等價(jià)于二狀態(tài)變量Kalman濾波器的數(shù)字鎖相環(huán)原子鐘駕馭方法
【技術(shù)領(lǐng)域】
[0001] 本發(fā)明涉及時(shí)間頻率、信號(hào)處理領(lǐng)域，具體的說是設(shè)計(jì)了一種等價(jià)于二狀態(tài)變量 Kalman濾波器的數(shù)字鎖相環(huán)原子鐘駕馭方法。
【背景技術(shù)】
[0002] 原子鐘駕馭技術(shù)在守時(shí)實(shí)驗(yàn)室和衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中發(fā)揮著重要作用。對(duì)原子鐘進(jìn)行 駕馭的主要目的有兩個(gè)：一是使被駕馭原子鐘與參考原子鐘時(shí)間同步，盡可能縮小它們之 間的時(shí)間偏差；二是提升被駕馭原子鐘的長(zhǎng)期穩(wěn)定度。
[0003] 典型的原子鐘駕馭方法包括兩大類：開環(huán)駕馭方法和閉環(huán)駕馭方法。開環(huán)駕馭方 法的核心是設(shè)計(jì)合理的預(yù)測(cè)算法。閉環(huán)駕馭方法主要包括：線性二次型（LG?控制方法、開 關(guān)（Bang-Bang)控制方法和數(shù)字鎖相環(huán)（DPLL)方法。但是，這些閉環(huán)駕馭方法的參數(shù)是不 容易選取的，一般都要針對(duì)每一個(gè)具體應(yīng)用，通過大量仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)大量參數(shù)進(jìn)行比較后，選 出一組最優(yōu)參數(shù)。另外，對(duì)于DPLL方法，如果參數(shù)選取不當(dāng)，不但無法保證駕馭性能，還會(huì) 引起控制系統(tǒng)不穩(wěn)定。

【發(fā)明內(nèi)容】

[0004] 為解決現(xiàn)有技術(shù)中存在的問題，本發(fā)明的目的在于提供一種等價(jià)于二狀態(tài)變量 Kalman濾波器的數(shù)字鎖相環(huán)原子鐘駕馭方法。
[0005] 本發(fā)明的原理是：通過一個(gè)等價(jià)于二狀態(tài)變量Kalman濾波器的DPLL，用銫鐘對(duì)氫 鐘進(jìn)行駕馭。本發(fā)明推導(dǎo)了該DPLL的閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)，證明該DPLL為二階2類DPLL。 本發(fā)明推導(dǎo)了由過程噪聲方差和觀測(cè)噪聲方差比值近似決定的Kalman增益。于是，由DPLL 的閉環(huán)傳遞函數(shù)可知，該比值，以及環(huán)路增益，采樣間隔這3個(gè)參數(shù)決定了該DPLL的性能。 進(jìn)一步，本發(fā)明給出了一個(gè)簡(jiǎn)單有效的選取參數(shù)的方法。通過等效變換，得到了等效于該 DPLL的模擬鎖相環(huán)（APLL)。在頻域中，通過調(diào)整參數(shù)，使該等價(jià)APLL的系統(tǒng)傳遞函數(shù)和誤 差傳遞函數(shù)的交點(diǎn)頻率等于氫鐘和銫鐘的SSB相位噪聲曲線的交點(diǎn)頻率，最終獲取最優(yōu)參 數(shù)。簡(jiǎn)而言之，使用參考原子鐘（或時(shí)間尺度）來駕馭被駕馭原子鐘（或時(shí)間尺度），使被 駕馭原子鐘（或時(shí)間尺度）與參考原子鐘（或時(shí)間尺度）保持同步。
[0006] 本發(fā)明采用的技術(shù)方案為：
[0007] -種等價(jià)于二狀態(tài)變量Kalman濾波器的數(shù)字鎖相環(huán)原子鐘駕馭方法，采用以下 步驟：
[0008] S. 1推導(dǎo)等價(jià)于二狀態(tài)變量Kalman濾波器的DPLL的傳遞函數(shù)；
