本發(fā)明涉及邊坡地震響應(yīng)及穩(wěn)定性分析領(lǐng)域，尤其涉及邊坡地震響應(yīng)數(shù)值模擬中任一方向入射平面體波激振方法。

背景技術(shù)：

我國(guó)是一個(gè)多地震國(guó)家，地震誘發(fā)的邊坡失穩(wěn)會(huì)直接威脅到人民的生命財(cái)產(chǎn)安全，因此邊坡地震穩(wěn)定性研究意義重大。然而，地震誘發(fā)邊坡失穩(wěn)有很大的不確定性，這種不確定性主要來(lái)自邊坡自身性狀和潛在地震作用兩個(gè)方面，邊坡自身性狀屬于地震邊坡失穩(wěn)的易發(fā)條件，包括邊坡巖土體結(jié)構(gòu)和物理力學(xué)性質(zhì)以及邊坡幾何形狀；潛在地震作用屬于邊坡失穩(wěn)的誘發(fā)因素。對(duì)于一個(gè)具體的邊坡，可以認(rèn)為邊坡的自身性狀相對(duì)確定，主要的不確定性來(lái)自于未來(lái)的地震作用，也就是誘發(fā)因素。傳統(tǒng)工程地震學(xué)將地震動(dòng)力作用歸納為地震動(dòng)的強(qiáng)度、頻率和持續(xù)時(shí)間，即所謂的“地震動(dòng)三要素”，對(duì)地震動(dòng)力作用方式(即，地震動(dòng)力作用方向和作用性質(zhì))這一要素考慮夠。

目前，在一般場(chǎng)地土層或結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)分析中，通常假定地震波為S波垂直入射，即場(chǎng)地下水平激振邊界上各點(diǎn)的入射地震波動(dòng)相同且同步水平振動(dòng)。這對(duì)于震源距離較近的場(chǎng)地地震反應(yīng)問(wèn)題是合理的，然而對(duì)于震源較遠(yuǎn)(特別是淺源地震并且震源與工程場(chǎng)地有一定距離時(shí))的場(chǎng)地地震反應(yīng)問(wèn)題而言，地震波并非垂直入射，而是以一定的方位和入射角向場(chǎng)地入射，場(chǎng)地激振邊界各點(diǎn)起振不同步，從而導(dǎo)致場(chǎng)地不同位置地震動(dòng)呈現(xiàn)出顯著的相位差異和地震動(dòng)力作用性質(zhì)的變化。當(dāng)研究對(duì)象為大型結(jié)構(gòu)工程或者高邊坡時(shí)，斜入射引起的地震動(dòng)力響應(yīng)與垂直入射相比會(huì)有很大的不同。目前，斜入射帶來(lái)的地震動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題并沒(méi)有受到足夠的重視。

綜上所述，當(dāng)前邊坡地震動(dòng)力響應(yīng)研究中，地震荷載的輸入方法單一，很少考慮地震波從不同方向斜入射的問(wèn)題，同時(shí)也很少考慮不同震相地震波的作用。同時(shí)，輸入地震波的頻率、持時(shí)選擇和不同震相地震波疊加處理考慮不夠完善。因此，在邊坡地震動(dòng)力響應(yīng)分析中，急需一套任一方向平面體波入射激振的模擬技術(shù)。

技術(shù)實(shí)現(xiàn)要素：

本發(fā)明的目的在于針對(duì)現(xiàn)有技術(shù)的不足，提供一種邊坡地震響應(yīng)數(shù)值模擬中任一方向入射平面體波激振的點(diǎn)源疊加模擬技術(shù)方法，建立一套任一方向入射平面體波的激振方案。

為實(shí)現(xiàn)上述目的，本發(fā)明以波傳播的惠更斯原理為基礎(chǔ)，提供了一種邊坡地震響應(yīng)數(shù)值模擬中任一方向入射平面體波激振方法，包括以下步驟：

(1)邊坡建模；

(2)根據(jù)惠更斯原理分析邊坡模型底部激振邊界上各節(jié)點(diǎn)不同體波震相波動(dòng)應(yīng)力時(shí)程的啟動(dòng)時(shí)序，確定各個(gè)節(jié)點(diǎn)的啟動(dòng)時(shí)差，計(jì)算各個(gè)節(jié)點(diǎn)的啟動(dòng)時(shí)刻；

(3)根據(jù)不同震相體波的傳播特點(diǎn)和偏振特性，獲得各震相體波的位移矢量，將波動(dòng)位移矢量帶入幾何方程、物理方程，得出各震相地震波激勵(lì)作用在邊坡模型底部激振邊界各節(jié)點(diǎn)處產(chǎn)生的各應(yīng)力分量時(shí)程表達(dá)式；

(4)考慮波傳播的實(shí)際情況，將邊坡模型底部激振邊界各節(jié)點(diǎn)上不同震相波動(dòng)的應(yīng)力時(shí)程分量按時(shí)序疊加，得到各應(yīng)力分量的疊加應(yīng)力時(shí)程；

(5)在數(shù)值模擬軟件中按節(jié)點(diǎn)啟動(dòng)時(shí)序向邊坡模型底部激振邊界上各節(jié)點(diǎn)輸入各應(yīng)力分量的疊加應(yīng)力時(shí)程；

(6)提取邊坡模型的地震動(dòng)力響應(yīng)結(jié)果，獲得邊坡地震動(dòng)力響應(yīng)云圖和監(jiān)測(cè)點(diǎn)的地震動(dòng)力響應(yīng)加速度、速度和位移時(shí)程。

進(jìn)一步，步驟(1)具體包括：邊坡模型底部激振邊界一般設(shè)置為水平面(簡(jiǎn)稱為“激振面”)，按一定的網(wǎng)格密度剖分激振邊界(邊坡模型底層按六面體網(wǎng)格剖分，網(wǎng)格尺寸的大小滿足：六面體邊長(zhǎng)小于入射地震波最高頻率對(duì)應(yīng)波長(zhǎng)的1/10至1/8)，剖分網(wǎng)格線交點(diǎn)構(gòu)成激振邊界的節(jié)點(diǎn)，從而將空間上連續(xù)的地震波激振作用離散為激振邊界上各個(gè)節(jié)點(diǎn)的激振作用。

