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一種多普勒計(jì)程儀測(cè)速誤差的修正方法與流程

文檔序號(hào):12783570閱讀:來(lái)源:國(guó)知局

技術(shù)特征:

1.一種多普勒計(jì)程儀測(cè)速誤差的修正方法,其特征在于,利用公式(9)的修正模型對(duì)在Δt=t2-t1時(shí)間內(nèi)的多普勒計(jì)程儀量測(cè)速度[VDVL_x VDVL_y VDVL_z]T進(jìn)行修正:

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其中Vh=[Vhx Vhy Vhz]T表示在Δt=t2-t1時(shí)間內(nèi)載體在水平坐標(biāo)系h內(nèi)的速度,為多普勒計(jì)程儀經(jīng)測(cè)速誤差修正后輸出的速度;t1為多普勒計(jì)程儀發(fā)射信號(hào)的時(shí)刻,t2為多普勒計(jì)程儀接收到返回信號(hào)的時(shí)刻;VDVL_x、VDVL_y和VDVL_z分別為多普勒計(jì)程儀量測(cè)得到的載體的右向、前向和向上的速度;θ為t1時(shí)刻載體的俯仰角;Δθ為Δt時(shí)間內(nèi)載體俯仰角的變化量;Ly和Lz分別為多普勒計(jì)程儀安裝點(diǎn)在載體坐標(biāo)系b的Yb和Zb軸方向上偏離坐標(biāo)系原點(diǎn)的距離;ωθ1為t1時(shí)刻載體的俯仰角變化速率,ωθ2為t2時(shí)刻載體的俯仰角變化速率。

2.如權(quán)利要求1所述的一種多普勒計(jì)程儀測(cè)速誤差的修正方法,其特征在于,t1時(shí)刻載體俯仰角變化速率ωθ1、t2時(shí)刻載體俯仰角變化速率ωθ2、以及t1時(shí)刻載體的俯仰角θ和t2時(shí)刻載體的俯仰角(θ+Δθ)由載體的導(dǎo)航系統(tǒng)提供。

3.如權(quán)利要求2所述的一種多普勒計(jì)程儀測(cè)速誤差的修正方法,其特征在于,所述導(dǎo)航系統(tǒng)為SINS、INS或GNSS。

4.如權(quán)利要求1所述的一種多普勒計(jì)程儀測(cè)速誤差的修正方法,其特征在于,所述修正模型的建立方法為:

步驟1,將多普勒計(jì)程儀在發(fā)射信號(hào)時(shí)刻t1和接收信號(hào)時(shí)刻t2沿前、右、后和左四條波束方向相對(duì)于水底的速度用含有俯仰角相關(guān)參數(shù)的表達(dá)式分別進(jìn)行表達(dá);

步驟2,依據(jù)步驟1得到的t1和t2時(shí)刻多普勒計(jì)程儀相對(duì)水底的速度的表達(dá)式,得到多普勒計(jì)程儀四條波束的頻移[fD1 fD2 fD3 fD4]T和載體坐標(biāo)系b內(nèi)的速度Vb的關(guān)系:

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其中fD1、fD2、fD3和fD4分別為多普勒計(jì)程儀四條波束發(fā)射信號(hào)和接收信號(hào)之間的頻移;C為聲波在水中的傳播速度;f0為多普勒計(jì)程儀發(fā)射信號(hào)的頻率;α為多普勒計(jì)程儀發(fā)射信號(hào)方向與載體坐標(biāo)系的OXbYb平面之間的夾角;Vb=[Vbx Vby Vbz]T為載體坐標(biāo)系b下的載體速度,Vbx、Vby和Vbz分別為載體坐標(biāo)系b下載體的右向、前向和向上的速度;

步驟3,建立載體速度[Vbx Vby Vbz]T與量測(cè)速度[VDVL_x VDVL_y VDVL_z]T在Δt=t2-t1時(shí)間內(nèi)的關(guān)系式,具體包括如下子步驟:

步驟3.1,實(shí)際采用的四波束Janus配置多普勒計(jì)程儀的速度[VDVL_x VDVL_y VDVL_z]T滿足如下等式(5):

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步驟3.2,依據(jù)公式(3),構(gòu)建如下等式(4):

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步驟3.3,聯(lián)立式(4)和式(5),得到載體在載體坐標(biāo)系b下的速度[Vbx Vby Vbz]T與與量測(cè)速度[VDVL_x VDVL_y VDVL_z]T在Δt時(shí)間內(nèi)的關(guān)系式:

