本發(fā)明涉及機(jī)床加工軌跡控制領(lǐng)域，特別是一種導(dǎo)數(shù)多維空間機(jī)床軌跡運(yùn)動(dòng)再現(xiàn)方法。

背景技術(shù)：

軌跡運(yùn)動(dòng)控制的應(yīng)用十分廣泛：如機(jī)械制造刀具軌跡控制，機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制，導(dǎo)彈飛行彈道控制，無人駕駛飛船航跡控制，計(jì)算機(jī)繪圖等。傳統(tǒng)軌跡控制大多采用插補(bǔ)法，插補(bǔ)法是一種位置近似算法，其會(huì)將很簡單的軌跡(如直線)拆分為眾多微小折線來近似替代，這種軌跡控制方法普遍存在位移方向突變的問題，其會(huì)對被控設(shè)備(如機(jī)床)造成運(yùn)動(dòng)沖擊，進(jìn)而影響被控設(shè)備運(yùn)動(dòng)的平穩(wěn)性和所形成軌跡的幾何精確性，基于插補(bǔ)法的軌跡控制方法在理論上是一種“步進(jìn)式”的不連續(xù)驅(qū)動(dòng)方法，其實(shí)違反最小作用原理的，其已逐漸成為提高數(shù)控機(jī)床精度的障礙。

技術(shù)實(shí)現(xiàn)要素：

本發(fā)明的發(fā)明目的在于提供一種利用目標(biāo)軌跡的幾何性質(zhì)與運(yùn)動(dòng)性質(zhì)對機(jī)床進(jìn)行軌跡控制的方法，消除理論誤差。

為了實(shí)現(xiàn)上述目的，本發(fā)明采用的技術(shù)方案為：

一種導(dǎo)數(shù)多維空間機(jī)床軌跡運(yùn)動(dòng)再現(xiàn)方法，包括如下步驟。

(1)根據(jù)機(jī)床運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，選定與機(jī)床坐標(biāo)系一致的軌跡坐標(biāo)系，設(shè)定目標(biāo)軌跡函數(shù)F(X,Y,Z)；

(2)選定參考坐標(biāo)及具體運(yùn)動(dòng)方式X(t)；

(3)建立運(yùn)動(dòng)學(xué)模型：對于任意軌跡函數(shù)y,設(shè)(x₁，x₂，…x_n)是基底坐標(biāo)，各坐標(biāo)x_i(t₁)均隨時(shí)間參數(shù)t₁變化，T為映射算子，即

y(t₁)＝T{x₁(t₁),x₂(t₁),…,x_n(t₁)} (1)

這是關(guān)于位移的運(yùn)動(dòng)方程，即只包含位移參數(shù)的運(yùn)動(dòng)方程，簡稱位移方程。位移方程與一般的幾何函數(shù)一樣，表示幾何參數(shù)對應(yīng)關(guān)系，另一方面，表示了重要的運(yùn)動(dòng)信息：表示運(yùn)動(dòng)位移的動(dòng)態(tài)關(guān)系，其微分方程可以求得各運(yùn)動(dòng)參數(shù)。假如給定任意坐標(biāo)x_i(t₁)的運(yùn)動(dòng)方程，就可以根據(jù)式(1)求成其它坐標(biāo)的運(yùn)動(dòng)方程。

從理論上講，可以根據(jù)機(jī)械加工工藝、機(jī)床運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)相結(jié)合的方式給定任意坐標(biāo)x_i(t₁)的運(yùn)動(dòng)方程，從而獲得沒有理論誤差的、符合實(shí)際的軌跡運(yùn)動(dòng)形式。

除計(jì)算運(yùn)動(dòng)參數(shù)以外，還應(yīng)該考慮運(yùn)動(dòng)參數(shù)之間的關(guān)系，這樣才能完全求解運(yùn)動(dòng)方程。