[0009] S. 1. 1使用DPLL，用銫鐘來駕馭氫鐘。圖1描述了該DPLL的原理結(jié)構(gòu)，概括為： 獲取銫鐘和駕馭后氫鐘的時(shí)間偏差；用環(huán)路濾波器對(duì)該時(shí)間偏差進(jìn)行濾波，濾除高頻噪聲； 然后用濾波后的時(shí)間偏差對(duì)氫鐘的時(shí)間偏差進(jìn)行調(diào)整，得到駕馭后氫鐘的時(shí)間偏差。圖1 中：Cs代表銫鐘的輸出信號(hào)，符號(hào)Hm代表氫鐘的輸出信號(hào)，符號(hào)Steered Hm代表被駕馭氫 鐘的輸出信號(hào)，LF代表環(huán)路濾波器。
[0010]在Z域中，把DPLL的環(huán)路濾波器LF的傳遞函數(shù)記為G(z);于是，該DPLL的輸出 為：
[0012] 顯然，
分別為DPLL的系統(tǒng)傳遞函數(shù)和誤 差傳遞函數(shù)；Cs代表銫鐘的輸出信號(hào)，符號(hào)Hm代表氫鐘的輸出信號(hào)，符號(hào)Steered Hm代表 被駕馭氫鐘的輸出信號(hào)。
[0013] 通過z = e^f'T(其中，f代表頻率，T代表采樣周期）的近似變化，將該DPLL等 價(jià)為相應(yīng)的APLL ;于是，式（2)用SSB相位噪聲的形式來表示，寫成：
[0015] 式中，符號(hào)L代表SSB相位噪聲，符號(hào)G代表傳遞函數(shù)；下標(biāo)Cs代表銫鐘的輸出信 號(hào)，符號(hào)Hm代表氫鐘的輸出信號(hào)，符號(hào)Steered Hm代表被駕馭氫鐘的輸出信號(hào)；
[0016] S. 1. 2根據(jù)步驟S. 1. 1的系統(tǒng)傳遞函數(shù)和誤差傳遞函數(shù)，推導(dǎo)等價(jià)于二狀態(tài)變量 Kalman濾波器的DPLL的系統(tǒng)傳遞函數(shù)和誤差傳遞函數(shù)的表達(dá)式；
[0017] 最終，DPLL的系統(tǒng)傳遞函數(shù)表示為：
[0019] 其中，心為環(huán)路增益。Ks:1和Ks22分別為Kalman濾波器的穩(wěn)態(tài)增益；T為采樣間 隔。
[0020] 該DPLL的誤差傳遞函數(shù)表示為：
[0022] 至此，得到了等價(jià)于二狀態(tài)變量Kalman濾波器的DPLL的系統(tǒng)傳遞函數(shù)和誤差傳 遞函數(shù)。由式（22)和式（23):參數(shù)（KsmKsmT，!^)決定了該DPLL的性能。
[0023] S. 2根據(jù)步驟S. 1得到的DPLL的系統(tǒng)傳遞函數(shù)和誤差傳遞函數(shù)，推導(dǎo)系統(tǒng)傳遞函 數(shù)和誤差傳遞函數(shù)中KSldP Ks 22的由過程噪聲方差Q22、觀測(cè)噪聲方差R、采樣間隔T來表達(dá) 的近似值。
[0024] 當(dāng)Kalman濾波器進(jìn)入穩(wěn)態(tài)時(shí)，得到
[0028]由式（30)和式（35)，Kalman增益由Q22和R之間的比例關(guān)系決定。
[0029] 令Q22= Is 2,將式（30)和式（35)代入式（22)和式（23)，得到系統(tǒng)傳遞函數(shù)和誤 差傳遞函數(shù)，分別表示為：
[0033] 由式（36)和式（37)可以看出：當(dāng)〇22=182時(shí)，參數(shù)〇?，1'，1( (|)決定了0?1^的性 能。把式（36)和式（37)代入式（1)，得到DPLL輸入和輸出的關(guān)系為：
[0035] S. 3根據(jù)步驟S. 2得到的系統(tǒng)傳遞函數(shù)和誤差傳遞函數(shù)，確定參數(shù)（R，T，，優(yōu)化 DPLL輸出的頻率穩(wěn)定度，具體采用以下步驟：
[0036] 首先，銫鐘和氫鐘的相位噪聲分別表不為：
[0040]其中符號(hào)L代表SSB相位噪聲，&為載波頻率，hi為噪聲系數(shù)，f為邊帶頻率，i用 于指明噪聲類型。
[0041] 通過求解方程LjfVLa^f) = 0,可以求得銫鐘相位噪聲曲線和氫鐘相位噪聲曲 線交點(diǎn)處的頻率，記為f'。
[0042] 第二，將z = e^f'T代入式（36)和式（37)，得到了等價(jià)APLL的系統(tǒng)傳遞函數(shù)和 誤差傳遞函數(shù)，分別表示為：
