊“轉(zhuǎn)換標(biāo)示”(10)。當(dāng)需要把運(yùn)算結(jié)果增/偏十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為普通十進(jìn)制數(shù)時(shí)，以此作為(0，±5)的“轉(zhuǎn)換標(biāo)示”。圖3為本發(fā)明的另一種形式機(jī)械結(jié)構(gòu)示意圖，其操作基本同上，它以二態(tài)的上下檔珠來(lái)進(jìn)行運(yùn)算及轉(zhuǎn)換。
第三部分 增/偏Q進(jìn)制{Q△}及全一碼1.增/偏Q進(jìn)制{Q△}1.1定義及符號(hào)在一個(gè)Q進(jìn)制數(shù)制中，凡P＝Q+1＞Q的進(jìn)制，稱為“增強(qiáng)型Q進(jìn)制”。Q為自然數(shù)。簡(jiǎn)稱為“增/偏Q進(jìn)制”，以符號(hào){Q△}來(lái)表示。增/偏Q進(jìn)制{Q△}有很多種。其中對(duì)稱的即為前述增/偏Q進(jìn)制，此外，還有不對(duì)稱的增/偏Q進(jìn)制{Q△}。
1.2增一進(jìn)制{一△}及其運(yùn)算增/偏Q進(jìn)制{Q△}中，當(dāng)Q＝1時(shí)，即為增一進(jìn)制{一△}。增一進(jìn)制{一△}中，主要有二種。其一是{0，1}一進(jìn)制，其元器件為二態(tài)器件。其二是{1，1}一進(jìn)制，其元器件亦為二態(tài)器件，它亦可表示全部整數(shù)。本文下面所稱“增一進(jìn)制{一△}”，除特別注明外，均指{0，1}一進(jìn)制。
增一進(jìn)制{一△}的運(yùn)算。這里列出加法運(yùn)算，例如{+}4+3+2＝9＝{一△}110101+1011+101＝11001100010101011。
1.3增一進(jìn)制{一△}與{Q}的關(guān)系。
1.3.1{一△}數(shù)與{Q}數(shù)的轉(zhuǎn)換法。
{一△}數(shù)轉(zhuǎn)換成{Q}數(shù)，可以將{一△}數(shù)中的各位數(shù)字1，以{Q}計(jì)數(shù)即可。所得{Q}計(jì)數(shù)和，即為相應(yīng)的{Q}數(shù)。這就是說(shuō)，{一△}數(shù)中有幾個(gè)1，則相應(yīng)的{Q}數(shù)即為幾。顯然，這是十分簡(jiǎn)單的法則。(見(jiàn)表二){Q}數(shù)轉(zhuǎn)換成{一△}數(shù)，可將{Q}數(shù)各位均乘以各位上的權(quán)，{一△} {二} {十}{十}{二}{一△} 表二 表三1 1楊1 2 1 輝1 3 3 1三1 4 6 4 1角. .
. . 形. .