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步驟4,將載體在載體坐標(biāo)系b下的速度轉(zhuǎn)換到水平坐標(biāo)系h下;

步驟5,在Δt時(shí)間內(nèi),載體在水平坐標(biāo)系h內(nèi)的速度[Vhx Vhy Vhz]T為:

<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mi>h</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mi>h</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mi>h</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mi>D</mi> <mi>V</mi> <mi>L</mi> <mo>_</mo> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>cos</mi> <mi>&theta;</mi> <mo>+</mo> <mi>cos</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&theta;</mi> <mo>+</mo> <mi>&Delta;</mi> <mi>&theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mi>D</mi> <mi>V</mi> <mi>L</mi> <mo>_</mo> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&omega;</mi> <mrow> <mi>&theta;</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&omega;</mi> <mrow> <mi>&theta;</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <msub> <mi>L</mi> <mi>z</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mi>sin</mi> <mi>&theta;</mi> <mo>+</mo> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&theta;</mi> <mo>+</mo> <mi>&Delta;</mi> <mi>&theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mi>D</mi> <mi>V</mi> <mi>L</mi> <mo>_</mo> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&omega;</mi> <mrow> <mi>&theta;</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&omega;</mi> <mrow> <mi>&theta;</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mn>4</mn> </mfrac> <msub> <mi>L</mi> <mi>y</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>sin</mi> <mi>&theta;</mi> <mo>+</mo> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&theta;</mi> <mo>+</mo> <mi>&Delta;</mi> <mi>&theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mi>D</mi> <mi>V</mi> <mi>L</mi> <mo>_</mo> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&omega;</mi> <mrow> <mi>&theta;</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&omega;</mi> <mrow> <mi>&theta;</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <msub> <mi>L</mi> <mi>z</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mi>cos</mi> <mi>&theta;</mi> <mo>+</mo> <mi>cos</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&theta;</mi> <mo>+</mo> <mi>&Delta;</mi> <mi>&theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mi>D</mi> <mi>V</mi> <mi>L</mi> <mo>_</mo> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&omega;</mi> <mrow> <mi>&theta;</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&omega;</mi> <mrow> <mi>&theta;</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mn>4</mn> </mfrac> <msub> <mi>L</mi> <mi>y</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

式(9)即為多普勒計(jì)程儀測(cè)速誤差的修正模型。

5.如權(quán)利要求4所述的一種多普勒計(jì)程儀測(cè)速誤差的修正方法,其特征在于,所述步驟1中t時(shí)刻多普勒計(jì)程儀沿四條波束方向相對(duì)于水底的速度表達(dá)式為:

<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mi>D</mi> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>t</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mi>D</mi> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mi>t</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mi>D</mi> <mn>3</mn> <mo>,</mo> <mi>t</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mi>D</mi> <mn>4</mn> <mo>,</mo> <mi>t</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>cos</mi> <mi>&alpha;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>sin</mi> <mi>&alpha;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>cos</mi> <mi>&alpha;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>sin</mi> <mi>&alpha;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>cos</mi> <mi>&alpha;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>sin</mi> <mi>&alpha;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>cos</mi> <mi>&alpha;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>sin</mi> <mi>&alpha;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>+</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>sin&alpha;L</mi> <mi>y</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>cos&alpha;L</mi> <mi>z</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>sin&alpha;L</mi> <mi>y</mi> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>cos&alpha;L</mi> <mi>z</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <msub> <mi>&omega;</mi> <mrow> <mi>&theta;</mi> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中t=t1時(shí),ωθi=ωθ1,t=t2時(shí),ωθi=ωθ2。

6.如權(quán)利要求4所述的一種多普勒計(jì)程儀測(cè)速誤差的修正方法,其特征在于,所述步驟4中,具體的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法如下:t1時(shí)刻,水平坐標(biāo)系h到載體坐標(biāo)系b的變換矩陣為:

<mrow> <msubsup> <mi>C</mi> <mi>h</mi> <msub> <mi>b</mi> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> </msub> </msubsup> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>cos</mi> <mi>&theta;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&theta;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mi>&theta;</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>cos</mi> <mi>&theta;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>;</mo> </mrow>

t2時(shí)刻,水平坐標(biāo)系h到載體坐標(biāo)系b的變換矩陣為:

<mrow> <msubsup> <mi>C</mi> <mi>h</mi> <msub> <mi>b</mi> <msub> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> </msubsup> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>c</mi> <mi>o</mi> <mi>s</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&theta;</mi> <mo>+</mo> <mi>&Delta;</mi> <mi>&theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&theta;</mi> <mo>+</mo> <mi>&Delta;</mi> <mi>&theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>s</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&theta;</mi> <mo>+</mo> <mi>&Delta;</mi> <mi>&theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>cos</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&theta;</mi> <mo>+</mo> <mi>&Delta;</mi> <mi>&theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>;</mo> </mrow>