設(shè)曲線方程：y＝f(x)＝f[x(t₁)]；

假定機(jī)床刀具的運(yùn)動(dòng)速率，加速率就是規(guī)劃的速率和加速率。假定工件輪廓曲線是刀具運(yùn)動(dòng)軌跡。設(shè)規(guī)劃速度v＝v(t₁)，規(guī)劃加速度a＝a(t₁)，對所述曲線方程求導(dǎo)和矢量合成得

v_y＝f′(x)v_x (2)

(2)式是所述曲線方程兩邊對t₁求導(dǎo)而得，表示x，y方向的速度比等于軌道函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)。這是速度與幾何性質(zhì)的關(guān)系；(3)式是(2)式兩邊對t₁求導(dǎo)而得，表示加速度與軌道幾何性質(zhì)的關(guān)系；(4)和(5)式表示合矢量模與分量模的關(guān)系，由(2)(3)(4)(5)四個(gè)方程聯(lián)解，得到任意點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)。稱以上四個(gè)方程為軌跡方程組。

(4)控制運(yùn)動(dòng)參數(shù)，實(shí)現(xiàn)軌跡。

(5)根據(jù)幾何特性和誤差對規(guī)劃軌跡分段：

采用如下公式對規(guī)劃軌跡分段遞推公式：

其中x_i是第i點(diǎn)的x值，f_i是函數(shù)f在第i點(diǎn)的值；用每段弧中點(diǎn)l_i的一階導(dǎo)數(shù)作為替代直線的斜率以減小誤差。

分段點(diǎn)的全部信息可利用軌道跟蹤方程組計(jì)算出，近似替代鄰域內(nèi)各點(diǎn)的參數(shù)值，減少計(jì)算量。曲率是軌道方程一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，故用一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)和誤差來計(jì)算。

這是由于，曲線可能很復(fù)雜，因此采用簡單曲線將其替代，以便于控制，具體的：軌道幾何性質(zhì)是影響運(yùn)動(dòng)的重要因素。根據(jù)幾何特性對曲線分段，使同一段的所有幾何點(diǎn)性質(zhì)相近，誤差不大，以便近似替代，如直線代替曲線。需要用微分幾何和泛函空間理論分析軌道函數(shù)來建立分段公式?；谶\(yùn)動(dòng)參數(shù)的軌跡控制方法，需要計(jì)算不同位置點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)，當(dāng)然不可能計(jì)算所有的點(diǎn)。選擇計(jì)算點(diǎn)的數(shù)量是有限的，最好是所選點(diǎn)具有代表性。曲率小相鄰點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)的變化就小，分段長度可以大一些。另外，允許誤差大，也可分段長一些，所以根據(jù)曲率和誤差分段。

(6)軌跡誤差狀態(tài)評價(jià)：采用如下的軌跡運(yùn)動(dòng)的泛函分析方法：

設(shè)狀態(tài)矢量U，時(shí)間變量t₁,其分量為軌跡運(yùn)動(dòng)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)

矢量U的每一個(gè)分量為在一個(gè)坐標(biāo)方向的運(yùn)動(dòng)方程的一種描述形式，給定點(diǎn)矢量u₀的每一個(gè)分量描述不同的運(yùn)動(dòng)參數(shù)值，矢量U的維度n根據(jù)實(shí)際情況確定，一般情況n≤4。

設(shè)f₀，f₁分別是給定軌跡運(yùn)動(dòng)和實(shí)際軌跡運(yùn)動(dòng)的位移，在Sobolev空間定義狀態(tài)矢量的誤差為：

式中，η表示求導(dǎo)次數(shù)，p表示冪次方，表示偏導(dǎo)，a表示偏導(dǎo)次數(shù)；

以上范數(shù)誤差，全面的反映了函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的誤差，為運(yùn)動(dòng)控制提供了準(zhǔn)確的度量。利用以上范數(shù)誤差修正狀態(tài)誤差，即修正運(yùn)動(dòng)參數(shù)，使運(yùn)動(dòng)成為理想軌跡運(yùn)動(dòng)。