表 四然后將這些積以同樣個(gè)數(shù)的1，分別在所要表達(dá)的{一△}數(shù)位置上，以不重復(fù)的方式列出即可。這就是說(shuō)，{Q}數(shù)為幾，則{一△}數(shù)中就有幾個(gè)1。顯然，這也是十分簡(jiǎn)單的法則。(見(jiàn)表三)1.3.2{一△}-數(shù)與{Q}數(shù)對(duì)照表及其說(shuō)明說(shuō)明①{一△}數(shù)可表示全部{Q}數(shù)②有較多的重復(fù)數(shù)，以4位{一△}數(shù)為例，除0及4唯一外，其余均有重復(fù)數(shù)。其中，1有4個(gè)；2有6個(gè)；3有4個(gè)。于是，從0～4的重復(fù)數(shù)分別為1，4，6，4，1個(gè)。這與二項(xiàng)式展開(kāi)系數(shù)CKn是一致的。(位數(shù)n為自然數(shù)，K為0～n。)(見(jiàn)表四揚(yáng)輝三角形。)
③表中表示為任意非負(fù)整數(shù)位連續(xù)的0，稱為“無(wú)限延數(shù)” {一△}數(shù)中，無(wú)限延數(shù)有且僅有一個(gè)，即為 1.3.3{一△}與{Q}關(guān)系分析。
(1)Q⊃1,]]>Q為自然數(shù)；1為最小的自然數(shù)，也是最基本的自然數(shù)單元。Q真包含1，這使得相應(yīng)的{Q}及{一△}之間存在自然的聯(lián)系。
(2){Q}數(shù)與{一△}數(shù)的關(guān)系是“一多對(duì)應(yīng)”關(guān)系，而不是“一一對(duì)應(yīng)”關(guān)系。正由于此，{一△}就獲得了多樣處理的靈活性。這是{一△}運(yùn)算中快速性的原因之一。從這一點(diǎn)來(lái)說(shuō)，{一△}具有較強(qiáng)的功能。
(3){一△}數(shù)轉(zhuǎn)換為{Q}數(shù)，只能化為相應(yīng)唯一的一個(gè)數(shù)。這是因?yàn)?，{一△}數(shù)可經(jīng){Q}加減直接獲得，而{Q}數(shù)加減運(yùn)算后的結(jié)果是唯一的。反之，{Q}也只能化為相應(yīng)唯一的一組{一△}無(wú)限延數(shù)。所以，這種{Q}數(shù)的“一”與{一△}無(wú)限延數(shù)的“一”組兩者是“一一對(duì)應(yīng)”關(guān)系。由此，可建立一種{一△}數(shù)與{Q}數(shù)的互為映射關(guān)系。對(duì)于運(yùn)算系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，{Q}與{一△}數(shù)系統(tǒng)是“同構(gòu)”。相應(yīng){Q}數(shù)的各種基本運(yùn)算性質(zhì)，亦在{一△}數(shù)系統(tǒng)中成立。
(4){一△}中P＝Q+1＞Q，因而在該數(shù)制中，自然數(shù)有時(shí)會(huì)出現(xiàn)多種形態(tài)表達(dá)，這正是該數(shù)制靈活性所在，它使得運(yùn)算得以簡(jiǎn)便快捷。也可以說(shuō)，{一△}是以多樣性來(lái)?yè)Q取了靈活性。
(Q)中P＝Q，因而在該類數(shù)中，自然數(shù)是連續(xù)唯一形態(tài)表達(dá)。它沒(méi)有這種多樣性，也缺少了這種相應(yīng)的靈活性。
(5)上述{一△}與{Q△}相結(jié)合，使得功能更加增強(qiáng)?？紤]到{一△}→{Q}→{Q△}，這其中有著內(nèi)在的聯(lián)系。顯然，這一切均在預(yù)料之中。
1.4增一進(jìn)制{一△}的應(yīng)用1.4.1增一進(jìn)制{一△}的運(yùn)算是一種優(yōu)異的運(yùn)算。由于它以么元1配以0構(gòu)造數(shù)，而且權(quán)為1，故其“運(yùn)算”常以“傳送”來(lái)實(shí)現(xiàn)。這是{一△}數(shù)運(yùn)算中快速性原因之一。{一△}數(shù)運(yùn)算中的“進(jìn)位”，也以二數(shù)當(dāng)前位的按位加和為0，而進(jìn)位為Q的“劃Q”邏輯實(shí)現(xiàn)。這種“傳送”及“劃Q”即的邏輯實(shí)現(xiàn)，結(jié)構(gòu)特別簡(jiǎn)單，速度特別快。這是{一△}數(shù)運(yùn)算中快速性原因之二。
