專利名稱：一種加權(quán)分?jǐn)?shù)傅立葉變換域低采樣率信號(hào)恢復(fù)方法
技術(shù)領(lǐng)域：
本發(fā)明涉及通信信號(hào)采集領(lǐng)域，在低采樣條件下通過(guò)基于加權(quán)分?jǐn)?shù)傅立葉 變換對(duì)信號(hào)恢復(fù)的方法。
背景技術(shù)：
在數(shù)字化和信息化時(shí)代，數(shù)據(jù)采集技術(shù)作為連接模擬域和數(shù)字域的"橋梁" 日益顯出它的重要性。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)日新月異的發(fā)展，計(jì)算機(jī)己成為人類認(rèn) 識(shí)世界和改造世界的不可替代的工具，模擬信號(hào)必須通過(guò)數(shù)據(jù)采集數(shù)字化后才
能進(jìn)入計(jì)算機(jī)進(jìn)行處理。根據(jù)傳統(tǒng)的Shannon采樣定理，被采樣的模擬信號(hào)必 須是頻域帶限的，且采樣頻率必須不小于其截止頻率的2倍，才能對(duì)該模擬信 號(hào)進(jìn)行無(wú)失真恢復(fù)。但是，在實(shí)際工程應(yīng)用中，所使用的信號(hào)往往都不是頻域 帶限的，并不滿足Shannon采樣定理的條件，也就是說(shuō)，Shannon采樣定理在 工程應(yīng)用上是存在誤差的。長(zhǎng)期以來(lái)人們致力于尋找一種新的方法，來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì) 不滿足Shannon采樣定理?xiàng)l件信號(hào)的數(shù)據(jù)采集與恢復(fù)。

發(fā)明內(nèi)容
本發(fā)明為了解決對(duì)不滿足Shannon采樣定理?xiàng)l件信號(hào)的數(shù)據(jù)采集與恢復(fù) 的問(wèn)題，'而提供了一種加權(quán)分?jǐn)?shù)傅立葉變換域低采樣率信號(hào)恢復(fù)方法。 本發(fā)明的方法是通過(guò)以下步驟實(shí)現(xiàn)的
步驟一模擬信號(hào)/^)經(jīng)過(guò)A/D轉(zhuǎn)換器進(jìn)行時(shí)域采樣，然后將時(shí)域采樣 序列/(")送給可編程器件；
步驟二可編程器件根據(jù)時(shí)域采樣序列/( )計(jì)算出該采樣序列的時(shí)域反
轉(zhuǎn)序列/(-")，以及時(shí)域采樣序列的離散傅里葉變換序列F(";)和時(shí)域反
轉(zhuǎn)序列/(-")的離散傅里葉變換序列^(-W);
步驟三可編程器件計(jì)算出給定加權(quán)分?jǐn)?shù)傅立葉變換階數(shù)下的加權(quán)系數(shù) 4(CC)， / = 0、1、2、3;
步驟四可編程器件根據(jù)序列時(shí)域采樣序列/(")、時(shí)域反轉(zhuǎn)序列/(-W)、 時(shí)域采樣序列/(M)的離散傅里葉變換序列F(")、時(shí)域反轉(zhuǎn)序列的離散 傅里葉變換序列F(-力和加權(quán)系數(shù)4(")， / = 0、1、2、3，求出加權(quán)分?jǐn)?shù)傅立葉變 換域重構(gòu)序列^CJ;步驟五可編程器件結(jié)合加權(quán)分?jǐn)?shù)傅立葉變換域重構(gòu)序列{C }和插值函數(shù) / (0，根據(jù)加權(quán)分?jǐn)?shù)傅立葉變換域的重構(gòu)公式，計(jì)算出任意重構(gòu)點(diǎn)的信號(hào)值；
步驟六將計(jì)算出的重構(gòu)點(diǎn)信號(hào)值經(jīng)過(guò)D/A轉(zhuǎn)換器便可以恢復(fù)出模擬信 號(hào)波形。
本發(fā)明的目的是為解決在低采樣率樣情況下，信號(hào)的恢復(fù)問(wèn)題。本發(fā)明的 優(yōu)點(diǎn)是
1) 基于加權(quán)類分?jǐn)?shù)傅立葉變換(WFRFT)的信號(hào)重構(gòu)公式是傳統(tǒng)采樣(即， Shannon采樣)重構(gòu)公式的一種廣義形式，當(dāng)cc=l時(shí)，它就退化為Shannon采 樣的重構(gòu)公式形式，當(dāng)《=0時(shí)，退化為信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)形式；