這樣做的好處是，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述需要同時(shí)度量多種狀態(tài)參數(shù)，需要一種綜合方法同時(shí)描述函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)，以便同時(shí)研究幾何、運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力特性。泛函分析具有高度的綜合性和抽象性，不關(guān)注函數(shù)的具體結(jié)構(gòu)和物理意義。用泛函分析軌跡運(yùn)動(dòng)，使得幾何學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)函數(shù)具有統(tǒng)一的分析方法。

綜上所述，由于采用了上述技術(shù)方案，本發(fā)明的有益效果是：本發(fā)明提供一種基于物理運(yùn)動(dòng)方程的控制，將位置函數(shù)與機(jī)床加工運(yùn)動(dòng)組合為軌跡運(yùn)動(dòng)的方法。本發(fā)明提供的方法對曲線的簡化嚴(yán)格根據(jù)曲線的特性，根據(jù)取消的曲率分段，保證每段幾何元素的相似性，提高幾何精度和減少計(jì)算步長誤差。

同時(shí)，本發(fā)明按運(yùn)動(dòng)模型控制運(yùn)動(dòng)，不會(huì)出現(xiàn)插補(bǔ)曲線的方向急轉(zhuǎn)彎，加速度無限大的情況。即，應(yīng)用本發(fā)明提供的方法，驅(qū)動(dòng)控制參數(shù)的選擇決定運(yùn)動(dòng)是連續(xù)的，位移控制是無窮小的，其既適用于常規(guī)尺寸控制，也同樣適用于納米控制，這對于制造技術(shù)向納米制造方向的發(fā)展有重要意義。

附圖說明

圖1是本發(fā)明提供的導(dǎo)數(shù)多維空間機(jī)床軌跡運(yùn)動(dòng)再現(xiàn)方法流程圖。

圖2是本發(fā)明中曲線分段點(diǎn)速度和割線誤差示意圖。

圖3是本發(fā)明中拋物線運(yùn)動(dòng)軌跡的分段示意圖。

圖4是本發(fā)明中一種任意可調(diào)速度的軌跡運(yùn)動(dòng)示例圖。

具體實(shí)施方式

下面結(jié)合附圖，對本發(fā)明作詳細(xì)的說明。

為了使本發(fā)明的目的、技術(shù)方案及優(yōu)點(diǎn)更加清楚明白，以下結(jié)合附圖及實(shí)施例，對本發(fā)明進(jìn)行進(jìn)一步詳細(xì)說明。應(yīng)當(dāng)理解，此處所描述的具體實(shí)施例僅用以解釋本發(fā)明，并不用于限定本發(fā)明。

如圖1所示，本實(shí)施例提供一種導(dǎo)數(shù)多維空間機(jī)床軌跡運(yùn)動(dòng)再現(xiàn)方法，包括如下步驟。

步驟一：根據(jù)機(jī)床運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，選定與機(jī)床坐標(biāo)系一致的軌跡坐標(biāo)系，設(shè)定目標(biāo)軌跡函數(shù)F(X,Y,Z)；

步驟二：選定參考坐標(biāo)及具體運(yùn)動(dòng)方式X(t)；

步驟三：建立運(yùn)動(dòng)學(xué)模型：對于任意軌跡函數(shù)y,設(shè)(x₁，x₂，…x_n)是基底坐標(biāo)，各坐標(biāo)x_i(t₁)均隨時(shí)間參數(shù)t₁變化，T為映射算子，即

y(t₁)＝T{x₁(t₁),x₂(t₁),…,x_n(t₁)} (1)

這是關(guān)于位移的運(yùn)動(dòng)方程，即只包含位移參數(shù)的運(yùn)動(dòng)方程，簡稱位移方程。位移方程與一般的幾何函數(shù)一樣，表示幾何參數(shù)對應(yīng)關(guān)系，另一方面，表示了重要的運(yùn)動(dòng)信息：表示運(yùn)動(dòng)位移的動(dòng)態(tài)關(guān)系，其微分方程可以求得各運(yùn)動(dòng)參數(shù)。假如給定任意坐標(biāo)x_i(t₁)的運(yùn)動(dòng)方程，就可以根據(jù)式(1)求成其它坐標(biāo)的運(yùn)動(dòng)方程。