當(dāng){一△}數(shù)與{Q△}數(shù)結(jié)合運(yùn)算時(shí)，又補(bǔ)充了“對(duì)沖”這一結(jié)構(gòu)更為簡(jiǎn)單、速度更為快速的邏輯。這是{一△}數(shù)運(yùn)算快速性原因之三。
1.4.2{一△}與{Q△}結(jié)合可作為多種新一代超高速電子計(jì)算機(jī)的技術(shù)方案。[例見(jiàn)第四部分。]2.全一進(jìn)制、全一數(shù)及全一碼2.1全一進(jìn)制和全一數(shù)增一進(jìn)制{一△}數(shù)的多樣性是{一△}數(shù)運(yùn)算快速的原因之一。但是，由于{一△}數(shù)具有極端的多樣，在同一個(gè)數(shù)中可出現(xiàn)一次以上的無(wú)限延數(shù)，常造成數(shù)的表達(dá)形式難以把握。由此造成運(yùn)算數(shù)過(guò)于分散，不便于控制，勢(shì)必增加設(shè)備并且影響運(yùn)算速度。因此，在一般情況下，有必要對(duì){一△}數(shù)加以某種約束條件。這就產(chǎn)生了“全一進(jìn)制”。
在增一進(jìn)制{一△}的正整數(shù)中，限定每一組無(wú)限延數(shù)。只選取自個(gè)位開(kāi)始，從右向左連續(xù)排列么元1的唯一的一種形態(tài)表達(dá)；高位上均為0，以空位表示。例如{+}數(shù)3＝{一△}數(shù)111/1110/1101/…(“/”表“或者”)，限定為 這樣，每一組無(wú)限延數(shù)中的重復(fù)數(shù)均被刪除，只剩下一個(gè)全是1的唯一形態(tài)，我們稱為“全一數(shù)”。表達(dá)“全一數(shù)”的進(jìn)制稱之為“全一進(jìn)制”。表三中，{一△}數(shù)最左邊的形態(tài)，即為“全一進(jìn)制”數(shù)。當(dāng)考慮到正負(fù)整數(shù)時(shí)，可以將該全一進(jìn)制數(shù)的正負(fù)符號(hào)，分配到該數(shù)的各位上去，從而構(gòu)造帶符號(hào)的全一進(jìn)制。下述“全一進(jìn)制”均為此種帶符號(hào)的全一進(jìn)制。
因此，“全一進(jìn)制”可以是加特定約束條件的增一進(jìn)制{一△}。
在《數(shù)制理論》的“位值制數(shù)制”中，定義數(shù)中的空位表示0，具有隱含的“空位0”；在其數(shù)元集中，“空位”是一種特殊的數(shù)元，稱為“空位元”。簡(jiǎn)稱為“空元”。因此，“全一進(jìn)制”可以從不含0普通Q進(jìn)制{不含0，Q}中的{1}一進(jìn)制加符號(hào)位獲得；“全一進(jìn)制”還可以從不含0增一進(jìn)制{不含0，一△}中的“{1，1}一進(jìn)制”加約束條件獲得，約束條件為該進(jìn)制數(shù)必須各位上符號(hào)均相同；此外，還有多種方法可以獲得。
2.2全一碼全一進(jìn)制顯然具有如下優(yōu)缺點(diǎn)。優(yōu)點(diǎn)①運(yùn)算速度快?！皞魉汀贝媪恕胺D(zhuǎn)”。②多重運(yùn)算時(shí)，不需要二、二求和，只需要先“對(duì)沖”及后“劃Q”即可得結(jié)果。這就大大加快了總體運(yùn)算速度。③與{Q}轉(zhuǎn)換方便。缺點(diǎn)①“字長(zhǎng)”太長(zhǎng)，位數(shù)多。(當(dāng)取可變字長(zhǎng)時(shí)，其平均字長(zhǎng)僅為一半。)②荷載信息量較小。因此，根據(jù)全一進(jìn)制的優(yōu)缺點(diǎn)，揚(yáng)長(zhǎng)避短，以全一進(jìn)制來(lái)編碼{Q△}是合適的。