進(jìn)一步，所述步驟(2)具體包括：當(dāng)?shù)卣鸩ù怪比肷鋾r(shí)，邊坡模型底部激振邊界上所有節(jié)點(diǎn)同時(shí)啟動(dòng)，稱這一啟動(dòng)時(shí)刻為邊坡初動(dòng)時(shí)刻，設(shè)置為t₀；當(dāng)?shù)卣鸩ㄐ比肷鋾r(shí)，將邊坡模型底部激振邊界上最先受到地震波擾動(dòng)的節(jié)點(diǎn)稱為邊坡初動(dòng)點(diǎn)，該點(diǎn)的啟動(dòng)時(shí)刻稱為邊坡初動(dòng)時(shí)刻，同樣設(shè)置為t₀，激振邊界上任一網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)p_ij的起振時(shí)刻記為t_ij，由下式求得：

式中：t_ij為邊坡模型底部激振邊界上任一網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)p_ij的啟動(dòng)時(shí)刻，i＝0,1,…,n-1，為該節(jié)點(diǎn)在激振面內(nèi)建立的局部坐標(biāo)系X方向的序號(hào)，i＝0為初動(dòng)點(diǎn)的序號(hào)，X軸正向指向節(jié)點(diǎn)序號(hào)增加的方向，原點(diǎn)與初動(dòng)點(diǎn)重合；j＝0,1,…,m-1，為該節(jié)點(diǎn)在激振面內(nèi)建立的局部坐標(biāo)系Y方向的序號(hào)，j＝0為初動(dòng)點(diǎn)的序號(hào)，Y軸正向指向節(jié)點(diǎn)序號(hào)增加的方向，原點(diǎn)與初動(dòng)點(diǎn)重合；t₀為邊坡初動(dòng)時(shí)刻；l_ij為地震波波前沿入射方向由初動(dòng)點(diǎn)傳至邊坡模型底部激振邊界上任一節(jié)點(diǎn)p_ij所經(jīng)過(guò)的距離，當(dāng)?shù)卣鸩ù怪比肷鋾r(shí)，l_ij＝0，此時(shí)，根據(jù)邊坡激振面的具體情況，可將局部坐標(biāo)系原點(diǎn)設(shè)置在激振面的某個(gè)角點(diǎn)上，將激振面置于該局部坐標(biāo)系的第一象限；c為邊坡激振邊界以下介質(zhì)的彈性波速，縱波取c_P，橫波取c_S；無(wú)論地震波垂直入射還是斜入射，邊坡初動(dòng)時(shí)刻t₀都等同于地震波到達(dá)邊坡的時(shí)刻。

進(jìn)一步，步驟(3)中，各體波震相包括：縱波(P，所引起的質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)位移方向與波傳播方向一致)、橫波(S，所引起的質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)位移方向與波傳播方向正交)；考慮橫波振動(dòng)矢量與體波入射面(體波射線與邊坡底部激振面法線決定的平面，為鉛垂面)的關(guān)系，可將橫波振動(dòng)矢量進(jìn)一步分解為入射面內(nèi)的振動(dòng)分量SV波和垂直于入射面的振動(dòng)分量SH波；再考慮各體波震相(P、SV、SH)波動(dòng)位移的初動(dòng)方向，P波可分為初動(dòng)向前的壓縮波P⁺和初動(dòng)向后的拉伸波P^-；沿波傳播方向向前看，在入射面內(nèi)觀察SV波、垂直于入射面觀察SH波，SV和SH波均可分為初動(dòng)向右的右剪波SV⁺、SH⁺和初動(dòng)向左的左剪波SV^-、SH^-。

進(jìn)一步，步驟(4)中，邊坡模型底部激振邊界上各節(jié)點(diǎn)不同體波震相波動(dòng)的應(yīng)力時(shí)程按分量疊加包括兩種震相的疊加(12種：P⁺+SV⁺、P⁺+SV^-、P^-+SV⁺、P^-+SV^-、P⁺+SH⁺、P⁺+SH^-、P^-+SH⁺、P^-+SH^-、SV⁺+SH⁺、SV⁺+SH^-、SV^-+SH⁺、SV^-+SH^-)和三種震相的疊加(8種：P⁺+SV⁺+SH⁺、P⁺+SV⁺+SH^-、P⁺+SV^-+SH⁺、P⁺+SV^-+SH^-、P^-+SV⁺+SH⁺、P^-+SV⁺+SH^-、P^-+SV^-+SH⁺、P^-+SV^-+SH^-)共計(jì)20種情況，疊加公式根據(jù)步驟(3)進(jìn)一步推導(dǎo)而來(lái)；在進(jìn)行不同體波震相應(yīng)力分量時(shí)程疊加時(shí)，應(yīng)首先確定各節(jié)點(diǎn)上各個(gè)震相的到達(dá)時(shí)刻和持續(xù)時(shí)間，然后按節(jié)點(diǎn)上各個(gè)震相的啟動(dòng)時(shí)序完成邊坡模型底部激振邊界上各個(gè)節(jié)點(diǎn)處不同體波震相波動(dòng)應(yīng)力分量時(shí)程疊加，獲得各節(jié)點(diǎn)處體波震相波動(dòng)應(yīng)力分量疊加時(shí)程。

進(jìn)一步，步驟(5)中，將經(jīng)步驟(4)獲得的體波震相波動(dòng)應(yīng)力分量疊加時(shí)程按啟動(dòng)時(shí)序加載到激振面的各個(gè)節(jié)點(diǎn)上。

進(jìn)一步，步驟(6)中，自邊坡初動(dòng)時(shí)刻t₀起，數(shù)值模擬系統(tǒng)即開(kāi)始記錄邊坡模型中各個(gè)節(jié)點(diǎn)的地震動(dòng)力響應(yīng)過(guò)程，并根據(jù)研究需要提取不同時(shí)刻的邊坡地震動(dòng)力響應(yīng)云圖以及邊坡模型任一監(jiān)測(cè)點(diǎn)的地震動(dòng)力響應(yīng)加速度、速度和位移時(shí)程。

與現(xiàn)有技術(shù)相比，本發(fā)明的有益效果是：通過(guò)提供一種能在邊坡地震響應(yīng)數(shù)值模擬中實(shí)現(xiàn)任一方向入射平面體波激振的方法，建立一套邊坡受任一方向入射平面體波激勵(lì)的數(shù)值模擬方案，以揭示特定邊坡地震破壞的多樣性，進(jìn)而估算特定方式邊坡破壞的可能性。

附圖說(shuō)明

圖1為本發(fā)明邊坡地震響應(yīng)數(shù)值模擬中任一方向斜入射平面體波激振方法的流程圖。

圖2為本發(fā)明邊坡地震響應(yīng)數(shù)值模擬中垂直入射平面體波激振的惠更斯原理示意圖。

圖3為本發(fā)明邊坡地震響應(yīng)數(shù)值模擬中斜入射平面體波激振的惠更斯原理示意圖。

圖4為本發(fā)明邊坡地震響應(yīng)數(shù)值模擬中任一方向斜入射平面體波激振邊坡底部節(jié)點(diǎn)啟動(dòng)時(shí)序分析示意圖。