從理論上講，可以根據(jù)機(jī)械加工工藝、機(jī)床運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)相結(jié)合的方式給定任意坐標(biāo)x_i(t₁)的運(yùn)動(dòng)方程，從而獲得沒有理論誤差的、符合實(shí)際的軌跡運(yùn)動(dòng)形式。

除計(jì)算運(yùn)動(dòng)參數(shù)以外，還應(yīng)該考慮運(yùn)動(dòng)參數(shù)之間的關(guān)系，這樣才能完全求解運(yùn)動(dòng)方程。

設(shè)曲線方程：y＝f(x)＝f[x(t₁)]；

假定機(jī)床刀具的運(yùn)動(dòng)速率，加速率就是規(guī)劃的速率和加速率。假定工件輪廓曲線是刀具運(yùn)動(dòng)軌跡。設(shè)規(guī)劃速度v＝v(t₁)，規(guī)劃加速度a＝a(t₁)，對所述曲線方程求導(dǎo)和矢量合成得

v_y＝f′(x)v_x (2)

(2)式是所述曲線方程兩邊對t₁求導(dǎo)而得，表示x，y方向的速度比等于軌道函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)。這是速度與幾何性質(zhì)的關(guān)系；(3)式是(2)式兩邊對t₁求導(dǎo)而得，表示加速度與軌道幾何性質(zhì)的關(guān)系；(4)和(5)式表示合矢量模與分量模的關(guān)系，由(2)(3)(4)(5)四個(gè)方程聯(lián)解，得到任意點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)。稱以上四個(gè)方程為軌跡方程組。

步驟四：控制運(yùn)動(dòng)參數(shù)，實(shí)現(xiàn)軌跡。

具體的，還可以包括，

步驟五：根據(jù)幾何特性和誤差對規(guī)劃軌跡分段：

采用如下公式對規(guī)劃軌跡分段遞推公式：

如圖2所示，其中x_i是第i點(diǎn)的x值，f_i是函數(shù)f在第i點(diǎn)的值；用每段弧中點(diǎn)l_i的一階導(dǎo)數(shù)作為替代直線的斜率以減小誤差。

分段點(diǎn)的全部信息可利用軌道跟蹤方程組計(jì)算出，近似替代鄰域內(nèi)各點(diǎn)的參數(shù)值，減少計(jì)算量。曲率是軌道方程一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，故用一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)和誤差來計(jì)算。

這是由于，曲線可能很復(fù)雜，因此采用簡單曲線將其替代，以便于控制，具體的：軌道幾何性質(zhì)是影響運(yùn)動(dòng)的重要因素。根據(jù)幾何特性對曲線分段，使同一段的所有幾何點(diǎn)性質(zhì)相近，誤差不大，以便近似替代，如直線代替曲線。需要用微分幾何和泛函空間理論分析軌道函數(shù)來建立分段公式?；谶\(yùn)動(dòng)參數(shù)的軌跡控制方法，需要計(jì)算不同位置點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)，當(dāng)然不可能計(jì)算所有的點(diǎn)。選擇計(jì)算點(diǎn)的數(shù)量是有限的，最好是所選點(diǎn)具有代表性。曲率小相鄰點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)的變化就小，分段長度可以大一些。另外，允許誤差大，也可分段長一些，所以根據(jù)曲率和誤差分段。

還可包括，

步驟六：軌跡誤差狀態(tài)評價(jià)，軌跡運(yùn)動(dòng)的泛函分析：

設(shè)狀態(tài)矢量U，時(shí)間變量t₁,其分量為軌跡運(yùn)動(dòng)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)

矢量U的每一個(gè)分量為在一個(gè)坐標(biāo)方向的運(yùn)動(dòng)方程的一種描述形式，給定點(diǎn)矢量u₀的每一個(gè)分量描述不同的運(yùn)動(dòng)參數(shù)值，矢量U的維度n根據(jù)實(shí)際情況確定，一般情況n≤4。