2) 它能夠在不增加實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度的情況下，解決不滿足傳統(tǒng)Shannon采樣 定理?xiàng)l件的 一類信號(hào)的恢復(fù)問(wèn)題；
3) 在相同的重構(gòu)均方誤差(MSE)下，與傳統(tǒng)Shannon采樣重構(gòu)方法相比， 某些變換階數(shù)上的加權(quán)分?jǐn)?shù)傅立葉變換域重構(gòu)方法的采樣率，要低于Shannon 采樣重構(gòu)要求的采樣率，這有利于降低信源處理的數(shù)據(jù)量，提高信道的利用率。


圖1是一種加權(quán)分?jǐn)?shù)傅立葉變換域低采樣率信號(hào)恢復(fù)方法的流程圖；圖2 是一種加權(quán)分?jǐn)?shù)傅立葉變換域低采樣率信號(hào)恢復(fù)方法裝置的結(jié)構(gòu)示意圖3是矩形脈沖信號(hào)基于加權(quán)類分?jǐn)?shù)傅立葉變換(WFRFT)和Shannon重構(gòu) 的均方誤差比較結(jié)果，_表示為2倍采樣下WFRFT重構(gòu)均方誤差曲線；----表示為2倍采樣下Shannon重構(gòu)均方誤差曲線；o表示為1.6倍采樣下WFRFT 重構(gòu)均方誤差曲線；口表示為1.5倍采樣下WFRFT重構(gòu)均方誤差曲線；O表 示為1.3倍采樣下WFRFT重構(gòu)均方誤差曲線；圖4是高斯脈沖信號(hào)基于加權(quán) 類分?jǐn)?shù)傅立葉變換(WFRFT)和Shannon重構(gòu)的均方誤差比較結(jié)果；一表示為2 倍采樣下WFRFT重構(gòu)均方誤差曲線；--表示為2倍采樣下Shannon重構(gòu)均 方誤差曲線；o表示為1.8倍采樣下WFRFT重構(gòu)均方誤差曲線；口表示為1.7 倍采樣下WFRFT重構(gòu)均方誤差曲線；^表示為1.5倍采樣下WFRFT重構(gòu)均 方誤差曲線；圖5是正弦波組合信號(hào)基于加權(quán)類分?jǐn)?shù)傅立葉變換(WFRFT)和 Shannon重構(gòu)的均方誤差比較結(jié)果。一表示為2倍采樣下WFRFT重構(gòu)均方誤 差曲線；…-表示為2倍采樣下Shannon重構(gòu)均方誤差曲線；o表示為1.7倍采 樣下WFRFT重構(gòu)均方誤差曲線；x表示為1.5倍采樣下WFRFT重構(gòu)均方誤差曲線；口表示為1.4倍采樣下WFRFT重構(gòu)均方誤差曲線；以上采樣倍數(shù)的確 定是以信號(hào)95%能量集中處的帶寬為參考，此時(shí)在2倍采樣下Shannon重構(gòu) 的誤差能夠滿足應(yīng)用需求。但是在同等重構(gòu)誤差條件下，WFRFT重構(gòu)并不需 2倍采樣率，即可在低于Shannon采樣重構(gòu)所需的2倍采樣率下實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)的 恢復(fù)。
具體實(shí)施例方式
具體實(shí)施方式
一結(jié)合圖l和圖2說(shuō)明本實(shí)施方式，本實(shí)施方式的步驟如
下
步驟一模擬信號(hào)/(f)經(jīng)過(guò)A7D轉(zhuǎn)換器進(jìn)行時(shí)域采樣，然后將時(shí)域采樣 序列/( )送給可編程器件；
步驟二可編程器件根據(jù)時(shí)域采樣序列/(")計(jì)算出該采樣序列的時(shí)域反 轉(zhuǎn)序列，以及時(shí)域采樣序列/(W)的離散傅里葉變換序列F(")和時(shí)域反 轉(zhuǎn)序列/(-W)的離散傅里葉變換序列F(-W);
步驟三可編程器件計(jì)算出給定加權(quán)分?jǐn)?shù)傅立葉變換階數(shù)下的加權(quán)系數(shù) j,(a)， / = 0、1、2、3;
步驟四可編程器件根據(jù)序列時(shí)域采樣序列/(w)、時(shí)域反轉(zhuǎn)序列/(-w)、 時(shí)域采樣序列的離散傅里葉變換序列F(")、時(shí)域反轉(zhuǎn)序列的離散 傅里葉變換序列^(-")和加權(quán)系數(shù)4(a)， / = 0、1、2、3，求出加權(quán)分?jǐn)?shù)傅立葉變 換域重構(gòu)序列(CJ;