圖5為本發(fā)明邊坡地震響應(yīng)數(shù)值模擬中任一方向斜入射平面體波射線和波動(dòng)位移矢量與邊坡底部水平激振邊界在入射面內(nèi)的空間關(guān)系示意圖。

圖6為本發(fā)明邊坡地震響應(yīng)數(shù)值模擬中任一方向斜入射平面體波射線及位移矢量在邊坡底部水平激振面內(nèi)的投影關(guān)系示意圖。

圖7為本發(fā)明邊坡地震響應(yīng)數(shù)值模擬中任一方向斜入射平面體波激振的P波位移分量(u_P,v_P,w_P)與位移矢量模(S_P)的關(guān)系示意圖。

圖8為本發(fā)明邊坡地震響應(yīng)數(shù)值模擬中任一方向斜入射平面體波激振的SV波位移分量(u_V,v_V,w_V)與位移矢量模(S_V)的關(guān)系示意圖。

圖9為本發(fā)明邊坡地震響應(yīng)數(shù)值模擬中任一方向斜入射平面體波激振的SH波位移分量(u_H,v_H,w_H)與位移矢量模(S_H)的關(guān)系示意圖。

圖10為本發(fā)明邊坡地震響應(yīng)數(shù)值模擬中垂直入射平面橫波位移分量(u_S,v_S,w_S＝0)與位移矢量模(S_S)的關(guān)系示意圖。

具體實(shí)施方式

下面將對(duì)本發(fā)明的具體實(shí)施方式進(jìn)行詳細(xì)說(shuō)明，但應(yīng)當(dāng)說(shuō)明的是，這些實(shí)施方式并非對(duì)本發(fā)明的限制，本領(lǐng)域普通技術(shù)人員根據(jù)這些實(shí)施方式所作的功能、方法、或者結(jié)構(gòu)上的等效變換或替代，均屬于本發(fā)明的保護(hù)范圍之內(nèi)。

如圖1至圖10所示：圖1為本發(fā)明邊坡地震響應(yīng)數(shù)值模擬中任一方向斜入射平面體波激振方法的流程圖；圖2為本發(fā)明邊坡地震響應(yīng)數(shù)值模擬中垂直入射平面體波激振的惠更斯原理示意圖；圖3為本發(fā)明邊坡地震響應(yīng)數(shù)值模擬中斜入射平面體波激振的惠更斯原理示意圖；圖4為本發(fā)明邊坡地震響應(yīng)數(shù)值模擬中任一方向斜入射平面體波激振邊坡底部節(jié)點(diǎn)啟動(dòng)時(shí)序分析示意圖；圖5為本發(fā)明邊坡地震響應(yīng)數(shù)值模擬中任一方向斜入射平面體波射線和波動(dòng)位移矢量與邊坡底部水平激振邊界在入射面內(nèi)的空間關(guān)系示意圖；圖6為本發(fā)明邊坡地震響應(yīng)數(shù)值模擬中任一方向斜入射平面體波射線及位移矢量在邊坡底部水平激振面內(nèi)的投影關(guān)系示意圖；圖7為本發(fā)明邊坡地震響應(yīng)數(shù)值模擬中任一方向斜入射平面體波激振的P波位移分量(u_P,v_P,w_P)與位移矢量模(S_P)的關(guān)系示意圖；圖8為本發(fā)明邊坡地震響應(yīng)數(shù)值模擬中任一方向斜入射平面體波激振的SV波位移分量(u_V,v_V,w_V)與位移矢量模(S_V)的關(guān)系示意圖；圖9為本發(fā)明邊坡地震響應(yīng)數(shù)值模擬中任一方向斜入射平面體波激振的SH波位移分量(u_H,v_H,w_H)與位移矢量模(S_H)的關(guān)系示意圖；圖10為本發(fā)明邊坡地震響應(yīng)數(shù)值模擬中垂直入射平面橫波位移分量(u_S,v_S,w_S＝0)與位移矢量模(S_S)的關(guān)系示意圖。

本實(shí)施方式提供了一種邊坡地震數(shù)值模擬中任一方向入射平面體波激振方法，具體步驟如下：

步驟S1，邊坡建模

邊坡建?？梢岳枚喾N建模軟件和工具，可以建成復(fù)雜的實(shí)體三維模型或者是簡(jiǎn)單的二維模型，但建模過(guò)程中需要注意的是：數(shù)值模型的邊坡底部激振邊界設(shè)置為水平面，簡(jiǎn)稱為“激振面”，按一定要求，激振邊界按一定的網(wǎng)格密度進(jìn)行剖分(邊坡模型底層按六面體網(wǎng)格剖分，網(wǎng)格尺寸的大小滿足：六面體邊長(zhǎng)小于入射地震波最高頻率對(duì)應(yīng)波長(zhǎng)的1/10至1/8)，剖分網(wǎng)格線交點(diǎn)構(gòu)成激振邊界的節(jié)點(diǎn)，從而將空間上連續(xù)的地震波激振作用離散為激振邊界上各個(gè)節(jié)點(diǎn)的激振作用。

步驟S2，任一方向入射地震平面體波激勵(lì)在邊坡模型底部激振邊界上各節(jié)點(diǎn)的啟動(dòng)時(shí)序計(jì)算。

本步驟的理論基礎(chǔ)為波傳播的惠更斯原理。如圖2、圖3所示，惠更斯原理可表述為：介質(zhì)中任意時(shí)刻t₀波前面上的各點(diǎn)，都可看作可發(fā)射子波的波源，這些子波源向介質(zhì)中發(fā)射球面子波，球面子波按子波源附近介質(zhì)的波速c向前推進(jìn)，經(jīng)過(guò)一個(gè)很小的時(shí)間增量Δt后的下一時(shí)刻t₀+Δt，球面子波波前離開(kāi)子波源的距離為Δr＝c·Δt，此時(shí)，在波前進(jìn)方向上所有子波波前的包絡(luò)面就是時(shí)刻t₀+Δt對(duì)應(yīng)的新的波前面。

圖2可以說(shuō)明地震波垂直向上入射到邊坡模型內(nèi)的情況。在t₀時(shí)刻地震波垂直入射時(shí)，邊坡模型底部所有節(jié)點(diǎn)同時(shí)發(fā)生振動(dòng)，這些節(jié)點(diǎn)可以看作子波波源，地震波在邊坡模型內(nèi)向上傳播，在t₀+Δt時(shí)刻，波前傳到模型網(wǎng)格倒數(shù)第二層節(jié)點(diǎn)，致使模型第二層節(jié)點(diǎn)也同時(shí)發(fā)生振動(dòng)。這樣地震波就在邊坡內(nèi)垂直向上傳播開(kāi)來(lái)。