設(shè)f₀，f₁分別是給定軌跡運(yùn)動(dòng)和實(shí)際軌跡運(yùn)動(dòng)的位移，在Sobolev空間定義狀態(tài)矢量的誤差為：

式中，η表示組合次數(shù)，p表示平方，表示偏導(dǎo)，a表示偏導(dǎo)次數(shù)；以上范數(shù)誤差，全面的反映了函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的誤差，為運(yùn)動(dòng)控制提供了準(zhǔn)確的度量。修正狀態(tài)誤差，即修正運(yùn)動(dòng)參數(shù)，使運(yùn)動(dòng)成為理想軌跡運(yùn)動(dòng)。

具體的，下面分別直線、拋物線以及其他兩種特殊控制形式為例，講解如何應(yīng)用本發(fā)明進(jìn)行軌跡參數(shù)的計(jì)算，具體如下：

示例一：直線運(yùn)動(dòng)控制：設(shè)定X(t)的運(yùn)動(dòng)方式；

已知規(guī)劃速度v＝v(t₁)，規(guī)劃加速度a＝a(t₁)，直線方程y＝kx對x求導(dǎo)得y′＝k,y"＝0，設(shè)y(t₁)＝kx(t₁)，t₁是時(shí)間，對t₁求導(dǎo)得

v_y＝kv_x a_y＝ka_x

運(yùn)動(dòng)合成關(guān)系：

聯(lián)解得：

只需保證v_x,v_y的比值為k，根據(jù)以上算式計(jì)算v_y，控制XY兩個(gè)方向的脈沖頻率比，使其等于K?？梢愿鶕?jù)加工需要調(diào)節(jié)的大小，只要它們比例不變。圖4是速度調(diào)節(jié)過程示意圖。

示例二：拋物線運(yùn)動(dòng)控制。設(shè)定X(t)的運(yùn)動(dòng)方式；

已知方程y＝x²，x≥0，求導(dǎo)得y′＝2x，y"＝2，規(guī)劃速度v＝v(t₁)，規(guī)劃加速度a＝a(t₁)，代入以軌道跟蹤方程組聯(lián)解得

實(shí)際控制時(shí)，只需控制v_y＝2xv_x就可以加工拋物線，輔助位置脈沖技術(shù)或位置測量，就可以準(zhǔn)確的加工。

對于本示例中的近似分段公式為：

根據(jù)上式，如圖3拋物線運(yùn)動(dòng)軌跡的分段，利用直線代曲線，并根據(jù)直線運(yùn)動(dòng)控制方法繪制仿真圖形。

示例三：根據(jù)恒速要求選擇t₂

根據(jù)工藝要求，希望實(shí)現(xiàn)的是恒速加工。令f_i＝c，若為了減速，若選擇t₂使該式成立，就可以實(shí)現(xiàn)恒速加工，即

示例四：任意運(yùn)動(dòng)規(guī)律的運(yùn)動(dòng)參數(shù)控制仿真：修改自定義時(shí)間與標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間的變化率，使進(jìn)給速度任意變化，考察軌跡跟蹤情況。

假定參考時(shí)間t₂與幾何參數(shù)t的數(shù)值相等，即比值為1，這時(shí)t₂對t₁的比就等于t比t₁。設(shè)計(jì)程序任意調(diào)節(jié)t₂對標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間t₁的比值，如圖4的速度線，使得圖中拋物線軌跡增長的速度任意變化，但并不脫離軌道。這說明控制參考時(shí)間的變化就可以控制加工運(yùn)動(dòng)進(jìn)程。

當(dāng)變化時(shí)，幾何變化率不變，所以不存在重新規(guī)劃的問題。

以上所述僅為本發(fā)明的較佳實(shí)施例而已，并不用以限制本發(fā)明，凡在本發(fā)明的精神和原則之內(nèi)所作的任何修改、等同替換和改進(jìn)等，均應(yīng)包含在本發(fā)明的保護(hù)范圍之內(nèi)。