步驟五:可編程器件結(jié)合加權(quán)分?jǐn)?shù)傅立葉變換域重構(gòu)序列{C }和插值函數(shù) 根據(jù)加權(quán)分?jǐn)?shù)傅立葉變換域的重構(gòu)公式，計(jì)算出任意重構(gòu)點(diǎn)的信號(hào)值；
步驟六將計(jì)算出的重構(gòu)點(diǎn)信號(hào)值經(jīng)過(guò)D/A轉(zhuǎn)換器便可以恢復(fù)出模擬信 號(hào)波形。
本實(shí)施方式中的可編程器件為數(shù)字信號(hào)處理器DSP或現(xiàn)場(chǎng)可編程門陣列 FPGA，其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，易于集成。
從圖3 圖5，可以看出在滿足Shannon采樣定理2倍采樣條件下，基于 WFRFT的重構(gòu)誤差比Shannon采樣重構(gòu)誤差還要小，當(dāng)ot=l時(shí)兩種方法的重 構(gòu)誤差相同，原因是當(dāng)《=1時(shí)，基于WFRFT重構(gòu)公式便退化為Shannon重構(gòu) 公式。還可以看出當(dāng)采樣率降低的時(shí)候，總可以找到某個(gè)加權(quán)分?jǐn)?shù)傅立葉變換階數(shù)a下的WFRFT重構(gòu)誤差與2倍采樣下Shannon采樣定理的重構(gòu)誤差相等， 這也就說(shuō)，基于WFRFT的信號(hào)恢復(fù)方法可以在低于傳統(tǒng)Shannon采樣定理2 倍采樣的條件下對(duì)信號(hào)進(jìn)行恢復(fù)。同時(shí)，圖5說(shuō)明基于WFRFT低采樣率信號(hào) 恢復(fù)方法是種一般化的方法，具有普適性，因?yàn)檎也ㄐ盘?hào)是傅立葉級(jí)數(shù)的基 函數(shù)，而任何信號(hào)都可以展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù)的形式。
作為一種廣義的傅立葉變換，分?jǐn)?shù)傅立葉變換(FRFT)具有很多傅立葉變 換所不具備的性質(zhì)，是一種重要的時(shí)頻分析工具，近些年來(lái)得到了較為廣泛的 研究，并在一些工程技術(shù)領(lǐng)域得以應(yīng)用。FRFT的根本特點(diǎn)可以理解為對(duì)傅立 葉變換特征值的分?jǐn)?shù)化。參數(shù)取值的連續(xù)性、旋轉(zhuǎn)相加性和對(duì)信號(hào)時(shí)頻形式的 統(tǒng)一性是FRFT的基本性質(zhì)。對(duì)信號(hào)進(jìn)行FRFT等同于將信號(hào)在時(shí)頻面上進(jìn)行 旋轉(zhuǎn)，這一特性對(duì)于考察信號(hào)在不同分?jǐn)?shù)傅立葉變換域上的變化情況是非常有 利的。FRFT大致分為經(jīng)典類分?jǐn)?shù)傅立葉變換(FRFT)和加權(quán)類分?jǐn)?shù)傅立葉變 換(WFRFT)。
經(jīng)典類分?jǐn)?shù)傅立葉變換(FRFT)是提出比較早的一種FRFT形式，它直接從 傅立葉變換積分核及特征值出發(fā)，加以推廣和完備。由于經(jīng)典FRFT具有Chirp (切普)形式的正交基，因而經(jīng)典類FRFT又被稱為Chirp類FRFT。目前有 關(guān)FRFT的研究和應(yīng)用大多集中在經(jīng)典FRFT上，它已經(jīng)被應(yīng)用到包括量子力 學(xué)、求解微分方程、光信號(hào)傳輸、光圖像處理、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、小波變換和時(shí) 頻分析等很多領(lǐng)域中。但是受限于經(jīng)典FRFT的離散算法問(wèn)題，其在通信領(lǐng)域 的應(yīng)用受到了比較大的限制。