同樣，利用惠更斯原理可以解決地震波斜入射問(wèn)題。如圖3所示，邊坡初動(dòng)時(shí)刻為t₀，邊坡底部激振邊界上每一個(gè)節(jié)點(diǎn)均可以看作子波波源，在數(shù)值模擬軟件中，可以設(shè)置邊坡模型底部激振邊界上各節(jié)點(diǎn)按啟動(dòng)時(shí)序依次起振，兩相鄰節(jié)點(diǎn)的起振時(shí)間間隔為Δt′(與相鄰節(jié)點(diǎn)間距有關(guān))，由于邊坡模型底部各節(jié)點(diǎn)起振時(shí)刻不同，經(jīng)時(shí)間Δt后，新產(chǎn)生的波前會(huì)與邊坡底部激振面呈一定夾角(當(dāng)激振面上下介質(zhì)波速相等時(shí)，此夾角與體波入射角相等)，從而實(shí)現(xiàn)了地震體波的斜入射激振。

如圖4所示，邊坡底部激振面網(wǎng)格剖分線與坐標(biāo)軸x、y平行。與x軸平行的一組網(wǎng)格剖分線序號(hào)記為i，i＝0,1,…,n-1，共計(jì)n條；與y軸平行的一組網(wǎng)格剖分線序號(hào)記為j，j＝0,1,…,m-1，共計(jì)m條。兩組剖分網(wǎng)格線相交形成一系列節(jié)點(diǎn)p_ij，節(jié)點(diǎn)數(shù)目共計(jì)m×n個(gè)，自地下任一方向入射的地震平面體波使得這些節(jié)點(diǎn)按一定時(shí)序陸續(xù)啟動(dòng)。如圖4所示，將邊坡底部激振邊界上最先受到擾動(dòng)的節(jié)點(diǎn)設(shè)為xy平面坐標(biāo)原點(diǎn)。為表達(dá)方便，也將該節(jié)點(diǎn)稱為邊坡初動(dòng)點(diǎn)，并記其起振時(shí)刻為t₀；記邊坡底部激振邊界內(nèi)任意網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)p_ij的起振時(shí)刻為t_ij。由圖4可知，當(dāng)入射方位角為α?xí)r，波前面由初動(dòng)點(diǎn)o沿入射方向傳至節(jié)點(diǎn)p_ij時(shí)，波動(dòng)傳播距離即為t₀時(shí)刻和t_ij時(shí)刻兩個(gè)波前之間的距離li_j：

l_ij＝|oq|·sinθ＝(iΔx cosα+jΔy sinα)·sinθ (a)

因此，任意網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)p_ij的起振時(shí)刻t_ij為：

式中：i＝0,1,…,n-1；j＝0,1,…,m-1；t₀為邊坡初動(dòng)點(diǎn)波動(dòng)到時(shí)；c為邊坡激振邊界以下介質(zhì)的彈性波速，縱波取c_P，橫波取c_S。

由于體波震相的傳播波速主要分為縱波波速c_P和橫波波速c_S兩種，因此從運(yùn)動(dòng)學(xué)角度考慮，對(duì)于激振邊界節(jié)點(diǎn)震相疊加而言，只要考慮縱波和橫波兩種基本震相就可以滿足疊加分析需要了。

考慮縱波(P波)入射，式(b)可寫為：

式中，t_Pij為P波震相在節(jié)點(diǎn)p_ij的啟動(dòng)時(shí)刻；t_P0為邊坡初動(dòng)點(diǎn)的P波擾動(dòng)到時(shí)。

考慮橫波(S波，包括SV和SH)入射，式(b)可寫為：

式中，t_Sij為S波震相在節(jié)點(diǎn)p_ij的啟動(dòng)時(shí)刻；t_S0為邊坡初動(dòng)點(diǎn)的S波擾動(dòng)到時(shí)。

由于恒有c_P＞c_S，因此對(duì)同一節(jié)點(diǎn)而言，恒有t_Pij＜t_Sij。同樣，恒有t_P0＜t_S0。

設(shè)震源到邊坡初動(dòng)點(diǎn)之間的距離為R，則t_P0和t_S0分別由式(c)和式(d)計(jì)算：

t_P0＝R/c_P0 (c)

t_S0＝R/c_S0 (d)

按式(c)和式(d)，可將彈性波速c_P0和c_S0視為地震震源和邊坡所在區(qū)域地殼介質(zhì)的等效平均波速。從震源輻射波場(chǎng)的角度考慮，從宏觀上觀察邊坡所在區(qū)域波場(chǎng)中的位置，則可以進(jìn)一步深入研究因邊坡在波場(chǎng)中空間位置不同而導(dǎo)致的邊坡地震動(dòng)力響應(yīng)的變化。由式(c)和式(d)可見(jiàn)，由邊坡初動(dòng)點(diǎn)的縱波、橫波到時(shí)可以求算出邊坡與震源之間的距離R，如式(e)所示：

R＝Δt_PS0·c_Φ (e)

式中，Δt_PS0＝t_S0-t_P0，是地震橫波和縱波到達(dá)邊坡的到時(shí)差；稱為邊坡及震源所在區(qū)域地殼介質(zhì)的虛波速度。

步驟S3，不同震相平面體波激勵(lì)作用在邊坡模型底部各節(jié)點(diǎn)處產(chǎn)生的應(yīng)力分量時(shí)程計(jì)算。

步驟S3可以具體分為以下幾個(gè)步驟來(lái)實(shí)現(xiàn)：

1)求波動(dòng)方程的位移解

設(shè)地震波擾動(dòng)在介質(zhì)中任一點(diǎn)(x,y,z)處引起如式(1)所示的質(zhì)點(diǎn)位移

其中，u,v,w分別為波動(dòng)位移在x,y,z三個(gè)方向上的位移分量，均為空間坐標(biāo)(x,y,z)和時(shí)間t的函數(shù)：

u＝u(x,y,z,t)；v＝v(x,y,z,t)；w＝w(x,y,z,t)

設(shè)位移矢量的模為S，即：

根據(jù)彈性波動(dòng)理論，在彈性介質(zhì)中的地震波傳播可以用式(2)所示的波動(dòng)方程描述：

式中，ρ為介質(zhì)密度；μ為剪切模量；λ與μ合成拉梅常數(shù)，拉梅常數(shù)與介質(zhì)彈性模量E和泊松比v的關(guān)系為：

對(duì)于介質(zhì)空間中的任一質(zhì)點(diǎn)，可以證明，式(3)所示的單頻簡(jiǎn)諧波動(dòng)位移是波動(dòng)方程(2)的一個(gè)通解：