依據(jù)式(6)載體在載體坐標(biāo)系b下的速度,t1時(shí)刻水平坐標(biāo)系h到載體坐標(biāo)系b的變換矩陣,在t1時(shí)刻載體在水平坐標(biāo)系h下的速度為:

<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <msub> <mi>hx</mi> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> </msub> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <msub> <mi>hy</mi> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> </msub> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <msub> <mi>hz</mi> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> </msub> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>C</mi> <mi>h</mi> <msub> <mi>b</mi> <msub> <mi>t</mi> <mn>1</mn> </msub> </msub> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mi>D</mi> <mi>V</mi> <mi>L</mi> <mo>_</mo> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mi>D</mi> <mi>V</mi> <mi>L</mi> <mo>_</mo> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mi>cos</mi> <mi>&theta;</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mi>D</mi> <mi>V</mi> <mi>L</mi> <mo>_</mo> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <mi>sin</mi> <mi>&theta;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mi>D</mi> <mi>V</mi> <mi>L</mi> <mo>_</mo> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mi>sin</mi> <mi>&theta;</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mi>D</mi> <mi>V</mi> <mi>L</mi> <mo>_</mo> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <mi>cos</mi> <mi>&theta;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&omega;</mi> <mrow> <mi>&theta;</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&omega;</mi> <mrow> <mi>&theta;</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>L</mi> <mi>z</mi> </msub> <mi>cos</mi> <mi>&theta;</mi> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msub> <mi>L</mi> <mi>y</mi> </msub> <mi>sin</mi> <mi>&theta;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>L</mi> <mi>z</mi> </msub> <mi>sin</mi> <mi>&theta;</mi> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msub> <mi>L</mi> <mi>y</mi> </msub> <mi>cos</mi> <mi>&theta;</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

依據(jù)式(6)載體在載體坐標(biāo)系b下的速度,t2時(shí)刻水平坐標(biāo)系h到載體坐標(biāo)系b的變換矩陣,在t2時(shí)刻載體在水平坐標(biāo)系h下的速度為:

<mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <msub> <mi>hx</mi> <msub> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <msub> <mi>hy</mi> <msub> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <msub> <mi>hz</mi> <msub> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>C</mi> <mi>h</mi> <msub> <mi>b</mi> <msub> <mi>t</mi> <mn>2</mn> </msub> </msub> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mi>y</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mi>b</mi> <mi>z</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mi>D</mi> <mi>V</mi> <mi>L</mi> <mo>_</mo> <mi>x</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mi>D</mi> <mi>V</mi> <mi>L</mi> <mo>_</mo> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mi>cos</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&theta;</mi> <mo>+</mo> <mi>&Delta;</mi> <mi>&theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mi>D</mi> <mi>V</mi> <mi>L</mi> <mo>_</mo> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&theta;</mi> <mo>+</mo> <mi>&Delta;</mi> <mi>&theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mi>D</mi> <mi>V</mi> <mi>L</mi> <mo>_</mo> <mi>y</mi> </mrow> </msub> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&theta;</mi> <mo>+</mo> <mi>&Delta;</mi> <mi>&theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mi>D</mi> <mi>V</mi> <mi>L</mi> <mo>_</mo> <mi>z</mi> </mrow> </msub> <mi>cos</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&theta;</mi> <mo>+</mo> <mi>&Delta;</mi> <mi>&theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&omega;</mi> <mrow> <mi>&theta;</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mi>+</mi> <msub> <mi>&omega;</mi> <mrow> <mi>&theta;</mi> <mi>2</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mi>2</mi> </mfrac> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mi>0</mi> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>L</mi> <mi>z</mi> </msub> <mi>cos</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&theta;</mi> <mo>+</mo> <mi>&Delta;</mi> <mi>&theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msub> <mi>L</mi> <mi>y</mi> </msub> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&theta;</mi> <mo>+</mo> <mi>&Delta;</mi> <mi>&theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>L</mi> <mi>z</mi> </msub> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&theta;</mi> <mo>+</mo> <mi>&Delta;</mi> <mi>&theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <msub> <mi>L</mi> <mi>y</mi> </msub> <mi>cos</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&theta;</mi> <mo>+</mo> <mi>&Delta;</mi> <mi>&theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mrow>

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