以“全一進(jìn)制”來(lái)編碼，稱為“全一編碼”。“全一編碼”中采用的“全一數(shù)”，稱為“全一碼”。由上述全一進(jìn)制是帶符號(hào)的可知，全一碼也是帶符號(hào)的。表五，顯示出全一碼一位，編碼{二}數(shù)元的情況。由表五可見(jiàn)，全一碼一位編碼的{二}數(shù)，即為{二}數(shù)本身。表六，顯示出以全一碼九位，編碼{十}數(shù)元的情況。由表六可見(jiàn)，全一碼九位編碼的{十}，字長(zhǎng)增加至9倍。(當(dāng)取可變字長(zhǎng)時(shí)，其平均字長(zhǎng)僅為5倍。)例如{十}23＝全一碼 ＝≡。
一位全一碼{二} 九位全一碼 {十}0 000 … 0 01 100 … 1 100 … 11 2   表五111111111 9表六對(duì)于增/偏Q進(jìn)制{Q△}，也可以全一碼來(lái)編碼。需要指出的是，這里全一碼一位編碼的{二△}數(shù)，即為{二△}數(shù)本身；這里{十△}數(shù)，則以五位全一碼來(lái)編碼。
2.3全一碼的計(jì)算。
全一碼的計(jì)算非常簡(jiǎn)單。以二數(shù)加法為例，僅為二數(shù)中1的不重復(fù)排列，稱為“排1”。如11+111＝11111。特別是，在{Q△}數(shù)字工程中，僅僅只需先“對(duì)沖”后“劃Q”就能獲得{Q△}數(shù)運(yùn)算結(jié)果。當(dāng)最終結(jié)果需要輸出時(shí)，才將以全一碼編碼的{Q△}數(shù)轉(zhuǎn)換成{十}數(shù)輸出。
2.4全一碼的應(yīng)用。
全一碼主要應(yīng)用于對(duì){Q}及{Q△}數(shù)進(jìn)行編碼。特別是，①采用全一碼九位編碼{十}數(shù)，可以實(shí)現(xiàn)普通十進(jìn)制{十}、全一碼、進(jìn)位行算盤(pán)。
②采用全一碼五位編碼{十△}數(shù)，可以實(shí)現(xiàn)增/偏十進(jìn)制{十△}、全一碼、進(jìn)位行算盤(pán)。
③采用全一碼編碼{Q△}數(shù)，可以實(shí)現(xiàn)增/偏Q進(jìn)制{Q△}、全一碼、進(jìn)位行算盤(pán)。
④采用全一碼五位編碼{十}或{十△}數(shù)，再以“正負(fù)碼”來(lái)二次編碼(即，以相應(yīng)的正負(fù)數(shù)對(duì)來(lái)編碼)，可以實(shí)現(xiàn)又一種算盤(pán)的新技術(shù)方案。
⑤采用全一碼五位編碼{十}或{十△}數(shù)，再以“正負(fù)碼”來(lái)二次編碼(即，以相應(yīng)的正負(fù)數(shù)對(duì)來(lái)編碼)，可以實(shí)現(xiàn)又一種筆算工程的新技術(shù)方案。
第四部分正 負(fù) 碼以正數(shù)、負(fù)數(shù)或正數(shù)、0、負(fù)數(shù)的正負(fù)數(shù)對(duì)來(lái)對(duì)數(shù)制的數(shù)元進(jìn)行編碼的方法，稱為“正負(fù)碼編碼”。相應(yīng)的碼稱為“正負(fù)碼”。人為構(gòu)造如下正負(fù)碼，參見(jiàn)表七。將增/偏十進(jìn)制數(shù)的數(shù)元s，以三個(gè)特定值之和來(lái)編碼。其中例如，一位正值，一位0值，一位負(fù)值。(見(jiàn)增/偏十進(jìn)制數(shù)與正負(fù)碼對(duì)照表。)表中s為{十△}/{十’}整數(shù)，r＝{十}0，1，2，3，4，5。
表七 增/偏十進(jìn)制數(shù)與正負(fù)碼對(duì)照表 顯然，r+0+r+s＝r+0+r+s＝s；r+s+0+r＝s。