式中，A_ω＝A_ω(x,y,z)為簡(jiǎn)諧波動(dòng)的振幅，在某一具體介質(zhì)點(diǎn)(x,y,z)處的一定范圍內(nèi)可近似為常數(shù)；i為虛單位，為波動(dòng)的相位函數(shù)，其中ω為波動(dòng)圓頻率，與頻率f之間的關(guān)系為ω＝2πf；為介質(zhì)中任一點(diǎn)(x,y,z)的位置向量，為波矢量，波矢量的方向與波傳播方向相同，波矢量的模稱為波數(shù)，其中c為波動(dòng)在介質(zhì)中的傳播速度，分為縱波波速c_P和橫波波速c_S。縱波波速c_P、橫波波速c_S與介質(zhì)密度ρ以及拉梅常數(shù)λ、μ之間的關(guān)系為：

根據(jù)傅里葉原理，對(duì)于任意非簡(jiǎn)諧波動(dòng)位移S＝S(x,y,z,t)，均可由如式(3)所示的不同頻率簡(jiǎn)諧波動(dòng)位移疊加而成。即：

因非簡(jiǎn)諧波動(dòng)的傳播方向與其個(gè)簡(jiǎn)諧分量波動(dòng)的傳播方向相同，因此非簡(jiǎn)諧波的波矢量與其各簡(jiǎn)諧分量波動(dòng)的波矢量指向相同，但非簡(jiǎn)諧波動(dòng)波數(shù)與其各簡(jiǎn)諧分量波動(dòng)的波數(shù)不一定相等。后面的分析中將不區(qū)分與兩者都寫為

同樣可以證明，式(4)所示的混頻非簡(jiǎn)諧波動(dòng)位移也是波動(dòng)方程(2)的一個(gè)解。

2)推導(dǎo)各體波震相的波動(dòng)位移分量表達(dá)式

邊坡地震反應(yīng)數(shù)值模擬中，邊坡數(shù)值模型的激振邊界通常設(shè)置在邊坡底部，界面為水平面，可稱為激振面。邊坡模型局部坐標(biāo)系(x,y,z)的設(shè)置：z軸鉛垂向上，x、y軸位于激振平面內(nèi)，x軸沿邊坡梯度最大方向指向坡外，坐標(biāo)原點(diǎn)視具體情況置于激振面的某個(gè)角點(diǎn)上；x、y、z三軸相互正交形成右手直角坐標(biāo)系。

設(shè)邊坡受到自地下任一方向入射的地震平面體波激振，體波震相包括P波、SV波和SH波三種，不同震相的入射方位、初動(dòng)位移矢量相對(duì)于邊坡模型局部坐標(biāo)系的空間關(guān)系如圖5、圖6所示。

圖5所示為在入射面內(nèi)觀察體波自下而上斜入射至邊坡底部的情況。坐標(biāo)軸z與激振平面垂直指向上，坐標(biāo)軸r就是在激振面內(nèi)，與入射面和激振面的交線重合，r軸指向與入射波射線方向在激振面內(nèi)的投影方向一致。入射波射線與激振面法線之間的夾角θ稱為地震波入射角。

如圖6所示，在激振面內(nèi)，r軸方向與波射線在激振面內(nèi)的投影方向一致，射線水平投影方向與x軸方向之間的夾角α稱為地震波入射方位角。r軸上任一點(diǎn)r在x軸和y軸上的投影分別為x和y，在量值上，r與x、y之間存在如下關(guān)系：

與波傳播方向一致的波矢量在圖5、圖6所示的邊坡局部坐標(biāo)系中可分解為k_x,k_y,k_z三個(gè)分量，即其中：

式(3)所示簡(jiǎn)諧波動(dòng)位移的相位函數(shù)可具體展開(kāi)為：

圖5、圖6所示幾種體波震相振動(dòng)位移矢量與波射線表明了地震波動(dòng)位移方向與波傳播方向的幾何關(guān)系。

P波引起的質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)位移沿著波傳播的方向，對(duì)波傳播前方介質(zhì)產(chǎn)生壓縮或拉伸作用。P波位移初動(dòng)可分為與波傳播方向相同和相反兩種：與波傳播方向相同的P波初動(dòng)向前推，對(duì)前方介質(zhì)產(chǎn)生壓力，稱為壓縮波，記為P⁺；與波傳播方向相反的P波初動(dòng)向后拉，對(duì)前方介質(zhì)產(chǎn)生拉力，稱為拉伸波，記為P^-。

SV波引起的質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)位移在入射面內(nèi)垂直于波傳播方向，對(duì)前方介質(zhì)產(chǎn)生剪切作用。在入射面內(nèi)沿波傳播方向向前看，SV波位移初動(dòng)可分為向右和向左兩種：初動(dòng)向右的SV波可簡(jiǎn)稱為右剪SV波，記為SV⁺；初動(dòng)向左的SV波可簡(jiǎn)稱為左剪SV波，記為SV^-。

SH波引起的質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)位移垂直于入射面和波傳播方向，質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向恒為水平，對(duì)前方介質(zhì)同樣產(chǎn)生剪切作用。沿波傳播方向向前看，SH波位移初動(dòng)可分為水平向右和水平向左兩種：初動(dòng)水平向右的SH波可簡(jiǎn)稱為右剪SH波，記為SH⁺；初動(dòng)水平向左的SH波簡(jiǎn)稱為左剪SH波，記為SH^-。

根據(jù)不同震相波動(dòng)位移方向與波傳播方向的關(guān)系以及波射線與邊坡模型局部坐標(biāo)系的關(guān)系，按矢量投影的方法，可以推導(dǎo)出不同震相位移分量u,v,w與波動(dòng)位移矢量模S之間的關(guān)系。

P波位移分量

圖7所示為P波位移分量u_P、v_P、w_P與壓縮波P⁺位移矢量模S_P⁺及拉伸波P^-位移矢量模S_P^-之間的幾何關(guān)系示意圖。

設(shè)壓縮波P⁺和拉伸波P^-的位移矢量大小相等、方向相反，則P⁺的位移矢量模S_P⁺和P^-的位移矢量模S_P^-之間的關(guān)系為：

S_P⁺＝-S_P^-＝S_P

據(jù)此，縱波P(壓縮波P⁺和拉伸波P^-)的位移分量u_P、v_P、w_P與位移矢量模S_P的關(guān)系分別如式(7)和式(8)所示。

壓縮波P⁺的位移分量：

拉伸波P^-的位移分量：

按照式(3)、式(4)，式(7)、式(8)中S_P不僅可以代表圖7中所示的P⁺和P^-震相波動(dòng)的初動(dòng)矢量模，同時(shí)也可代表初動(dòng)分別為向前或向后的P波位移矢量時(shí)程的模，分為單頻簡(jiǎn)諧波動(dòng)和任意非簡(jiǎn)諧波動(dòng)兩種，分別如式(9)和式(10)所示：