加權(quán)類分?jǐn)?shù)傅立葉變換(WFRFT)是有別于經(jīng)典類FRFT的一種新型數(shù)學(xué) 工具，它的數(shù)學(xué)性質(zhì)在光學(xué)系統(tǒng)中得到了很好的體現(xiàn)，并且可以通過(guò)簡(jiǎn)單的光 學(xué)器件加以實(shí)現(xiàn)，因而在信息光學(xué)中得以廣泛的應(yīng)用。
隨著對(duì)分?jǐn)?shù)傅立葉變換(FRFT)研究的深入，加權(quán)類分?jǐn)?shù)傅立葉變換 OVFRFT)的定義被不斷推廣，并在某種程度上與經(jīng)典類分?jǐn)?shù)傅立葉變換(FRFT) 統(tǒng)一。下面給出加權(quán)類分?jǐn)?shù)傅立葉變換(WFRFT)的定義和基于加權(quán)分?jǐn)?shù)傅立葉
變換域信號(hào)重構(gòu)公式的推導(dǎo)過(guò)程。
對(duì)于lAR)中，任意信號(hào)/(f)，其WFRFT可以被定義為如下形式
其中，ct為WFRFT的變換階數(shù)；&(1^)為積分核，具體形式如下& (^)=4)("旨-")+ 4 "' + 4 (a旨+ ") + 4 (a)"7^e
其中，4(^)("0,1,2,3)為WFRFT的加權(quán)系數(shù)，形式如下
4 (a) = cos
(a-/);r)「 (a-/);r
4
cos
2
6Xp
3;r(a -/)/、
相應(yīng)地，WFRFT的逆變換可以定義為
/(,)=
下面給出基于加權(quán)分?jǐn)?shù)傅立葉變換域信號(hào)重構(gòu)公式的推導(dǎo)過(guò)程。
若原始連續(xù)信號(hào)/(/)的權(quán)分?jǐn)?shù)傅立葉變換i^[/;i("是帶限的，即存在常
數(shù)^/ >0，使得下式成立
= o， l+""
根據(jù)傅立葉級(jí)數(shù)理論，F(xiàn)"[/](")在卜t^,^]上可以展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù)的 形式，如下
GO
其中，&=丄「^[/1("> 2""*
* 97Y 丄"， Ll/ J、 7"。
由于當(dāng)|2^^時(shí)，F(xiàn)a[/]W = 0，則求G的積分限可以改為從-00至U+00得
c;的具體形式如下
* 2f/ L L」、7
如 一f-w
i —如
根據(jù)WFRFT的定義，有
J"OO
將上式代入到q中得
7<formula>formula see original document page 8</formula>將Q代入到F" 的級(jí)數(shù)展開(kāi)式中，同時(shí)將求和標(biāo)記A替換成
w = -A:， 得
<formula>formula see original document page 8</formula>對(duì)P
)進(jìn)行加權(quán)分?jǐn)?shù)傅立葉變換的逆變換得 斥)=
因?yàn)镕"[/](w)二0，卜^R，貝IJ，上式可改寫為如下形式
(")的級(jí)數(shù)形式代入到i式，并交換積分和求和的次序，得<formula>formula see original document page 8</formula>
其中，/"g)的形式如下<formula>formula see original document page 9</formula>其他
綜上所得，對(duì)于連續(xù)信號(hào)/(0可以通過(guò)下述公式對(duì)其進(jìn)行重構(gòu):<formula>formula see original document page 9</formula>
其他
式中，C;可由/(0以間隔為"A^的采樣序列求得。下面對(duì)基于WFRFT信號(hào)
重構(gòu)公式的特殊情況進(jìn)行討論。
當(dāng)"=0時(shí)，基于WFRFT信號(hào)重構(gòu)公式變?yōu)樾盘?hào)的級(jí)數(shù)表示形式，具體 形式如下
<formula>formula see original document page 9</formula>
當(dāng)"l時(shí)，基于WFRFT信號(hào)重構(gòu)公式變?yōu)镾hannon采樣定理的重構(gòu)公式， 具體形式如下
<formula>formula see original document page 9</formula>