圖1中算珠在豎檔的上、中、下三個(gè)位置，即成為“上珠”、“中珠”和“下珠”。以上珠來(lái)表示這里的正值，以下珠來(lái)表示這里的負(fù)值，以中珠(又稱為“零珠”)來(lái)表示中間值0。采用中間值0的設(shè)計(jì)，是為了存放多余的零珠。在運(yùn)算過(guò)程中，當(dāng)算珠從下位移到中位，或從中位移到上位，則為“加”；反之，當(dāng)算珠從上位移到中位，或從中位移到下位，則為“減”或“加”負(fù)值。運(yùn)算中可充分運(yùn)用“對(duì)沖”及“劃十”，用來(lái)提高運(yùn)算速度。
權(quán)利要求
1.一種增/偏Q進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法，包括以下步驟第1步，設(shè)K個(gè)普通Q進(jìn)制數(shù)參予運(yùn)算，K為≥2的正整數(shù)，Q為自然數(shù)；將這些數(shù)轉(zhuǎn)換成增/偏Q進(jìn)制數(shù)；第2步，對(duì)K個(gè)數(shù)同時(shí)進(jìn)行增/偏Q進(jìn)制的求和運(yùn)算，從最低位開(kāi)始或各位同時(shí)按位相加，即在某一位上，取K個(gè)數(shù)中的二個(gè)數(shù)按位相加，得到“按位和”為該位這二個(gè)數(shù)相加的和數(shù)，將此和數(shù)記入下一運(yùn)算層，作為“部份和”數(shù)；同時(shí)所得“增/偏Q進(jìn)位”，則存放到下一運(yùn)算層的任一進(jìn)位行中與該位相鄰的高位處；第3步，在該位上取K個(gè)數(shù)中的另二個(gè)數(shù)，進(jìn)行第2步的運(yùn)算，如此反復(fù)，直至K個(gè)數(shù)均取完為止；當(dāng)K個(gè)數(shù)中僅剩下一個(gè)數(shù)時(shí)，則直接移至下一運(yùn)算層的同一位上作為“部份和”數(shù)；第4步，在上述某位的相鄰高位上，重復(fù)第2步及第3步的運(yùn)算，直至K個(gè)運(yùn)算數(shù)的每一位都已全部操作；當(dāng)K個(gè)數(shù)的各位同時(shí)進(jìn)行第2步及第3步運(yùn)算時(shí)，則本步可跳越過(guò)去；第5步，在下一個(gè)運(yùn)算層中，將上述“按位和”數(shù)與進(jìn)位行中的“進(jìn)位數(shù)”進(jìn)行前述第2步、第3步、第4步求和運(yùn)算；第6步，重復(fù)第2步至第5步的運(yùn)算，直至不產(chǎn)生“增/偏Q進(jìn)位”為止，則最后一次“按位加”所得和數(shù)，即為所求增/偏Q進(jìn)制加法運(yùn)算結(jié)果。
2.如權(quán)利要求1的增/偏Q進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法，其特征在于在某一位上，對(duì)K個(gè)數(shù)中的二個(gè)數(shù)進(jìn)行求和運(yùn)算時(shí)，如果其中兩個(gè)運(yùn)算數(shù)的該位為相反數(shù)，則該位和為零，然后將該兩個(gè)運(yùn)算數(shù)的某位均以邏輯方式置“0”，不再參加以后的運(yùn)算，這稱為“對(duì)沖”；如果在某一位上，對(duì)K個(gè)數(shù)中的二個(gè)數(shù)進(jìn)行求和運(yùn)算時(shí)，其中兩個(gè)運(yùn)算數(shù)的按位加和為零，但產(chǎn)生進(jìn)位，則將其進(jìn)位放入任一進(jìn)位行中的相鄰高位，然后將該兩個(gè)運(yùn)算數(shù)的某位均以邏輯方式置“0”，不再參加以后的運(yùn)算，這稱為“劃Q”；或者，不采用“對(duì)沖”及“劃Q”。
3.如權(quán)利要求1或2的增/偏Q進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法，其特征在于可以不編碼增/偏Q進(jìn)制；可以普通8421碼等來(lái)編碼增/偏Q進(jìn)制數(shù)；也可以全一碼來(lái)編碼增/偏Q進(jìn)制數(shù)，即將各個(gè)增/偏Q進(jìn)制數(shù)的每一位數(shù)S，都以S個(gè)1從最低位順序至高位排列來(lái)對(duì)應(yīng)，其余高位均為0，總位數(shù)則為(Q-1)位；同時(shí)，將增/偏Q進(jìn)制數(shù)中該位的數(shù)符，即表示該位的數(shù)為正或負(fù)，作為相應(yīng)全一碼中每一位上的數(shù)符。