S_P＝S_P(x,y,z,t) (10)

式中，A_P＝A_P(x,y,z)為簡(jiǎn)諧波動(dòng)的振幅，在點(diǎn)(x,y,z)附近一定范圍內(nèi)可視為常數(shù)；為P波的波矢量，波數(shù)其中c_P為縱波波速。

SV波位移分量

圖8所示為SV波位移分量u_V、v_V、w_V與右剪SV波SV⁺的位移矢量模S_V⁺及左剪SV波SV^-的位移矢量模S_V^-之間的幾何關(guān)系示意圖。

設(shè)右剪SV波SV⁺和左剪SV波SV^-的位移矢量大小相等、方向相反，則SV⁺波的位移矢量模S_V⁺和SV^-波的位移矢量模S_V^-之間的關(guān)系為：

S_V⁺＝-S_V^-＝S_V

據(jù)此，SV波(SV⁺和SV^-)的位移分量u_V、v_V、w_V與位移矢量模S_V的關(guān)系分別如式(11)和式(12)所示。

右剪波SV⁺的位移分量：

左剪波SV^-波的位移分量：

與P波類似，式(11)、式(12)中的位移矢量模S_V不僅可以代表SV波位移初動(dòng)矢量的模，同時(shí)也可代表右剪或左剪SV波位移矢量時(shí)程的模，分為單頻簡(jiǎn)諧波動(dòng)式(13)和任意非簡(jiǎn)諧波動(dòng)式(14)：

S_V＝S_V(x,y,z,t) (14)

式中，A_V＝A_V(x,y,z)為簡(jiǎn)諧波動(dòng)的振幅，在點(diǎn)(x,y,z)附近一定范圍內(nèi)可視為常數(shù)；為橫波(SV波)的波矢量，波數(shù)其中c_S為橫波波速。

SH波位移分量

圖9所示為SH波位移分量u_H、v_H(w_H≡0)與右剪SH波SH⁺的位移矢量模S_H⁺及左剪SH波SH^-的位移矢量模S_H^-之間的幾何關(guān)系在水平面內(nèi)的示意圖。

設(shè)右剪SH波SH⁺和左剪SH波SH^-的位移矢量大小相等、方向相反，則SH⁺波的位移矢量模S_H⁺和SH^-波的位移矢量模S_H^-之間的關(guān)系為：

S_H⁺＝-S_H^-＝S_H

據(jù)此，SH波(SH⁺和SH^-)的位移分量u_H、v_H(w_H≡0)與位移矢量模S_H的關(guān)系分別如式(15)和式(16)所示。

右剪波SH⁺的位移分量：

左剪波SH^-的位移分量：

同樣，式(15)、式(16)中的位移矢量模S_H不僅可以代表SH波位移初動(dòng)矢量的模，同時(shí)也可代表右剪和左剪SH波位移矢量時(shí)程的模，分為單頻簡(jiǎn)諧波動(dòng)式(17)和任意非簡(jiǎn)諧波動(dòng)式(18)：

S_H＝S_H(x,y,z,t) (18)

式中，A_H＝A_H(x,y,z)為簡(jiǎn)諧波動(dòng)的振幅，在點(diǎn)(x,y,z)附近一定范圍內(nèi)可視為常數(shù)；為橫波(SH波)的波矢量，波數(shù)其中c_s為橫波波速。

3)求解體波震相的波動(dòng)應(yīng)力

在邊坡局部坐標(biāo)系中，邊坡底部激振邊界上的波動(dòng)應(yīng)力分量有三個(gè)：σ_z、τ_zx和τ_zy。根據(jù)彈性力學(xué)中的幾何方程(應(yīng)變-位移關(guān)系)和物理方程(應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系)，可以得到波動(dòng)應(yīng)力分量σ_z、τ_zx、τ_zy與波動(dòng)位移分量u、v、w之間的關(guān)系，如式(19)所示：

將式(7)～式(18)所示的各個(gè)體波震相的位移分量代入上式，即可得到不同體波震相的波動(dòng)應(yīng)力分量與波動(dòng)位移分量之間的關(guān)系表達(dá)式。

由式(19)可知，波動(dòng)應(yīng)力分量σ_z、τ_zx、τ_zy的計(jì)算涉及到的位移分量偏導(dǎo)數(shù)有對(duì)各個(gè)體波震相的位移分量求這些偏導(dǎo)數(shù)，代入式(19)，即可確定出各體波震相波動(dòng)應(yīng)力分量與波動(dòng)位移分量之間的表達(dá)式。

由式(7)～式(18)可以看出，各個(gè)體波震相位移分量都可表示為震相位移向量在x,y,z三個(gè)方向的投影，歸根結(jié)底，真正控制位移分量變化的是位移矢量模的變化。而不同體波震相位移矢量時(shí)程的模均可歸納為單頻簡(jiǎn)諧波動(dòng)和任意非簡(jiǎn)諧波動(dòng)兩種形式，并可統(tǒng)一表示為：

S＝S(x,y,z,t) (21)

對(duì)P波，S＝S_P，A＝A_P，對(duì)SV波，S＝S_V，A＝A_V，對(duì)SH波，S＝S_H，A＝A_H，

對(duì)波動(dòng)位移分量的幾個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都可歸結(jié)為對(duì)波動(dòng)位移矢量模的偏導(dǎo)數(shù)

先對(duì)簡(jiǎn)諧波動(dòng)進(jìn)行分析。

式(20)分別對(duì)空間變量x,y,z求導(dǎo)，有：

把式(5)代入式(22)，并考慮和有：

另外，波動(dòng)位移(質(zhì)點(diǎn)位移)矢量的模S對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為波動(dòng)速度(質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度)的模V，即

式(20)對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)得：

式中，V＝V(x,y,z,t)為地震波動(dòng)在點(diǎn)(x,y,z)處引起的質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度(波動(dòng)速度)矢量時(shí)程的模。對(duì)P波，V＝V_P＝V_P(x,y,z,t)，S＝S_P，A＝A_P，對(duì)SV波，V＝V_V＝V_V(x,y,z,t)，S＝S_V，A＝A_V，對(duì)SH波，V＝V_H＝V_H(x,y,z,t)，S＝S_H，A＝A_H，