可以看出，傳統(tǒng)的Shannon采樣重構(gòu)公式是基于加權(quán)類分?jǐn)?shù)傅立葉變換 (WFRFT)信號(hào)重構(gòu)公式的一種特殊情況。
權(quán)利要求
1、一種加權(quán)分?jǐn)?shù)傅立葉變換域低采樣率信號(hào)恢復(fù)方法，其特征在于其步驟如下步驟一模擬信號(hào)f(t)經(jīng)過(guò)A/D轉(zhuǎn)換器進(jìn)行時(shí)域采樣，然后將時(shí)域采樣序列f(n)送給可編程器件；步驟二可編程器件根據(jù)時(shí)域采樣序列f(n)計(jì)算出該采樣序列的時(shí)域反轉(zhuǎn)序列f(-n)，以及時(shí)域采樣序列f(n)的離散傅里葉變換序列F(n)和時(shí)域反轉(zhuǎn)序列f(-n)的離散傅里葉變換序列F(-n)；步驟三可編程器件計(jì)算出給定加權(quán)分?jǐn)?shù)傅立葉變換階數(shù)下的加權(quán)系數(shù)Al(α)，l＝0、1、2、3；步驟四可編程器件根據(jù)序列時(shí)域采樣序列f(n)、時(shí)域反轉(zhuǎn)序列f(-n)、時(shí)域采樣序列f(n)的離散傅里葉變換序列F(n)、時(shí)域反轉(zhuǎn)序列f(-n)的離散傅里葉變換序列F(-n)和加權(quán)系數(shù)Al(α)，l＝0、1、2、3，求出加權(quán)分?jǐn)?shù)傅立葉變換域重構(gòu)序列{Cn}；步驟五可編程器件結(jié)合加權(quán)分?jǐn)?shù)傅立葉變換域重構(gòu)序列{Cn}和插值函數(shù)In(t)，根據(jù)加權(quán)分?jǐn)?shù)傅立葉變換域的重構(gòu)公式，計(jì)算出任意重構(gòu)點(diǎn)的信號(hào)值；步驟六將計(jì)算出的重構(gòu)點(diǎn)信號(hào)值經(jīng)過(guò)D/A轉(zhuǎn)換器便可以恢復(fù)出模擬信號(hào)波形。
2、 根據(jù)權(quán)利要求1所述的一種加權(quán)分?jǐn)?shù)傅立葉變換域低采樣率信號(hào)恢 復(fù)方法，其特征在于可編程器件為數(shù)字信號(hào)處理器DSP或現(xiàn)場(chǎng)可編程門陣列 FPGA。
全文摘要
一種加權(quán)分?jǐn)?shù)傅立葉變換域低采樣率信號(hào)恢復(fù)方法。本發(fā)明涉及通信信號(hào)采集領(lǐng)域，它解決了對(duì)不滿足Shannon采樣定理?xiàng)l件信號(hào)的數(shù)據(jù)采集與恢復(fù)的問(wèn)題。它的方法是首先對(duì)輸入信號(hào)的模擬信號(hào)經(jīng)過(guò)A/D轉(zhuǎn)換器進(jìn)行時(shí)域采樣，將采樣序列送往數(shù)字信號(hào)處理器DSP，信號(hào)處理器DSP結(jié)合給定加權(quán)分?jǐn)?shù)傅立葉變換階數(shù)下的加權(quán)系數(shù)和時(shí)域采樣序列計(jì)算出加權(quán)分?jǐn)?shù)傅立葉變換域的重構(gòu)序列，然后根據(jù)加權(quán)分?jǐn)?shù)傅立葉變換域的重構(gòu)公式計(jì)算出任意重構(gòu)點(diǎn)的信號(hào)值，最后將重構(gòu)出的信號(hào)值經(jīng)過(guò)D/A轉(zhuǎn)換器便可以恢復(fù)出原模擬信號(hào)波形。它能夠在不增加實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度的情況下，解決不滿足傳統(tǒng)Shannon采樣定理?xiàng)l件的一類信號(hào)的恢復(fù)問(wèn)題，本方法有利于降低信源處理的數(shù)據(jù)量，提高信道的利用率。
文檔編號(hào)G06F17/14GK101441618SQ20081020979
公開(kāi)日2009年5月27日 申請(qǐng)日期2008年12月25日 優(yōu)先權(quán)日2008年12月25日
發(fā)明者冉啟文, 軍 史, 吳宣利, 張乃通, 張欽宇, 沙學(xué)軍, 遲永鋼 申請(qǐng)人:哈爾濱工業(yè)大學(xué)