[0046]由式（41)和（42)，求得系統(tǒng)傳遞函數(shù)與誤差傳遞函數(shù)的幅頻響應(yīng)201og|H(f) |和 201og | He (f) |，并求得這兩條曲線交點(diǎn)處的頻率，記為f"。
[0047] 第三，對(duì)于給定的T，首先給&設(shè)一個(gè)值（為了方便分析，可以先設(shè)為1，2等整數(shù)， 然后再逐漸設(shè)為其它數(shù)值），在該aig條件下，通過改變r(jià)的值，來改變f"的值，使f"= f'。此時(shí)，兩交點(diǎn)的頻率相等。此時(shí)，在給定T情況下，可以求得相應(yīng)的R。于是，得到了一 組使兩交點(diǎn)的頻率相等的參數(shù)，記為（R'，IV )。當(dāng)兩交點(diǎn)的頻率相等時(shí)，DPLL最大程度地 濾除了銫鐘的短期噪聲和氫鐘的長(zhǎng)期噪聲，使DPLL的輸出的相位噪聲達(dá)到了最優(yōu)，所以此 時(shí)DPLL輸出的頻率穩(wěn)定度達(dá)到了最優(yōu)。
[0048] 第四，對(duì)已給定的T，改變&的值，使用同樣的方法，可以得到許多組最優(yōu)參數(shù) (R'lV)。這些參數(shù)（R'lV)都是最優(yōu)參數(shù)，都保證了 DPLL輸出的頻率穩(wěn)定度達(dá)到了最 優(yōu)。
[0049] 具體地，本發(fā)明步驟S. 1. 2中，式（22)和式（23)的推導(dǎo)過程如下：
[0050] 對(duì)于一個(gè)二狀態(tài)變量的系統(tǒng)，其狀態(tài)方程表示為：
[0052] 其中，xk和y k為兩個(gè)狀態(tài)變量，T為采樣間隔，u k為過程噪聲；
[0053] 觀測(cè)方程表示為：
[0054] zk= x k+wk (4)
[0055] 其中，zk為觀測(cè)量，w k為觀測(cè)噪聲；
[0056] 狀態(tài)方程和觀測(cè)方程這兩個(gè)方程用矩陣的形式表示為：
[0058]其中，sk= [x k yk]T;J k= [0 u k]T;
； H = [1 0]；
[0059]過程噪聲和觀測(cè)噪聲的方差分別為：R= E[wk2]， 其中，符號(hào)E代表取數(shù)學(xué)期望；
[0060] Kalman濾波器用下面5個(gè)公式進(jìn)行描述：
[0065] pk k= (I-Kk.H)卟…（10)
[0066] 其中，是狀態(tài)變量的在k時(shí)刻的估計(jì)值，Pk， k是估計(jì)誤差矩陣，4,*-i是在k_l時(shí) 刻對(duì)k時(shí)刻狀態(tài)變量的單步預(yù)測(cè)值，Puh是單步預(yù)測(cè)誤差矩陣，K k是Kalman增益矩陣； [0067]能夠證明式（5)定義的系統(tǒng)是完全可觀測(cè)的，因此PkfpPu和Kk都收斂，把Pk，k、 K k的穩(wěn)態(tài)值分別記為：Ps、PjT和Ks ;
[0068]由式（6)和式（9)，當(dāng)Kalman濾波器進(jìn)入穩(wěn)態(tài)時(shí)，有：
[0070] 其中，毛是狀態(tài)變量x的在k時(shí)刻的估計(jì)值，九是狀態(tài)變量y的在k時(shí)刻的估計(jì) 值，表示Ks矩陣中的第i行第j列的元素；
[0071]定義：
[0073]將式（12)代入式（11)，得到：
[0075]式（13)在Z域中表示為：
[0077] 其中X，Y，V分別為H v*的Z變換；
[0078] 由式（14)得到：
[0080]由式（14)和式（15)，式（12)在Z域中表示為：
[0082] 其中，Z代表zk的Z變換；
[0083] 由式（16)，得到：
[0085]定義：
[0087]由式（15)、式（17)和式（18)，得到
[0089] 顯然，zk是Kalman濾波器的輸入，而元:是Kalman濾波器的輸出；于是，式（19)表 明了穩(wěn)態(tài)Kalman濾波器輸入與輸出之間的關(guān)系。
[0090] 于是，系統(tǒng)傳遞函數(shù)表示