把式(23)代入式(22)得：

式中，c為地震波傳播的速度，縱波(P波)c＝c_P，橫波(SV、SH波)c＝c_S；V為地震波在點(diǎn)(x,y,z)引起的質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度矢量時(shí)程的模(簡(jiǎn)稱為振速時(shí)程)。按式(23)，V的振動(dòng)方式為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，可寫為如下形式：

式中，V_m＝-ω·A為質(zhì)點(diǎn)振速的振幅(振速最大值)，其中ω為質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的圓頻率，A為質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的位移振幅(位移最大值)。對(duì)于P波，V_m＝V_mP＝-ω·A_P；對(duì)于SV波，V_m＝V_mV＝-ω·A_V；對(duì)于SH波，V_m＝V_mH＝-ω·A_H。

與波動(dòng)位移的簡(jiǎn)諧振動(dòng)式(3)可推廣為非簡(jiǎn)諧振動(dòng)式(4)類似，根據(jù)傅里葉原理，式(25)所示波動(dòng)速度的簡(jiǎn)諧振動(dòng)過(guò)程同樣可以推廣為非簡(jiǎn)諧振動(dòng)過(guò)程，如式(26)所示：

V＝V(x,y,z,t)＝V_m·f(x,y,z,t) (26)

式中，V_m為點(diǎn)(x,y,z)處非簡(jiǎn)諧質(zhì)點(diǎn)振速時(shí)程的最大振速值，或稱為峰值振速；f(x,y,z,t)＝V/V_m為點(diǎn)(x,y,z)處最大值為1的歸一化(無(wú)量綱)質(zhì)點(diǎn)振速時(shí)程。

P波應(yīng)力分量

壓縮波P⁺的應(yīng)力分量

對(duì)式(7)所示P⁺波的位移分量求偏導(dǎo)數(shù)再把式(24)所示對(duì)位移矢量模的偏導(dǎo)數(shù)代入得：

將以上偏導(dǎo)數(shù)代入式(19)得到壓縮波P⁺的應(yīng)力分量，如式(27)所示：

拉伸波P^-的應(yīng)力分量

對(duì)式(8)所示P^-波的位移分量求偏導(dǎo)數(shù)再把式(24)所示對(duì)位移量模的偏導(dǎo)數(shù)代入得：

將以上偏導(dǎo)數(shù)代入式(19)得到拉伸波P^-的應(yīng)力分量，如式(28)所示：

SV波應(yīng)力分量

右剪波SV⁺的應(yīng)力分量

對(duì)式(11)所示SV⁺波的位移分量求偏導(dǎo)數(shù)再把式(24)所示對(duì)位移矢量模的偏導(dǎo)數(shù)代入得：

將以上偏導(dǎo)數(shù)代入式(19)得到右剪波SV⁺的應(yīng)力分量，如式(29)所示：

左剪波SV^-的應(yīng)力分量

對(duì)式(12)所示SV^-波的位移分量求偏導(dǎo)數(shù)再把式(24)所示對(duì)位移矢量模的偏導(dǎo)數(shù)代入得：

將以上偏導(dǎo)數(shù)代入式(19)得到左剪波SV^-的應(yīng)力分量，如式(30)所示：

SH波應(yīng)力分量

右剪波SH⁺的應(yīng)力分量

對(duì)式(15)所示SH⁺波的位移分量求偏導(dǎo)數(shù)再把式(24)所示對(duì)位移矢量模的偏導(dǎo)數(shù)代入得：

將以上偏導(dǎo)數(shù)代入式(19)得到右剪波SH⁺的應(yīng)力分量，如式(31)所示：

左剪波SH^-的應(yīng)力分量

對(duì)式(16)所示SH^-波的位移分量求偏導(dǎo)數(shù)再把式(24)所示對(duì)位移矢量模的偏導(dǎo)數(shù)代入得：

將以上偏導(dǎo)數(shù)代入式(19)得到左剪波SH^-的應(yīng)力分量，如式(32)所示：

特別的，當(dāng)?shù)卣鸩ù怪比肷鋾r(shí)，入射角θ為0°，即邊坡底部激振邊界上所有節(jié)點(diǎn)同時(shí)起振。根據(jù)式(27)、式(28)，此時(shí)P波只有z向的應(yīng)力分量不為0，即：

當(dāng)S波垂直入射時(shí)，由上述表示S波應(yīng)力分量的公式可知，參數(shù)α并不能像P波垂直入射的應(yīng)力公式一樣直接消去。而此時(shí)，根據(jù)前述對(duì)方位角α的定義，其已不能表達(dá)入射波射線與邊坡的實(shí)際方位關(guān)系了。因此，S波垂直入射時(shí)的應(yīng)力分量公式需要根據(jù)S波垂直入射時(shí)的偏振位移情況重新推導(dǎo)。

若橫波的偏振在介質(zhì)中某點(diǎn)(x,y,z)引起的位移為其模為S_S。如圖10所示，設(shè)由x軸正向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至橫波振動(dòng)初動(dòng)方向的夾角為β(0°≤β＜360°)，則有：

由上式與式(11)、式(12)的對(duì)比可知，橫波垂直入射時(shí)，其位移分量在形式上與橫波斜入射時(shí)SV波的位移分量式類似。采用相同的應(yīng)力分量時(shí)程函數(shù)推導(dǎo)過(guò)程，易得橫波垂直入射情況下，其應(yīng)力分量如下所示：

步驟S4，邊坡模型底部激振邊界各節(jié)點(diǎn)不同體波震相波動(dòng)應(yīng)力分量的疊加時(shí)程計(jì)算。

考慮式(b′)和式(b″)所示節(jié)點(diǎn)p_ij的P波和S波啟動(dòng)時(shí)刻t_Pij和t_Sij，式(27)～式(32)所示的P(P⁺，P^-)、SV(SV⁺，SV^-)和SH(SH⁺，SH^-)的波動(dòng)應(yīng)力時(shí)程表達(dá)式可寫為式(27′)～式(32′)。

①P波應(yīng)力分量時(shí)程(t≥t_Pij)

壓縮波P⁺的應(yīng)力分量時(shí)程。

拉伸波P^-的應(yīng)力分量時(shí)程。

②SV波應(yīng)力分量時(shí)程(t≥t_Sij)

右剪波SV⁺的應(yīng)力分量時(shí)程

左剪波SV^-的應(yīng)力分量時(shí)程

③SH波應(yīng)力分量時(shí)程(t≥t_Sij)