4.如權(quán)利要求1-3任一個(gè)的增/偏Q進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法，其特征在于當(dāng)采用全一碼來(lái)編碼增/偏Q進(jìn)制數(shù)時(shí)，二數(shù)加法僅為二數(shù)中1的不重復(fù)排列。
5.權(quán)利要求1或2的增/偏Q進(jìn)制、進(jìn)位行數(shù)字工程方法，其中所述運(yùn)算數(shù)是增/偏Q進(jìn)制數(shù)，Q為自然數(shù)。
6.一種增/偏Q進(jìn)制、進(jìn)位行算盤(pán)，即增/偏Q算盤(pán)，在盤(pán)狀長(zhǎng)方形機(jī)械框架結(jié)構(gòu)中，以人工手動(dòng)方式使算珠(1)沿豎檔上下移動(dòng)進(jìn)行數(shù)據(jù)連接計(jì)算，其特征是具有豎檔(7)，其上有可垂直移動(dòng)的一些算珠(1)；具有一根橫軸，其上有對(duì)應(yīng)每根豎檔可扭轉(zhuǎn)的三角塊“轉(zhuǎn)換標(biāo)示”(10)；或者沒(méi)有橫軸，而每根豎檔加一個(gè)“上檔珠”，以一根橫梁隔開(kāi)；或者每根豎檔加一個(gè)“上檔珠(211)”，和一個(gè)“下檔珠(210)”，以“上橫梁(212)”和“下橫梁(213)”隔開(kāi)；具有游標(biāo)1(3)、游標(biāo)2(4)，可在上框(5)的上框小槽(6)中左右滑動(dòng)。
7.根據(jù)權(quán)利要求6中所述的一種增/偏Q算盤(pán)，其特征是豎檔(7)可以為15檔，或15檔以上，或15檔以下。
8.根據(jù)權(quán)利要求6或7的增/偏Q算盤(pán)，其特征是每根豎檔(7)上有5只算珠(1)，或者有4只算珠(1)。
9.根據(jù)權(quán)利要求6所述的一種增/偏Q算盤(pán)，其中所述運(yùn)算數(shù)用正負(fù)碼編碼來(lái)表示。
10.根據(jù)權(quán)利要求6所述的一種增/偏Q算盤(pán)，其中所述運(yùn)算數(shù)是增/偏Q進(jìn)制數(shù)，Q為自然數(shù)。
全文摘要
本發(fā)明涉及數(shù)字工程方法和算盤(pán)領(lǐng)域，提出又一種新的數(shù)字工程方法，顯著提高運(yùn)算速度，而且大大降低筆算的出錯(cuò)率。本發(fā)明采用“增/偏Q進(jìn)制”“進(jìn)位行方法”將參與運(yùn)算的K個(gè)普通Q進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成增/偏Q進(jìn)制數(shù)。然后對(duì)K個(gè)數(shù)一起進(jìn)行增/偏Q進(jìn)制的求和。從最低位開(kāi)始或各位同時(shí)“按位加”，和數(shù)記入下一運(yùn)算層，同時(shí)所得“增/偏Q進(jìn)位”，則存放到下一運(yùn)算層的任一進(jìn)位行中與該位相鄰的高位處。經(jīng)過(guò)如此反復(fù)運(yùn)算，直至不產(chǎn)生“增/偏Q進(jìn)位”為止。則最后一次“按位加”所得和數(shù)，即為所求增/偏Q進(jìn)制加法結(jié)果。本發(fā)明同時(shí)提供了數(shù)字工程領(lǐng)域的增/偏Q進(jìn)制算盤(pán)。
文檔編號(hào)G06F7/48GK1614552SQ20041008545
公開(kāi)日2005年5月11日 申請(qǐng)日期2004年10月17日 優(yōu)先權(quán)日2004年10月17日
發(fā)明者李志中, 徐菊?qǐng)@ 申請(qǐng)人:李志中