右剪波SH⁺的應(yīng)力分量時(shí)程

左剪波SH^-的應(yīng)力分量時(shí)程

按波動(dòng)位移方向與波射線的關(guān)系，到達(dá)激振邊界的體波震相有P、SV和SH三種，進(jìn)一步考慮波動(dòng)的初動(dòng)位移方向，又可進(jìn)一步分為P⁺，P^-；SV⁺，SV^-；SH⁺，SH^-六類。從波傳播的物理實(shí)際考慮，到達(dá)激振邊界任一節(jié)點(diǎn)處可能發(fā)生的波動(dòng)震相組合包括兩種震相組合和三種震相組合。

①兩種震相組合(12種)

P⁺+SV⁺，P⁺+SV^-；P^-+SV⁺，P^-+SV^-；

P⁺+SH⁺，P⁺+SH^-；P^-+SH⁺，P^-+SH^-；

SV⁺+SH⁺，SV⁺+SH^-；SV^-+SH⁺，SV^-+SH^-。

有12種組合。

②三種震相組合(8種)

P⁺+SV⁺+SH⁺，P⁺+SV⁺+SH^-；P⁺+SV^-+SH⁺，P⁺+SV^-+SH^-；

P^-+SV⁺+SH⁺，P^-+SV⁺+SH^-；P^-+SV^-+SH⁺，P^-+SV^-+SH^-。

考慮上述可能的震相組合，選擇相應(yīng)的應(yīng)力分量時(shí)程公式，取對(duì)應(yīng)分量的代數(shù)和，即可得到激振面節(jié)點(diǎn)p_ij上不同體波震相波動(dòng)應(yīng)力分量的疊加時(shí)程表達(dá)式。譬如，兩種震相組合P⁺+SV⁺在節(jié)點(diǎn)p_ij上的輸入波動(dòng)應(yīng)力分量σ_{z P}⁺_+V⁺(p_ij)、τ_{zx P}⁺_+V⁺(p_ij)和τ_{zy P}⁺_+V⁺(p_ij)為式(27′)和式(29′)對(duì)應(yīng)應(yīng)力分量時(shí)程的代數(shù)和：

對(duì)σ_zP⁺(t-t_Pij)，t≥t_Pij；對(duì)σ_zV⁺(t-t_Sij)，t≥t_Sij。即：

對(duì)V_P(t-t_Pij)，t≥t_Pij；對(duì)V_V(t-t_Sij)，t≥t_Sij。

步驟S5，邊坡模型底部激振邊界各節(jié)點(diǎn)體波震相波動(dòng)應(yīng)力分量疊加時(shí)程輸入

以單頻簡(jiǎn)諧波動(dòng)輸入為例，可按上述式(27)～式(32)公式輸入即可。

簡(jiǎn)諧P波、S波疊加組合數(shù)值模擬也采用上節(jié)提到的動(dòng)力輸入方案。首先確定P波、S波的頻率、振幅、到時(shí)與持時(shí)等因素。根據(jù)計(jì)算出來(lái)的P波和S波的作用時(shí)間，輸入各時(shí)間段的應(yīng)力時(shí)程。

以FLAC^3D軟件為例，現(xiàn)列舉出簡(jiǎn)諧P波、SV波疊加入射的命令流示例：

其中，dingyi1x.txt、dingyi2y.txt、dingyi3z.txt，定義的是P波和S波從某個(gè)方向輸入的三分量波函數(shù)FISH語(yǔ)言表達(dá)式。call shijia1.txt、call shijia2.txt、call shijia3.txt定義的是P波、S波從某個(gè)方向輸入的三分量應(yīng)力時(shí)程表達(dá)式。

步驟S6，邊坡模型地震動(dòng)力響應(yīng)模擬結(jié)果提取

自邊坡模型底部激振邊界體波震相波動(dòng)應(yīng)力分量疊加時(shí)程加載(邊坡初動(dòng)時(shí)刻t₀)起，數(shù)值模擬系統(tǒng)即刻開(kāi)始記錄邊坡模型中各個(gè)節(jié)點(diǎn)的地震動(dòng)力響應(yīng)過(guò)程，并根據(jù)研究需要提取不同時(shí)刻的邊坡地震動(dòng)力響應(yīng)云圖以及邊坡模型任一監(jiān)測(cè)點(diǎn)的地震動(dòng)力響應(yīng)加速度、速度和位移時(shí)程。

本發(fā)明通過(guò)計(jì)算邊坡模型底部激振邊界上各節(jié)點(diǎn)受地震動(dòng)力荷載作用的啟動(dòng)時(shí)序，將地震波的垂直入射和斜入射問(wèn)題轉(zhuǎn)化為邊坡底部激振邊界上各節(jié)點(diǎn)的啟動(dòng)時(shí)序問(wèn)題；利用單元體運(yùn)動(dòng)方程、幾何方程和物理方程(虎克定律)，推導(dǎo)出用位移表示的三維波動(dòng)方程；根據(jù)不同震相地震波的傳播特點(diǎn)和偏振特性，得出各震相地震波的位移矢量，將位移矢量帶入幾何方程和虎克定律，計(jì)算出各震相地震波激勵(lì)在邊坡底部激振邊界上各個(gè)節(jié)點(diǎn)處產(chǎn)生的應(yīng)力分量時(shí)程表達(dá)式，建立起一套邊坡受任一方向入射地震平面體波激勵(lì)的邊坡激振方案，可以揭示特定邊坡地震破壞的多樣性，進(jìn)而估算特定方式的邊坡破壞的可能性。

上文所列出的一系列詳細(xì)說(shuō)明僅僅是針對(duì)本發(fā)明的可行性實(shí)施方式的具體說(shuō)明，它們并非用以限制本發(fā)明的保護(hù)范圍，凡未脫離本發(fā)明技藝精神所作的等效實(shí)施方式或變更均應(yīng)包含在本發(fā)明的保護(hù)范圍之內(nèi)。

對(duì)于本領(lǐng)域技術(shù)人員而言，顯然本發(fā)明不限于上述示范性實(shí)施例的細(xì)節(jié)，而且在不背離本發(fā)明的精神或基本特征的情況下，能夠以其他的具體形式實(shí)現(xiàn)本發(fā)明。因此，無(wú)論從哪一點(diǎn)來(lái)看，均應(yīng)將實(shí)施例看作是示范性的，而且是非限制性的，本發(fā)明的范圍由所附權(quán)利要求而不是上述說(shuō)明限定，因此旨在將落在權(quán)利要求的等同要件的含義和范圍內(nèi)的所有變化囊括在本發(fā)明內(nèi)。